2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)六四邊形綜合

第六模塊四邊形綜合

【課標(biāo)要求】

四邊形

(1)了解多邊形的定義，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線(xiàn)等概念；探索并

掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.

(2)理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；了解四

邊形的不穩(wěn)定性.

(3)探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角

線(xiàn)互相平分；探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平

行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平

行四邊形.

(4)了解兩條平行線(xiàn)之間距離的意義，能度量?jī)蓷l平行線(xiàn)之間的距離.

(5)探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線(xiàn)

相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直；以及它們的判定定理：三個(gè)角是直角的

四邊形是矩形，對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線(xiàn)

互相垂直的平行四邊形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì).

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：多邊形

(1)多邊形的定義：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段；首尾順次相接

組成的封閉圖形叫做多邊形，在多邊形中，組成多邊形的各條線(xiàn)段叫做多邊形的邊，

每相鄰兩條邊的公共點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)，連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段叫做多邊形的

對(duì)角線(xiàn)。

(2)多邊形的內(nèi)角和:n邊形的內(nèi)角和=(n—2)180°

(3)正多邊形：在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等，邊也相等的多邊形叫做正多邊形.

(4)多邊形的外角：多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)所組成的角，叫做這

個(gè)多邊形的外角.在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，它們的和叫做

多邊形的外角和，多邊形的外角和都等于360°

(5)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)共有(n—3)條對(duì)角線(xiàn)，n邊形共有四二2條對(duì)角線(xiàn).

2

(6)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)將n邊形分成(n—2)個(gè)三角形.

考點(diǎn)二：相似多邊形

(1)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

(2)相似多邊形的性質(zhì)：

①相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比；

②相似多邊形的對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)的比等于相似比；

③相似多邊形的面積的比等于相似比的平方；

④相似多邊形的對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)相似，相似比等于相似多邊形的相似比.

考點(diǎn)三：平行四邊形的性質(zhì)與判定

1.平行四邊形是四邊形中應(yīng)用廣泛的一種圖形，它是研究特殊四邊形的基礎(chǔ)，是研究

線(xiàn)段相等、角相等和直線(xiàn)平行的根據(jù)之一.

2.平行四邊形的定義:兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形.

3.兩條平行線(xiàn)間的距離：兩條平行線(xiàn)中，一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的，叫做

兩條平行線(xiàn)間的距離.兩條平行線(xiàn)間的距離是一個(gè)定值，不隨垂線(xiàn)段位置改變而改變,

兩條平行線(xiàn)間的距離處處.

4.平行四邊形的性質(zhì)：ABJLCD

AD^BC

平行四邊形的兩組對(duì)邊分別；―^ABC=ZADC

平行四邊形的兩組對(duì)邊分別；符號(hào)詰NDAB=NDCB

平行四邊形的兩組對(duì)角分別；匕一OA=OC=~AC

平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相.

平行四邊形的鄰角.

5.平行四邊形的判定：

兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形；

兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形；

一組對(duì)邊且的四邊形是平行四邊形；

對(duì)角線(xiàn)互相的四邊形是平行四邊形.

符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)：

AB/7CD.BC〃AD=四邊形ABCD是平行四邊

AB=CD,BC=AD=四邊形ABCD是平行四邊形.

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD=四邊形ABCD是平行四邊形.

OA=OC,OB=OI)=四邊形ABCD是平行四邊形.

考點(diǎn)四、特殊的平行四邊形

1.性質(zhì)：

(1)矩形：①矩形的四個(gè)角都是：②矩形的對(duì)角線(xiàn)；③矩形具有平行四邊

形的所有性質(zhì).

(2)菱形：①菱形的四條邊都；②菱形的對(duì)角線(xiàn)互相，并且每條對(duì)角線(xiàn)

平分一組：③具有平行四邊形所有性質(zhì).

(3)正方形：①正方形的四個(gè)角都是，四條邊都；②正方形的兩條對(duì)角

線(xiàn)，并且互相，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組.

2.判定：

(1)矩形：①有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；②對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形是矩形；③

有個(gè)角是的四邊形是矩形.

(2)菱形：①對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形是菱形：②一組鄰邊的平行四邊是

菱形；③條邊都相等的四邊形是菱形.

(3)正方形：①有一個(gè)角是的菱形是正方形；②有一組鄰邊的矩形是方

形；③對(duì)角線(xiàn)相等的是正方形；④對(duì)角線(xiàn)互相垂直的是正方形.

3.面積計(jì)算：

(1)矩形：5=長(zhǎng)*寬；

(2)菱形：S=L-l,(小4是對(duì)角線(xiàn))

2

(3正方形：S=邊長(zhǎng)2

4.平行四邊形與特殊平行四邊形的關(guān)系

【應(yīng)用策略】

1.中點(diǎn)①直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半；②三角形中位線(xiàn)；③中點(diǎn)平行構(gòu)造三

角形全等；④倍長(zhǎng)中線(xiàn)

①往角的兩邊做垂直，垂線(xiàn)段相等；②角平分線(xiàn)，平行，等腰三角形相互轉(zhuǎn)換；③往

角兩邊截取等線(xiàn)段證全等；④過(guò)角平分線(xiàn)某點(diǎn)做角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，出現(xiàn)等腰三角形

例1.如圖，Z^ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE_LAC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G_LBC于

點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分NBAC,連接GE,；GD.

(1)求證：△ECGZ/XGHD

(2)小亮同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.

(3)若NB=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形，并說(shuō)明理

由.

例2.己知兩個(gè)等腰Rtz^ABC,Rt^CEF有公共頂點(diǎn)C,ZABC=ZCEF=90°,連接AF,

M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.

(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：MB〃CF；

(2)如圖2,當(dāng)/BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME.

例3.已知，如圖(1)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，且AE=AF,

ZAEC=ZAFC.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形.

(2)如圖(2),若AD=AF,延長(zhǎng)AE,DC交于點(diǎn)G,求證：AF2AG*DF.

(3)在第(2)小題的條件下，連接BD,交AG于點(diǎn)H,若HE=4,EG=12,求AH的長(zhǎng).

跟蹤訓(xùn)練1：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BCD,ACXAB,E是BC的中點(diǎn)，AD

±AE.

(1)求證：AC2=CD?BC；

(2)過(guò)E作EG_LAB,并延長(zhǎng)EG至點(diǎn)K,使EK=EB.

①若點(diǎn)H是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，求證：FH_LGH；

②若NB=30°,求證：四邊形AKEC是菱形.

跟蹤訓(xùn)練2：如圖，在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中，NBEF=90。，BE=EF,連

接DF,點(diǎn)P是FD的中點(diǎn)，連接PE、PC.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CB邊上時(shí),求證：CEPE；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段PC、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的

猜想，并給與證明。

跟蹤訓(xùn)練3：在平行ABCD中，NBAD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E,交直線(xiàn)DC于點(diǎn)F.

⑴在圖1中證明CE=CF；

(2)若ZABC=90。，6是￡尸的中點(diǎn)(如圖2),直接寫(xiě)出ZBDG的度數(shù)；

(3)若NABC=120。，F(xiàn)G〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求NBDG的度數(shù)。

跟蹤訓(xùn)練4：如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足為F.

(1)求證：△ABCgZXADE；

(2)求NFAE的度數(shù);

(3)求證：CD=2BF+DE.

跟蹤訓(xùn)練5：已知在矩形ABCD中，NADC的平分線(xiàn)DE與BC邊交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是線(xiàn)段

DE上一定點(diǎn)(其中EPVPD),點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PF,過(guò)點(diǎn)P作PGLPF,

交射線(xiàn)DA于點(diǎn)G.

(1)求證：PG=PF；(2)求證：DG=&DP+DF.

跟蹤訓(xùn)練6：如圖，四邊形ABCD中，ACLBD交BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的

中點(diǎn)，BN平分/ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD.連接MF,NF.

(1)判斷aBilN的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)判斷△MFN與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

跟蹤訓(xùn)練7：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC,AD±AC,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)

是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn).

⑴若ED_LEF,求證:ED=EF；

⑵在(1)的條件下,若DC的延長(zhǎng)線(xiàn)與FB交于點(diǎn)P,試判定四邊形ACPE是否為平行四

邊形?并證明你的結(jié)論(請(qǐng)先補(bǔ)全圖形,再解答)；

⑶若ED=EF,ED與EF垂直嗎?若垂直給出證明.

①半角模型；②拉手模型

例4：在正方形ABCD中，M、N分別是射線(xiàn)CB和射線(xiàn)DC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終NMAN=45°.

如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段BC、DC上時(shí)，寫(xiě)出線(xiàn)段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；

并給予證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，

若成立，給予證明，若不成立，寫(xiě)出正確的結(jié)論，并證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若CN=CD=6,設(shè)BD與AM的

延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,交AN于Q,直接寫(xiě)出AQ、AP的長(zhǎng).

例5：如圖，在正方形ABCD中，BD為對(duì)角線(xiàn)，ZEAF=45°,其兩邊分別交BC、CD于E、

F,交BD于H、Go

(1)求證：AD2=BGDH；

(2)求證：CEf但DG；

(3)求證：EF=V2HG.

例6:如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,點(diǎn)P是射線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)

作等邊aAPE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系式,

CE與A1)的位置關(guān)系是；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立，請(qǐng)予以證明；若不成

立，請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖2、圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理)；

(3)如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接BE,若AB=2小,BE=2乖，求

四邊形ADPE的面積。

跟蹤訓(xùn)練8:如圖①，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,

C重合)，在aABC的外部作aCED,使/CED=90°,DE=CE,連AD,分別以AB,AD

為鄰邊作平行四邊形ABED,連接AF.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AF,AE的數(shù)量關(guān)系；

(2)將4CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖②，連接AE,請(qǐng)判斷

線(xiàn)段AF,AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)在圖②的基礎(chǔ)上，將4CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷(2)問(wèn)中的結(jié)論是

否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫(xiě)出證明過(guò)程；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

跟蹤訓(xùn)練9:某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，研究三角形和正方形的性質(zhì)時(shí)，做了

如下探究：在aABC中，ZBAC=90=,AB=AC,點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重

合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.

⑴觀(guān)察猜想

如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)。

①BC與CF的位置關(guān)系為：；

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：「；(將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線(xiàn)上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給予

證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明；

(3)拓展延伸

如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知

AB=2y/2,CD=|BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)。

跟蹤訓(xùn)練10：在平行四邊形ABCD中，以AB為邊作等邊aABE,點(diǎn)E在CD上，以BC

為邊作等邊aBCF,點(diǎn)F在AE上，點(diǎn)G在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上且FG=FB.

(1)若CD=6,AF=3,求4ABF的面積；

(2)求證：BE=AG+CE.

5.直角的等量代換

①三垂直模型；②十字架模型

例7:如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AE,作BFLAE,垂足為H,交CD于F

,作CG〃AE,交BF于G.

(1)求證CG=BH

(2)FC=BF?GF；

,、FC2GF

⑶密F

跟蹤訓(xùn)練U:如圖1,在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，

且AF_LBE.

(1)求證：AF=BE；

(2)如圖2,在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且

MP_LNQ.MP與NQ是否相等？并說(shuō)明理由.

圖1圖2

跟蹤訓(xùn)練12:在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合)，連結(jié)

BE.

感知如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AFLBE交BC于點(diǎn)F.求證aABFgZSBCE.

探究如圖②，取BE的中點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作FGLBE交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=FG.

(2)連結(jié)CM,若CM=1,求FG的長(zhǎng).

應(yīng)用如圖③，取BE的中點(diǎn)M,連結(jié)CM.過(guò)點(diǎn)C作CGLBE交AD于點(diǎn)G,連結(jié)EG,MG.若

CM=3,求四邊形GMCE的面積.

例1(1)證明：AF=RG,

???ZFAG=ZFGA，

?.?AG平分NC48,

?-Z?CAG=ZFAG，

:./CAG=4FGA,AC//FG

??-DEI.AC，??-FGA.DE，

??-FGLBC，

???DE//BC，???AC1BC，

???NC=NDHG=90，ZCGE=ZGED，

?.?/是A。的中點(diǎn)，F(xiàn)G//AE,”是E。的中點(diǎn)，

，F(xiàn)G是線(xiàn)段￡￡>的垂直平分線(xiàn)，

???GE=GD，/GDE=NGED，???4CGE=4GDE，?-?XECG三kGHD

(2)證明：過(guò)點(diǎn)G作GP_LAB于點(diǎn)p,，GC=GP,

(3),\AC4G=AR4G>

AC=AP.由⑴得EG=DG,

???Rt\ECG=Rt\GPD，???EC=PD，

AD=AP+P￡>=AC+EC.

(4)四邊形A￡Gb是菱形，理由如下：?.?NB=30,

AE=-AD

?-?ZADE=3Q，?-?2，

.?.AE=AF=EG.由(i)得AE//FG,

.?.四邊形AEGE是菱形.

例2解(1)證法一：

如答圖la,延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D,則易知AABC與4BCD均為等腰直角三角形，

，AB=BC=BD,...點(diǎn)B為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，

又；點(diǎn)M為線(xiàn)段AF的中點(diǎn)，,BM為4ADF的中位線(xiàn)，

，BM〃CF

證法二：

如答圖1b,延長(zhǎng)BM交EF于D,VZABC=ZCEF=90°,

.\AB±CE,EF1CE,

，AB〃EF,AZBAM=ZDFM,

是AF的中點(diǎn),，AM=MF,

在△ABM和中，

'/BAM二NDFM

<AM=FM，

ZAMB=ZFMD

/.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,

VBE=CE-BC,DE=EF-DF,.\BE=DE,

.?.△BDE是等腰直角三角形，

AZEBM=45°,

?.?在等腰直角ACEF中，ZECF=45°,

，/EBM=NECF,...MB〃CF；

(2)證法一：

如圖，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知aABC與ABCD均為等腰直角三角形,

.,.AB=BC=BD,AC=CD,...點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，

.?.BMJDF

2

延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG,則易知ACEF與4CEG均為等腰直角三角形，

.,.CE=EF=EG,CF=CG,

.?.點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，

.,.MEJAG.

2

在4ACG與ADCF中，

'ACXD

.NACG=/DCF=45°，/.△ACG^ADCF(SAS)，，DF=AG,ABN^ME.

CG=CF

證法二：

如圖,延長(zhǎng)BM交CF于D,連接BE、DE,

VZBCE=45°,

/.ZACD=45°X2+45°=135°

/.ZBAC+ZACF=45°+135°=180°,

，AB〃CF,

/.ZBAM=ZDFM,

?；M是AF的中點(diǎn),

/.AM=FM,

在△ABM和△FDM中，

'NBAM=NDFM

<AM=FM，

ZAMB=ZFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,BM=DM,

.?.AB=BC=DF,

在ABCE和aDFE中，

'BC=DF

<NBCE=/DFE=45°，

CE=FE

AABCE^ADFE(SAS),

/.BE=DE,ZBEC=ZDEF,

，ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEF+ZCED=ZCEF=90°,

...△BDE是等腰直角三角形，

又：BM=DM,

/.BM=ME=1.BD,故BM=ME.

2

例3解(1)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.ZB=ZD.

VZAEC=ZAFC,ZAEC+ZAEB=ZAFC+ZAFD=180°,

ZAEB=ZAFD.

NB=ZD

在AAEB和△AFD中，<ZAEB=ZAFD

AE^AF

：.MEB^MFD(AAS),

/.AB=AD,

.??平行四邊形ABCD是菱形

⑵由(1)知，MFD,則/BAE=NDAF.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AB〃DG,

/.ZBAE=ZG,.\ZG=ZDAF.

又；NADF=NGDA,二3釬ADG4，

??DF_AF,

~\D~~XG

??AD^AF=AG^DF'

XVAD=AF,

???AF2=AG，DF?

(3)在菱形ABCD中,VAB//DC,AD//BC,

AAH:HG=BH:HD,

BH:HD=EH:AH,

AAH：HG=EH:AH.

VHE=4,EG=12,

AAH:16=4:AH,

AAH=8.

跟蹤訓(xùn)練1證明：(1)???AC平分NBCD,

AZDCA=ZACB.

又,.,ACJ_AB,AD±AE,

.'.ZDAC+ZCAE=90°,ZCAE+ZEAB=90°,

???ZDAC=ZEAB.

又〈E是BC的中點(diǎn)，

???AE=BE,

.\ZEAB=ZABC,

.\ZDAC=ZABC,

???AACD^ABCA,

.AC=CD

**BC而，

/.AC2=CD-BC；

(2)①證明：連接AH.

VZADC=ZBAC=90°，點(diǎn)H、D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng),

???AHJ_BC.

VEG1AB,AE=BE,

???點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，

???HG=AG,

AZGAH=GHA.

??,點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，

；?AF=FH,

.\ZHAF=ZFHA,

???ZFHG=ZAHF+ZAHG=ZFAH+ZHAG=NCAB=90°,

Z.FH1GH；

②?.?EK_LAB,AC1AB,

AEK/ZAC,

又?.,NB=30°,

.,.AC=—BC=EB=EC.

2

又EK=EB,

AEK=AC,

即AK=KE=EC=CA,

四邊形AKEC是菱形.

跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)延長(zhǎng)EP交DC于點(diǎn)G,如圖(1)所示:

ZFEC=ZDCE=90°,

/.EF/7CD,

.*.ZPFE=ZPDG,

又；/EPF=/GPD,PF=PD,

.,.△PEF^APGD(AAS),

；.PE=PG,EF=GD,

VBE=EF,

/.BE=GD.

VCD=CB,

，CG=CE,

...△CGE是等腰直角三角形，

ACPIGE,CP=1EG=PE,

...△CPE是等腰直角三角形.

ACE=小PE

(2)CE=取PE；,理由如下：如圖⑵所示：

延長(zhǎng)EP交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

VZFEB+ZDCB=180，＞,

；.EF〃CD,

/.ZPEF=ZPGD,

又；NEPF=NGPD,PF=PD,

/.△PEF^APGD(AAS),

.?.PE=PG,EF=GD,

：BE=EF,

，BE=GD.

VCD=CB,

，CG=CE,

...△CGE是等腰直角三角形，

ACP±GE,CP=^EG=PE,

.'.△CPE是等腰直角三角形。

ACEPE

跟蹤訓(xùn)練3(1)證明：...AF平分NBAD,

，/BAF=NDAF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AB〃CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF

,.\ZCEF=ZF.

.\CE=CF.

(2)連接GC、BG,

■:四邊形ABCD為平行四邊形,ZABC=90u,

二四邊形ABCD為矩形，

?；AF平分NBAD,

，/DAF=NBAF=45°

VZDCB=90?,DF/7AB,

；.NDFA=45。,ZECF=90°

.?.△ECF為等腰直角三角形，

為EF中點(diǎn)，

，EG=CG=FG,

CG±EF,

?..△ABE為等腰直角三角形，AB=DC,

，BE=DC,

VZCEF=ZGCF=45°,

；./BEG=/DCG=135°

在ABEG與ADCG中，EG=CG,ZBEG=ZDCG,BE=DC,

/.△BEG^ADCG,

，BG=DG,VCG±EF,

.,.ZDGC+ZDGA=90°,

又；NDGC=NBGA,

.,.ZBGA+ZDGA=90°,

.?.△DGB為等腰直角三角形，

:.ZBDG=45

.(3)延長(zhǎng)AB、FG交于H,連接HD.

VAD/7GF,AB〃DF,

四邊形AHFD為平行四邊形

VZABC=120°,AF平分/BAD,

ZDAF=30°>ZADC=120°,ZDFA=30°

.?.△DAF為等腰三角形

AAD=DF,ACE=CF,

，平行四邊形AHFD為菱形

/.△ADH,Z\DHF為全等的等邊三角形

，DH=DF,NBHD=NGFD=60°

VFG=CE,CE=CF,CF=BH,

???BH=GF,在△BHD與△GFD中，

VDH=DF,NBHD二NGFD,BH=GF,

/.△BHD^AGFD,

???ZBDH=ZGDF

ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°

跟蹤訓(xùn)練4：證明：(1)VZBAD=ZCAE=90°,

AZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

???ZBAC=ZDAE,

在△BAC和4DAE中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAE,

AC=AE

AABAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

AZE=45°,

由(1)知△BAC出△DAE,

AZBCA=ZE=45°,

VAF1BC,

???NCFA=90°,

AZCAF=45°,

AZFAE=ZFAC+ZCAE=450+90°=135°；

(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG才B,

VAF±BG,

/.ZAFG=ZAFB=90°,

在△AFB和4AFG中，

BF=GF

vZAFB=ZAFG,

AF=AF

/.△AFB^AAFG(SAS),

AAB=AG,NABF=NG,

VABAC^ADAE,

.\AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

.\AG=AD,ZABF=ZCDA,

.*.ZG=ZCDA,

在ACGA和ACDA中，

ZGCA=ZDC4

<ZCGA=ZCDA,

AG^AD

/.△CGA^ACDA,

/.CG=CD,

VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

/.CD=2BF+DE.

跟蹤訓(xùn)練5：解⑴過(guò)P作PH_LPD交AD于H,

VPG1PF,

AZGPF=ZHPD=90°,

；./GPH=/FPD,

「DE平分/ADC,ZADC=90°

；.NCDE=/EDA=45°,

???△HPD為等腰直角三角形，

；./DHP=/PDH=45°,PD=PF,

.".ZPIIG=ZPDF=135O

在△HPG和4DPF中，

，ZPHG=ZPDF

PH=PD，

ZHPG=ZDPF

/.AHPG^ADPF(ASA),

APG=PF；

(2)?.?△HPD為等腰直角三角形，

.?.DH=V2DP.

?/AHPG^ADPF,

；.GH=DF,

：DG-GH=DH,

；.DG=&DP+DF.

跟蹤訓(xùn)練6：證明：：AB=AC,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),

AAM1BC,AM平分NBAC.

：BN平分NABE,

NEBN=/ABN.

VAC±BD,

ZAEB=90°,

.\ZEAB+ZEBA=90°，

AZMNB=ZNAB+ZABN=1.(ZBAE+ZABE)=45°.

2

???△BMN是等腰直角三角形；

(2)答：AMFN^ABDC.

證明：???點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中點(diǎn)，

AFM/7AC,FM=LAC.

2

VAC=BD,

.?.FM=LBD,即II』

2BD-2

???△BMN是等腰直角三角形，

??.NM=BM=LBC,即遮二L,

2BC~2

?FMM

??而諒?

VAM±BC,

AZNMF+ZFMB=90°.

VFM//AC,

???ZACB=ZFMB.

VZCEB=90°,

AZACB+ZCBD=90°.

/.ZCBD+ZFMB=90°,

???ZNMF=ZCBD.

AMFN^ABDC.

跟蹤訓(xùn)練7：(1)證明：在叫BCD中，TAD=AC,AD±AC,

???AC=BC,AC1BC,連接CE,二飛是AB的中點(diǎn)，

???AE=EC,CE±AB,

；?NACE=NBCE=45。,

???NECF=NEAD=135。,

VED±EF,

AZCEF=ZAED=90°-ZCED,

在aCEF和AAED中，ZCEF=ZAED,EOAE,ZECF=ZEAD,

AACEF^AAED,AED=EF；

(2)由(1)知ACEF絲/XAED,CF=AD,

VAD=AC,

AAC=CF,VDP//AB,AFP=PB,

ACP=12AB=AE,

???四邊形ACPE為平行四邊形；

(3)垂直，

理由：過(guò)E作EM_LDA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,

過(guò)E作EN_LFC交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,

在AAME與ACNE中，NM=NFNE=90。

NEAM二NNCE=45。AE=CE,

AAAME^ACNE,

AZADE=ZCFE,

在AADE與4CF中，ZADE=ZCFE,ZDAE=ZFCE=135°,

DE=EF,

AAADE^ACFE,

???ZDEA=ZFEC,

VZDEA+ZDEC=90°,

???NCEF+NDEC=90。,

???NDEF=90。,

???ED_LEF.

例4：解:(1)BM+DN=MN,

理由如下：如圖1,在MB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，截取BE=DN,連接AE,??,四邊形ABCD是正方形

AAB=AD,ZBAD=ZABC=ZD=90°,AZABE=90°=ZD,

AB^AD

在AABE和AADN中，＜NABE=ND,

BE=DN

/.△ABE^AADN(SAS),

；.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

.?./EAN=/BAD=90°,

VZMAN=45°,

AZEAM=45°=NNAM,

AE=AN

在Z\AEM和aANM中，(ZEAM=NNAM,

AM=AM

.,.△AEM^AANM(SAS),

，ME=MN,又：ME=BE+BM=BM+DN,；.BM+DN=MN；(2)(1)中的結(jié)論不成立，DN

-BM=MN.

理由如下：如圖2,在DC上截取DF=BM,連接AF,則NABM=90°=/D,

AB=AD

在AABM和AADF中，］ZABM=ZD,

BM=DF

.,.△ABM^AADJF(SAS),.,.AM=AF,ZBAM=ZDAF,

NBAM+/BAF=/BAF+NDAF=ZBAD=90°,

即NMAF=NBAD=90°,VZMAN=45°,

.../MAN=NFAN=45°,

AM=AF

在AMAN和4FAN中，*MAN=NFAN,

AN=AN

.,.△MAN^AFAN(SAS),

；.MN=NF,；.MN=DN-DF=DN-BM,

ADN-BM=MN

(3)???四邊形ABCD是正方形,

.,.AB=BC=AD=CD=6,AD〃BC,AB〃CD,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

，/ABM=NMCN=90°,

222

VCN=CD=6,/.DN=12,/.AN=VAD2-+-ON-V6-t-12=6^5,

???AB//CD,.?.△ABQs/WQ,.?.翳=需=^哈丹然=(,

，AQ=JAN=2V5；

由(2)得：DN-BM=MN.設(shè)BM=x,則MN=12-x,CM=6+x,在RtZXCMN中，

62+(6+x)2=(12-x)2,解得：x=2,；.BM=2,

AM=y/AB2+BM2=V62+22=2V10,

VBC/7AD,.,?△PBM^APDA,

,RM13M21fTTx

??K=W7=W=m，??戶(hù)何=5與叔=6^,

，AP=AM+PM=3加

例5：證明：(1)VBF±AE,CG〃AE,二CG±BF.

?.?在正方形ABCD中，ZABH+ZCBG=90°,ZCBG+ZBCG=90",

.\ZABH=ZBCG,ZAHB=ZBGC=90n,AB=BC,

.*.CG=BH;

(2)VZBFC=ZCFG,ZBCF=ZCGF=90",

.,.△CFG^ABFC,

/.FC:BF=FG:FC

.,.FC=BF?GF：

(3)ZGBC=ZFBC,ZBCF=ZCGB=90",

/.△BCG^ABFC,

.,.BC:BF=GB:BC.\BC2=BF?GB

VAB=BC,

.*.AB2=BF?GB

AAB2?GF=BF?GF?GB

VFC2=BF?GF

AAB2?GF=FC2?GB

.度GF

"AB5獲

例5(1)證明：(I)*.?四邊形ABCD為正方形

/.ZABD=ZADB=45°,AB=AD,

ZEAF=45°

/.ZBAG=45°+ZBAH,ZAHD=45°+ZBAH,

.*.ZBAG=ZAHD,

又：NABD=NADB=45°,

.,.△ABG^AHDA,

/.AB:DH=BG:DA,

又；AB=AD

/.AD:DH=BG:DA,

/.AD2=BGDH；

⑵如圖，連接AC,

?.?四邊形ABCD是正方形

ZACE=ZADB=ZCAD=45°,

:.ACNAD,

,//EAF=45°,

:.ZEAF=ZCAD,

，ZEAF-ZCAF=ZCAD-ZCAF,

:.ZEAC=ZGAD,

AAEAC^AGAD

.,.CE:DG=AC:AD=^/2,

：.CE=yf2DG；

⑶由⑵得:△EACS/XGAD,

.,.AE:AG=AC:AD=-\/2,

同理得：△AFCS^AHB,

.?.AF：AH=AC：ABH,

???AE:AG=AF:AH=M,

ZGAH=ZEAF,

AAGAH^AEAF,

??.EF：GHM，

JEF/GH.

例6：.解：(1)①BP=CE；,②CE_LAD.；

(2)(1)中的結(jié)論：BP=CE,CEJ_AD仍然成立,

圖2證明如下：連接AC

???菱形ABCD,ZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

AAB=AC,

:△APE是等邊三角形，

AAP=AE,ZPAE=60°,

AZCAE=60°+NCAP=NBAP,

工ZBAP=ZCAE,

AAABP^AACE

ABP=CE,

*/ZACE=ZABP=30°

.-.ZDCE=30°.

VZADC=60°,

AZDCE+ZADC=90°,

/.ZCHD=90°,

ACE1AD.

圖3證明如下:連接AC

???菱形ABCD,ZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

AAB=AC,

:△APE是等邊三角形，

AAP=AE,ZPAE=60°,

AZCAE=60°+NCAP=NBAP,

工ZBAP=ZCAE,

AAABP^AACE,

ABP=CE,

*/ZACE=ZABP=30°

.-.ZDCE=30°.

VZADC=60°,

AZDCE+ZADC=90°,

/.ZCHD=90°,

ACEXAD.

(3);連接AC,交BD與點(diǎn)0

由(2)知CEJ_ADBP=CE

VAD/7BC,

ACEIBC.

在直角aBCE中，有勾股定理得CE=8；.BP=8.

VZAB0=30°,AB=24

/.B0=D0=3,A0=V3

.*.BD=6.

，DP=2,

；.0P=5,

在直角aAOP中，有勾股定理得AP=2，7

作EH_LAP于點(diǎn)H

.「△APE是等邊三角形，

：.PH=y[7,EH=V五.

**S四邊形ADPE=SaADp+SziAPE

11

=-DP?A0+-AP?EH

=|X2X/+2X2巾X或1=8^/3.

跟蹤訓(xùn)練8:解：(1)結(jié)論：AF=&AE.

理由：??,四邊形ABFD是平行四邊形，

AAB=DF,

VAB=AC,

???AC=DF,

VDE=EC,

???AE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

???△AEF是等腰直角三角形，

AAF=V2AE.

故答案為AF=&AE_

(2)如圖②中，結(jié)論：AF=&AE.

理由：連接EF,DF交BC于K.??,四邊形ABFD是平行四邊形,

AAB/7DF,AZDKE=ZABC=45°,

.\ZEKF=180°-ZDKE=135°,EK=ED,

VZADE=180°-ZEDC=180°-45°=135°,

???ZEKF=ZADE,:ZDKC=ZC,

DK=DC,VDF=AB=AC,AKF=AD,

在aEKF和4EDA中，

'EK二ED

<ZEKF=ZADEy-AEKF^AEDA,

KF=AD

???EF=EA,ZKEF=ZAED,

AZFEA=ZBED=90o,

???△AEF是等腰直角三角形，

???AF=&AE

(3)如圖③中，結(jié)論不變，AF=&AE.

理由：連接EF,延長(zhǎng)FD交AC于K.

VZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-ZKDC,

ZACE=(90°-ZKDC)+ZDCE=135°-ZKDC,

AZEDF=ZACE,VDF=AB,AB=AC,

??.DF=AC在AEDF和AECA中,fDF=AC,

?NEDF二NACE

DE=CE

AAEDF^AECA,

???EF=EA,ZFED=ZAEC,

.\ZFEA=ZDEC=90°,

??.△AEF是等腰直角三角形，

???AF=&AE

跟蹤訓(xùn)練9證明：(1)①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90o,

???ZBAD=ZCAF,

在ADAB與aFAC中，AD=AF,ZBAD=ZCAF,AB=AC,

.?.△DAB^AFAC(SAS),

???NB=NACF,

AZACB+ZACF=90°,

即BCLCF；故答案為：垂直；

②△DABg/kFAC,???CF=BD,

VBC=BD+CD,

???BC=CF+CD；

故答案為：BOCF+CD；

(2)CF_LBC成立；BCXD+CF不成立，CD=CF+BC.

(3)??,正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

/.ZBAD=ZCAF,

在aDAB與aFAC中，AD=AF,

/BAD二NCAF,AB=AC,

???△DAB四△FAC(SAS),

JNABD=NACF,

???/BAC=90。,AB=AC,

/.NACB=NABO45。

.???NABD=180?！?5。=135。,

/.ZBCF=ZACF-ZACB=135^Y5。=90。,

ACF1BC.VCD=DB+BC,DB=CF,

；?CD=CF+BC.

過(guò)A作AH_LBC于H,過(guò)E作EM_LBD于M,ENJ_CF于N,

VZBAC=90<>,AB=AC,

ABC=2AB=4,AH=2,

ACD=1,BCM,CH=2,ADH=3,

由⑵證得BC_LCF,CF=BD=5,

???四邊形ADEF是正方形，

???AD=DE,ZADE=90°,

VBC±CF,EM1BD,EN1CF,

???四邊形CMEN是矩形，

ANE=CM,EM=CN,

VZAHD=ZADC=ZEMD=90°,

/.ZADH+ZEDM=ZEDM+ZDEM=90-,

???ZADH=ZDEM,

在△ADH與△DEM中，ZADH=ZDEM,NAHD=NDME,AD=DE,

.?.△ADH^ADEM(AAS),

AEM=DH=3,DM=AH=2,

ACN=EM=3,EN=CM=3,

VZABC=45<>,

???NBGC=45。,

.'.△BCG是等腰直角三角形，

ACG=BC=4,

/.GN=1,

AEG=GN2+EN2

/.EG=^/W

跟蹤訓(xùn)練10:解：,?'△ABE是等邊三角形，

???NBAF=60°,AB=AE,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AB=CD=6,

???AE=AB=6,

VAF=3,

，AF=EF,

2

.?.SAABF=1SAABE=1*12-6=2^2.