基本不等式學(xué)案

根本不等式導(dǎo)學(xué)案目標(biāo)：〔1〕掌握根本不等式〔2〕能運(yùn)用根本不等式求最值問(wèn)題。過(guò)程：一、引入：圖一是在北京召開(kāi)的第24屆數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖〞設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，我們把“風(fēng)車(chē)〞造型抽象成圖二圖1圖2思考1：這個(gè)“風(fēng)車(chē)〞中含有哪些的幾何圖形？他們的面積有什么關(guān)系呢？思考2：假設(shè)設(shè)，問(wèn)題1、正方形ABCD的面積可用、表示為=________________。問(wèn)題2、四個(gè)全等的直角三角形的面積之和可用、表示為=____________。問(wèn)題3、與有什么樣的大小關(guān)系？用、表示出來(lái)____________________________________________________________________________問(wèn)題4、如圖3，當(dāng)其中直角三角形變成等腰直角三角形時(shí)，與是什么關(guān)系？此時(shí)與是什么關(guān)系？問(wèn)題5、總結(jié)一下問(wèn)題3與問(wèn)題4.歸納得出關(guān)于、的不等式。這里、都為正數(shù)，將其推廣到一切實(shí)數(shù)后是否成立，并證明.圖3________________________________________________________〔重要不等式〕證明：?jiǎn)栴}6、假設(shè)果，我們用、分別代替上面不等關(guān)系中的、，可得到怎樣的結(jié)論？能否證明他___________________________________________________________________〔根本不等式〕〔注1：叫做a與b的幾何平均數(shù)，叫做a與b的算術(shù)平均數(shù)〕證明：二、合作探究如圖,AB是圓的直徑，Q是AB上任一點(diǎn)，AC=a,BC=b,過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連A當(dāng)AD,BD。(1)那么AB用、表示AB=.〔2〕是否相似，CD=那么DE=2CD=.〔3〕圓的直徑AB與弦長(zhǎng)DE有何大小關(guān)系，用、表示出來(lái)：你能從這里得到根本不等式的幾何解釋嗎？根本不等式可變形為；三、分組討論：〔1〕時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立.〔2〕時(shí)，那么的最小值是，此時(shí).〔3〕假設(shè)，那么.此命題是否正確.從這里可看出，假設(shè)兩正數(shù)乘積為定值時(shí)，兩數(shù)時(shí)，和有最小值。(4)假設(shè)正數(shù)滿足,求的最大值，此時(shí)分別為多少？(5)當(dāng)時(shí)，求的最大值，求此時(shí)的值.〔6〕當(dāng)時(shí)，求的最大值，求此時(shí)的值.從這里可看出，假設(shè)兩正數(shù)之和為定值，兩數(shù)時(shí)，乘積有最小值.四、小結(jié)：1.兩個(gè)不等式〔1〕，那么〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立〕〔2〕，那么〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立〕注意：1.兩公式條件，前者要求a,b為實(shí)數(shù)；后者要求a,b為正數(shù)。2.公式的正向、逆