高一數(shù)學(xué)人教A版必修1教案第三章第二節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用第一課時(shí)

第三章第二節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用第一課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述．本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同，應(yīng)用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單問題．課本對(duì)幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用，都是通過實(shí)例來實(shí)現(xiàn)的．通過教學(xué)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來自現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中是有用的．三維目標(biāo)1．借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異．2．恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的三種表示方法(解析式、表格、圖象)并借助信息技術(shù)解決一些實(shí)際問題．3．讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同．教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單問題．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(事例導(dǎo)入)一張紙的厚度大約為0.01cm，一塊磚的厚度大約為10cm，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算將一張紙對(duì)折n次的厚度和n塊磚的厚度，列出函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算n＝解：紙對(duì)折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n塊磚的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105m，g(20)＝也許同學(xué)們感到意外，通過對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)大家對(duì)這些問題會(huì)有更深的了解．思路2.(直接導(dǎo)入)請(qǐng)同學(xué)們回憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本節(jié)我們將通過實(shí)例比較它們的增長(zhǎng)差異．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù).②正方形的邊長(zhǎng)為x，面積為y，把y表示為x的函數(shù).③某保護(hù)區(qū)有1單位面積的濕地，由于保護(hù)區(qū)的努力，使?jié)竦孛娣e每年以5%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，經(jīng)過x年后濕地的面積為y，把y表示為x的函數(shù).④分別用表格、圖象表示上述函數(shù).,⑤指出它們屬于哪種函數(shù)模型.⑥討論它們的單調(diào)性.⑦比較它們的增長(zhǎng)差異.⑧另外還有哪種函數(shù)模型與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān).活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路．①總價(jià)等于單價(jià)與數(shù)量的積．②面積等于邊長(zhǎng)的平方．③由特殊到一般，先求出經(jīng)過1年、2年…④列表畫出函數(shù)圖象．⑤引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的函數(shù)模型．⑥結(jié)合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調(diào)性．⑦讓學(xué)生自己比較并體會(huì)．⑧其他與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型．討論結(jié)果：①y＝x.②y＝x2.③y＝(1＋5%)x.④如下表x123456Y＝x123456Y＝x2149162536y＝(1＋5%)x1.051.101.161.221.281.34它們的圖象分別為圖1，圖2，圖3.圖1圖2圖3⑤它們分別屬于：y＝kx＋b(直線型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，拋物線型)，y＝kax＋b(指數(shù)型)．⑥從表格和圖象得出它們都為增函數(shù)．⑦在不同區(qū)間增長(zhǎng)速度不同，隨著x的增大y＝(1＋5%)x的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)函數(shù)．⑧另外還有與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型，形如y＝logax＋b，我們把它叫做對(duì)數(shù)型函數(shù)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)．解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進(jìn)行描述．三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是遞增函數(shù)模型．要對(duì)三個(gè)方案做出選擇，就要對(duì)它的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析．我們先用計(jì)算機(jī)計(jì)算一下三種所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況．

x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…3040030010214748364.8107374182.4再作出三個(gè)函數(shù)的圖象(圖4)．圖4由表和圖4可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案二與方案三的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二無法企及的．從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元．下面再看累積的回報(bào)數(shù)．通過計(jì)算機(jī)或計(jì)算器列表如下：天數(shù)回報(bào)/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，則應(yīng)選擇方案三．針對(duì)上例可以思考下面問題：①選擇哪種方案是依據(jù)一天的回報(bào)數(shù)還是累積回報(bào)數(shù)．②課本把兩種回報(bào)數(shù)都列表給出的意義何在？③由此得出怎樣的結(jié)論．答案：①選擇哪種方案依據(jù)的是累積回報(bào)數(shù)．②讓我們體會(huì)每天回報(bào)數(shù)的增長(zhǎng)變化．③上述例子只是一種假想情況，但從中我們可以體會(huì)到，不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，其增長(zhǎng)變化存在很大差異.

變式訓(xùn)練某市移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元，若設(shè)一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)的費(fèi)用分別為y1元和y2元，那么(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象；(3)求出一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)費(fèi)用相同；(4)若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊業(yè)務(wù)較合算．思路分析：我們可以先建立兩種通訊業(yè)務(wù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的變化情況，為選擇哪種通訊提供依據(jù)．(1)全球通的費(fèi)用應(yīng)為兩種費(fèi)用的和，即月基礎(chǔ)費(fèi)和通話費(fèi)，神州行的費(fèi)用應(yīng)為通話費(fèi)用；(2)運(yùn)用描點(diǎn)法畫圖，但應(yīng)注意自變量的取值范圍；(3)可利用方程組求解，也可以根據(jù)圖象回答；(4)求出當(dāng)函數(shù)值為200元時(shí)，哪個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量的值較大．解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)．(2)圖象如圖5所示．圖5(3)根據(jù)圖中兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為250，所以在一個(gè)月內(nèi)通話250分鐘時(shí)，兩種通訊業(yè)務(wù)的收費(fèi)相同．(4)當(dāng)通話費(fèi)為200元時(shí)，由圖象可知，y1所對(duì)應(yīng)的自變量的值大于y2所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即選取全球通更合算．另解：當(dāng)y1＝200時(shí)有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；當(dāng)y2＝200時(shí)有0.6x＝200，x2＝eq\f(1000,3).顯然375>eq\f(1000,3)，∴選用“全球通”更合算．點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力．另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型.例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨著利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤．于是只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果．解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(圖6)．圖6觀察函數(shù)的圖象，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷．首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬．對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x>20時(shí)，y>5，所以該模型不符合要求；對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，y>5，所以該模型也不符合要求；對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝1000時(shí)，y＝log71000＋1≈4.55<5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求．再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有eq\f(y,x)＝eq\f(log7x＋1,x)≤0.25成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象(圖7)，由函數(shù)圖象可知它是遞減的，因此圖7f(x)<f(10)≈－0.3167<0，即log7x＋1<0.25x.所以當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，eq\f(log7x＋1,x)<0.25.說明按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.綜上所述，模型y＝log7x＋1確實(shí)能符合公司的要求.變式訓(xùn)練市場(chǎng)營銷人員對(duì)過去幾年某商品的價(jià)格及銷售數(shù)量的關(guān)系做數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價(jià)格每上漲x%(x>0)，銷售數(shù)量就減少kx%(其中k為正實(shí)數(shù))．目前，該商品定價(jià)為a元，統(tǒng)計(jì)其銷售數(shù)量為b個(gè)．(1)當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷售的總金額達(dá)到最大？(2)在適當(dāng)?shù)臐q價(jià)過程中，求使銷售總金額不斷增加時(shí)k的取值范圍．解：依題意，價(jià)格上漲x%后，銷售總金額為y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝eq\f(ab,10000)[－kx2＋100(1－k)x＋10000]．(1)取k＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(ab,10000)(－eq\f(1,2)x2＋50x＋10000)，所以x＝50，即商品價(jià)格上漲50%，y最大為eq\f(9,8)ab.(2)因?yàn)閥＝eq\f(ab,10000)[－kx2＋100(1－k)x＋10000]，此二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為x＝eq\f(501－k,k)，在適當(dāng)漲價(jià)過程后，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量x在{x|x>0}的一個(gè)子集內(nèi)增大時(shí)，y也增大．所以eq\f(501－k,k)>0，解得0<k<1.點(diǎn)評(píng)：這類問題的關(guān)鍵在于列函數(shù)解析式建立函數(shù)模型，然后借助不等式進(jìn)行討論.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))光線通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃重疊起來，設(shè)光線原來的強(qiáng)度為k，通過x塊玻璃以后強(qiáng)度為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)通過多少塊玻璃以后，光線強(qiáng)度減弱到原來的eq\f(1,3)以下．(lg3≈0.4771)解：(1)光線經(jīng)過1塊玻璃后強(qiáng)度為(1－10%)k＝0.9k；光線經(jīng)過2塊玻璃后強(qiáng)度為(1－10%)·0.9k＝0.92k；光線經(jīng)過3塊玻璃后強(qiáng)度為(1－10%)·0.92k＝0.93k；光線經(jīng)過x塊玻璃后強(qiáng)度為0.9xk.∴y＝0.9xk(x∈N*)．(2)由題意：0.9xk＜eq\f(k,3).∴0.9x＜eq\f(1,3).兩邊取對(duì)數(shù)，xlg0.9＜lgeq\f(1,3).∵lg0.9＜0，∴x＞eq\f(lg\f(1,3),lg0.9).∵eq\f(lg\f(1,3),lg0.9)＝eq\f(lg3,1－2lg3)≈10.4，∴xmin＝11.∴通過11塊玻璃以后，光線強(qiáng)度減弱到原來的eq\f(1,3)以下．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象(如圖8所示)．假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指