2023年廣西玉林市高考數(shù)學三模試卷（文科）及答案解析

2023年廣西玉林市高考數(shù)學三模試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復數(shù)z對應的向量為被（0為坐標原點），次與實軸正向的夾角為120。，且復數(shù)z的模

為2,則復數(shù)2為（）

A.1+V_3iB.2C.（-1,~3）D.-1+V~3/

2.設集合4={0,1,2},AUB=[0,1,2,3）,則選項正確的是（）

A.06BB.3gCRB

C.AnB={0,1,2}D.AUB

3.已知命題p：%K3且丫片2,q：x+y于5,則p是勺的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設a,0為兩個不同的平面，則a〃口的一個充要條件可以是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與6平行B.a,口垂直于同一個平面

C.a,￡平行于同一條直線D.a,￡垂直于同一條直線

5.已知f（x）=x3g（x）為定義在R上的偶函數(shù)，則g（x）的解析式可以為（）

A.g（x）=（：尸-3XB.g（x）=x3+x2C.g（x）=（j）x+3XD.g（x）=x2—x3

6.2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船

與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦

點的橢圓，其遠地點（長軸端點中離地面最遠的點）距地面S],近地點（長軸端點中離地面最近

的點）距地面52,地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為（）

A./~S^B.2/~S^

C.J（Si+幻⑸+R）D.2j（Si+R）（Sz+R）

7.若兩個等差數(shù)列{aj也}的前n項和分別為與和r“，且行需，則舞=（）

A.|B.券C.會D.I

8.已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為36,方差為48,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩

個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將24記錄為34,另一個錯將48記錄為38.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正

后，重新求得樣本的平均數(shù)為3方差為s2,則（）

A.x=36,s2<48B.x=36,s2>48C.x>36,s2<48D.i<36,s2>48

9.如圖，動點P從點M出發(fā)，按照MTDTCTB路徑運動，

四邊形ZBCD是邊長為2的正方形，弧DM以4為圓心,/W為半徑，

設點P的運動路程為x,AAPB的面積為y,則函數(shù)y=/(x)的圖

象大致是()

11.已知?(5,0)是雙曲線C；★-馬=l(a>0">0)的右焦點，點工(0,CI).若對雙曲線C

左支上的任意點M,均有|M4|+|MF|210成立，則雙曲線C的離心率的最大值為()

A.VHHLB.5c?|D.6

12.函數(shù)f(x)對任意x,yGR總有f(%+y)=/(x)+〃y),當x<0時，f(x)<0,/(l)=

則下列命題中正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)

B./(x)是R上的減函數(shù)

C./(%)在［-6,6］上的最小值為-2

D.若f(x)+/(x-3)2-1,則實數(shù)x的取值范圍為［3,+8)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.函數(shù)/'(x)-ax3—bx—tanx+2,若/'(zn)=1,貝(1/(—m)=.

14.記數(shù)列｛%｝的前n項和為無,己知向量沅=(an+i，Sn),n=(1,2),若的=2,且記〃元,

則｛即｝通項為.

x+2y>4

15.設心y滿足約束條件卜％—y+2NO,則z=/+g一4)2的最小值為.

%<4

16.在正四棱柱4BCD-&B1C15中，AB=1,44=4,E為。久中點，P為正四棱柱表面

上一點，且GPIBiE,則點P的軌跡的長為—.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且acosB+bsinA=c.

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若a=/2，AABC的面積為［二，求b+c的值.

18.(本小題12.0分)

為改善學生的就餐環(huán)境，提升學生的就餐質(zhì)量，保證學生的營養(yǎng)攝入，某校每學期都會對全

校3000名學生進行食堂滿意度測試.已知該校的男女比例為1：2,本學期測試評價結(jié)果的等高

(1)填寫上面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認為學生對學校食堂的“滿意

度”情況與性別有關(guān)；

(2)按性別用分層抽樣的方法從測試評價不滿意的學生中抽取5人，再從這5人中隨機選出3人

交流食堂的問題，求選出的3人中恰好沒有男生的概率.

2_n(ad-bc)2

附:K7i=a+b+c+d.

-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Pg>ko)0.100.050.0100.001

k()2.7063.8416.63510.828

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，P4J_平面4BCD,底面4BCD是矩形，PA=AD=2,AB=4,

M,N分別是線段4B,PC的中點.

(1)求證：MN〃平面PAD；

(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為家若存在，求出

黑的值；若不存在，請說明理由.

20.(本小題12.0分)

已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為產(chǎn)，準線為八點P為E上的一點，過點P作直線，的垂

線，垂足為M，且|MF|=|FP|,FM-FT=32.

(1)求拋物線E的標準方程；

(2)已知△BCD的三個頂點都在拋物線E匕頂點B(2,4),△BCD重心恰好是拋物線E的焦點F,

求CD所在的直線方程.

21.(本小題12.0分)

設函數(shù)/'(x)=(x+a)lnx+b,曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程為x+y-2=0

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)證明:等<1

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，直線/的直角坐標方程為y=「無，曲線C的參數(shù)方程為

W：:震(a為參數(shù)).以坐標原點。為極點'x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(y-L?Dinu.

(1)求直線I和曲線C的極坐標方程；

11

(2)若直線E與曲線C交于4B兩點,求兩+兩.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=|x-2|4-|x+2|.

(1)求不等式/(%)>2%4-4的解集；

(2)若f(x)的最小值為k,且實數(shù)a,b,c,滿足a(b+c)=k,求證：2a24-62+c2>8.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：設復數(shù)z對應的點為(x,y),

則x=\z\cosl200=2x(-1)=-1,y=\z\sinl20°=2x孕=

二復數(shù)z對應的點為(一1,/百)，則Z=-1+Oi.

故選：D.

設復數(shù)z對應的點為(x,y),求解直角三角形可得x,y值，則z可求.

本題考查復數(shù)的模，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：集合A={0,1,2},AUB={0,1,2,3),

對于4由并集定義得。不一定是B中元素，故A錯誤；

對于B,3€B,二3CCRB,故8正確；

對于C,由并集定義得8中一定有元素3,不一定有元素0,1,2,故C錯誤；

對于D,當8={3}時，4UB不成立，故。錯誤.

故選：B.

利用并集、子集定義、元素與集合的關(guān)系直接求解.

本題考查集合的運算，考查并集、子集定義、元素與集合的關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，

是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：(等價轉(zhuǎn)化法)判斷p是q的何種條件，等價于判斷飛：x+y=5是x=3或x=2

的何種條件，

顯然由飛推不出"，由"也推不出「q,

所以p是q的既不充分也不必要條件，

故選：D.

利用等價轉(zhuǎn)化法，判斷p是q的何種條件，等價于判斷%：“+、=5是"：久=3或％=2的何種

條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可.

本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：4a內(nèi)有無數(shù)條直線與/?平行推不出a〃氏故A不符合，

B：a,0垂直于同一平面，得到(?〃0或al/?,故8不符合，

C：a,0平行于同一條直線，得到a〃夕或a與0相交，故C不符合，

D：a,6垂直于同一條直線oa〃夕，故。符合.

故選：D.

利用線面平行和線線平行的判定和性質(zhì)，面面平行的判定和性質(zhì)的應用判定4、8、C、。的結(jié)論.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查線面平行和線線平行的判定和性質(zhì)，面面平行的

判定和性質(zhì)，主要考查學生的轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題.

5.【答案】A

【解析】解：由于/(%)=/。(乃為定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(—x)——x3g(—x)-x3g(x),

所以g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù).

在四個選項中，4選項g(x)=?)x—3x是奇函數(shù)，BCD選項都不是奇函數(shù).

故選：A.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定正確答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意得a+c=S]+R,a-c=S2+/?,

b2=a2-c2=(Si+R)&+R)，

故b=J(Si+R)(S2+R)，

2b=2j⑸+R)(S2+R)，

故選：D.

根據(jù)橢圓的遠地點和近地點的距離可得a+c=Si+R,a-c^S2+R,進而可得X,求得從可

得答案.

本題主要考查了橢圓性質(zhì)的簡單應用，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：依題意，可設%=kn(3n+2),Tn=fcn(2n+1),

又當？i>2時，有冊=S"—Sn_］-fc(6n-1),bn=Tn-Tn_1—fc(4n-1),

.￡12=M6X12-1)=71

"b15~fc(4xl5-l)-59'

故選：C.

先由題設求得當與7；的關(guān)系式，進而求得an與垢的關(guān)系式，即可求得結(jié)果.

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的應用，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：設收集的48個準確數(shù)據(jù)為修，x2,-x48,

所以X]+X2+…+X48+34+38=36,

所以X1+冷T----卜*48=1728,

所以京=X1+X2+…藍48+24+48=36)

11

又48=—[(%i-36)2+(%2—36)2+…+(%48—36產(chǎn)+(34—36)2+(38—36)2]=—[(%!—

222222

36)2+(尤2-36)+…+(x48-36)+8],s=[(/-36)+(x2-36)+…+(x48-36)+

22222

(24-36)+(48-36)]=盍[(勺-36)+(x2-36)+-(%48-36)+288]>48.

故選：B.

根據(jù)數(shù)據(jù)總和不變，則平均數(shù)不變，再結(jié)合方差公式，即可求解.

本題主要考查方差公式的應用，屬于基礎題.

9.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，在區(qū)間［0,網(wǎng)上，P在曲線上運動，此時設4PAM=仇y=^ABxAPx

sin0=2sin9,

在區(qū)間［匹兀+2］上，P在DC上運動，此時y為定值2,

在區(qū)間［五+2,冗+4］上，P在上運動，止匕時y=；xxP8=P8=兀+4—

分析選項，其圖象與B選項對應，

故選：B.

根據(jù)題意，按x的范圍分3段求出y的解析式，分析選項即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎題.

10.【答案】A

【解析】解：/(%)=2sinx+4cosx=2y/~5(^-sinx+cosx)=2A/-5cos(x—<p),其中cosw=

—2/T>si.rup=—V-5>

丫函數(shù)f(%)=2sinx+4cos尤在x=勿處取得最大值2，§，

:.coscp——2<3>

故選：A.

先利用三角函數(shù)的恒等變換變形成余弦型函數(shù)，求解即可.

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦型函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于中檔題.

11.【答案】C

【解析】解：設E是雙曲線的左焦點，M在左支上,

則|MF|-|ME|=2a,|MF|=|ME|+2a,\MA\+\MF\=\MA\+\ME\+2a>\EA\+2a,當且

僅當E,A,M三點共線時等號成立，

Ic55

則|E4|+2a=J(-5)2+(/H)2+2a>10,a>2>所以6=￡=￡三萬，

所以離心率的最大值為I，

故選：c.

設E是雙曲線的左焦點，利用雙曲線的定義把|MF|轉(zhuǎn)化為|ME|后易得|M*+|ME|的最小值，從而

得a的最小值，由此得離心率的最大值.

本題考查了雙曲線的離心率的取值范圍問題，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：取x=0,y=0,則/(0)=/(0)+/(0)，解得/(O)=O,y=-x,

則f(O)=f(X)+〃T).即一f(x)=f(-x),函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，所以選項A錯誤；

令Xl，X2ER,且則因為當x<0時，/(X)<0,所以/(與—犯)<。，

貝"(巧)-f(&)=f(/)+/(-x2)=f(Xl_x2)<0.即/■(/)</(x2),

函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)，所以選項8錯誤；

因為函數(shù)/(無)是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)在［-6,6］上的最小值為/(-6),

因為(-6)=/(-3)+/(-3)=2/(—3),汽―3)=一/(3),/(3)="2)+f⑴=3/1)=1.

故/(—6)=—2,f(x)在［—6,6］的最小值為一2,所以選項C正確：

/(%)+f(x-3)>-1,即f(2x-3)>/(-3),

因為函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)，所以2%-32-3,所以X20,

所以實數(shù)x的取值范圍為［0,+8),所以選項。不正確.

故選：C.

利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷4

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合條件，即可判斷B；

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，和奇偶性，以及條件，即可判斷C；

不等式轉(zhuǎn)化為f(2x-3)>/(—3),利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷及應用，屬于中檔題.

13.【答案】3

【解析】解：由題得f(m)=am3—bm—tanm+2=1,

???am3—bm—tanm——1,

所以/(—m)=—am3+bm+tanm+2=—(am3—bm-tanm)+2=1+2—3.

故答案為：3.

3

根據(jù)題意可得azn，—bm—tanm=-1>結(jié)合f(—m)=—(am—bm—tanm)+2計算即可求解.

本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

(2,n=1

14.【答案】an=|(|r-2>2

【解析】解：??,m//nfm=(an+1,Sn),n=(1,2),

，Sn=2an+i,

當n=l時,Sr=alf則02=1=1,

當九22時，2an+i=Sn,2c1n=Sn_1，

兩式作差得冊+1=?！?，即乎=5,

乙anL

.?.數(shù)列是公比為I，首項為1的等比數(shù)列，

則與=(|)n-2(n>2),

_(2,n=1

又的=2不符合上式，貝=[(3尸-2,幾22.

故答案為：％

由平面共線向量的坐標表示可得Sn=2廝+1，利用S?與與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，即可得出

答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】1

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖，

z=x2+(y-4>的幾何意義為可行域內(nèi)動點到定點P(0,4)距離的平方,

則Z=9+(y-4產(chǎn)的最小值為(?。?；：)2=最

故答案為：I

由約束條件作出可行域，再由z=x2+(y-4)2的幾何意義，即可行域內(nèi)動點到定點P(0,4)距離的

平方求解.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎題.

16.【答案】V-5+2

【解析】解：如圖，連接Bi。1，&G，

由題可知，41cl1BQi，ED11平面&B1GD1，

因41clu平面4/1的。1，則EOi1&C],

又BRu平面ED1u平面EB也，E%n8也=么，則JL平面58也.

又B&Eu平面E&Di，

則G41BiE,

如圖，過E做/Ci平行線，交CCi于尸，貝IJF為CG中點.

連接EF,B/,過G作當尸垂線，交BBi于G.

由題可得，DiG1平面BCC/i，

又EF"D[Ci，則EF_L平面BCG&,

因QGu平面BCCiBi，則GGJ.EF,

又8/u平面當尸E,FEu平面&FE,FEnBrF=F,則C"_L平面B/E,

因為BiEu平面B/E,則CiG1B】E,

因為GGU平面GG4,G4U平面GG4,G4nGG=q,則/E1平面GG4,

連接&G,則點P軌跡為平面QGA1與四棱柱的交線，即AAiCiG,

注意到4B1GG+乙GC、F=乙GCjF+NB/Q,

故NBIGG=Z.B1FC1,Z.CJBJG=/.FC1B1,

則4C1B1F~AFC1B1,

B、G=1,

則點P的軌跡的長為41G+C]G+41cl=21+3+V~2=A/-5+\T~2-

故答案為：yf~54-yT~2-

過CI作與直線81E垂直的平面%則點P的軌跡的長即為平面a與正四棱柱的交線長.

本題為立體幾何中的軌跡問題，根據(jù)題意作出空間軌跡是解題關(guān)鍵，屬于難題.

17.【答案】解：(1)△ABC中，acosB+bsinA=c,

由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

???sinBsinA=cosAsinB,

又sinB豐0,

:.sinA=cosA,

又AG(0,7T),

...7T

tanA=1,4=T；

4

⑵由SA48c=^bcsinA=?bc=-2~V<

解得be=2-VI;

又M=b2+c2-2bccosA,

???2=b2+c2-y/~2bc=(b+c)2—(2+A/-2)Z?c,

A(b+c)2=2+(2+yj~2)bc=2+(2+V"力(2—=4,

???b+c=2.

【解析】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應用問題，是中檔題.

(1)利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理與三角恒等變換求得4的值；

(2)由三角形面積公式和余弦定理，即可求得b+c的值.

18.【答案】解：(1)?.?該校的男女比例為1：2,總?cè)藬?shù)為3000人,

該校男生數(shù)為3000x1=1000,該校女生數(shù)為3000x|=2000,

其中測試評價滿意的男生數(shù)為1000x0.7=700,不滿意的男生數(shù)為300,

其中測試評價滿意的女生數(shù)為2000x0.4=800,不滿意的女生數(shù)為2000-800=1200,

2x2列聯(lián)表如下：

男女合計

滿意7008001500

不滿意30012001500

合計100020003000

..K2=3000x(700x1200-800x300)2=

,”一1500x1500x1000x2000—240>10,828

???由獨立性檢驗定義知，有99.9%的把握認為學生對學校食堂的“滿意度”與性別有關(guān)；

(2)按性別用分層抽樣的方法從測試評價不滿意的學生中抽取5人，

由分層抽樣的定義可知，抽取的男生人數(shù)為5=1,抽取的女生人數(shù)為5-1=4,

設男生為A,女生為a,b,c,d,基本事件總數(shù)為10個，如下：

(A,a,b),(4,a,c),(4,a,d),(4,4c),(Atb,d),{A,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)

恰好沒有男生的基本事件個數(shù)為4個，如下：(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),

所以這5人中隨機選出3人，恰好沒有男生的概率為：P=^=l-

【解析】(1)根據(jù)題意和等高條形圖，求出對應的數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補充完整，利用卡方公式計算,

結(jié)合獨立性檢驗的思想即可下結(jié)論；

(2)由分層抽樣的定義可知抽取的男生1人，女生4人，利用列舉法即可解決該古典概型問題.

本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)如圖，取PB中點E,連接ME,NE.

?：M,N分別是線段48,PC的中點，

???ME〃P4又ME<t平面PAC,P4u平面PAD,

???ME〃平面PAD,同理得NE〃平面PAD,又MECNE=E,

.??平面PAD〃平面MNE,又MNu平面MNE,

MN〃平面240；

(2)?.?四邊形4BCD為矩形，[AB14D,又P4，平面4BCD,

AP>AB,AC兩兩垂直.

.?,以48、AD,4P所在直線為x、y、z軸建，立如圖的空間直角坐標系,

則根據(jù)題意可得C(4,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),M(2,0,0),N(2,1,1),

.-.'DM=(2,-2,0)，DN=(2,-1,1),

設平面DMN的法向量元=(x,y,z),

?.(n-DM=2x-2y=0“、

[n-DN=2x—y+z=0

若滿足條件的CD上的點Q存在，設Q(t,2,0),0<t<4,

又N(2,l,l),.?.而=(t-2,l,-l)，

設直線NQ與平面DMN所成的角為0,

NQH._|t-2+l+l|1

則sin。=5，又0WtW4,

解得t=L???(?(1,2,0),

???DQ=1,CD=4,CQ=CD-DQ=4-1=3,

故CD上存在點Q,使直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為5且瀉=,.

【解析】（1）取PB中點E,連接ME,NE.由線面平行的判定定理可證得ME〃平面PAD,NE〃平面

PAD,再由面面平行的判定定理，即可證明；

⑵以4B、AD.AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標系，由線面角的向量公式可求出Q點的

位置，即可得出黑的值.

本題考查線面平行的證明，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理與性質(zhì)，向量法求解線面

角問題，向量夾角公式的應用，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）???|PM|=\PF\=\FM\,PFM為等邊三角形,

乙FMP=4PFM=60°,

又麗?~FP=\FM\-\FP\cos/.PFM=|FM|2cos60。=32.???\FM\8,

設直線，交x軸于N點，則在Rt△MNF中乙NMF=30°,\NF\=4p,

.??拋物線E的方程為f=8x；

(2)設CO[%),D(x2,y2),由(1)可得焦點尸(2,0),

_%1+冷+2

N--3—(%1+%=4

由重心坐標公式得2

0一%+丫2+4lyi+y2=

???CD中點坐標為(2,—2),

將C,D的坐標代入拋物線的方程可得另=?叼，

172=8%2

作差比-yl=8X1-8打，即(%一丫2)()+丫2)=8(X1-尤2)，

所以略=五%=3=一2,即直線C。的斜率k=-2,

所以直線CO的方程為y+2=-2(x-2),即2x+y-2=0.

【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義及已知條件可得APFM為等邊三角形，再利用數(shù)量積的定義求出

\FM\,即可求出p,從而得解；

(2)設C(Xi，yJ,D(x2,y2),利用重心坐標公式得到CD中點坐標為(2,-2),再利用點差法求出品°，

即可求出直線方程.

本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為((x)=bix+誓，所以f'(l)=l+a=-l,所以a=-2

又點在切線x+y-2=0上，所以1+匕-2=0,所以b=l

所以y=f(x)的解析式為/'(x)=(x-2)lnx+1.

(2)令g(x)=x—e*,(x>0)

因為g'(x)=1-e*所以當尤>0時，g'(x)<0

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以g(x)<g(o)=-1<o

所以酷1<1等價于-1>9。)-

我們?nèi)绻軌蜃C明/(x)-1>-1,即/(乃>0即可證明目標成立.

下面證明：對任意x6(0,+8),/(x)>0.

由(1)知r(x)=Inx+令九(x)=+?(x>0)

則*(久)=：+捻>0,所以h(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

又九⑴=-1<0,九⑵=ln2>0,所以存在通e(1,2)使得Mx。)=0.

當0<x<&時，九(x)<0即/'(x)<0,此時“為單調(diào)遞減;

當%>和時，九(乃>0即/'(%)>0,此時f(x)單調(diào)遞增；

2

所以/(X)>/(&)=(&-2)/nx0+1.由r(&)=0得Inx。=--1

所以/(X)>/1(&)=(XO-2)/nx0+1=Qo-2)(：-1)+1=5-(x0+^).

令r(x)=x+^(l<x<2),則r，(x