2023-2024學(xué)年北京西城區(qū)十五中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京十五中高二（上）期中數(shù)學(xué)考生注意：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。請(qǐng)將答案作答在答題紙上。第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題(本大題共小題，每小題5分，共分；每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的；請(qǐng)將答案填涂在答題紙上)1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(04)和點(diǎn)B(12)，則直線的斜率為（A．－2B3C．22．直線lP(1，1)，且與直線x??=x+y?2=0D．）．不存在?y+2=0平行，則直線l的方程為（）A．xy20B．+(?)C．x?y=0x+y?4=03．已知圓C：x2(?)22=C(+)2y1+(+)2=C1C2）y34與圓：x19，則圓與圓的位置關(guān)系為（12A．相交B．外切=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（C．內(nèi)切Dx2y24．橢圓+）925A．(0，3)，(0，－3)C．(0，5)，(0，－5)B．(4，0)，(－4，0)D．(0，4)，(04)5．若a=，2)，b=(24)，a與b的夾角為，則的值為（A．5B．4．?1D．06．焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2:1，焦距為23的橢圓方程為（））x2y2x2y2A．+=1=1B．++=1=1416164x2y2C．+y2D．x2447．已知向量a=(??2)，b=(?2)，c=(2)，若向量c與向量a，b共面，則實(shí)數(shù)x的值為（）1212?A．1B．C．D．?18．已知圓M經(jīng)過(guò)A(?0，B(0，C(4)三點(diǎn)，則圓心到直線l:3x4y90的距離為（M??=）12A．B．1C2D．39．已知直線y=2+k(x?與曲線y=1?x2有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）33553A．B．(0)．(D．(，)(，441212410．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDABCD中，P為線段?AC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下1111111列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）①存在點(diǎn)Q，使得PQ//BD②不存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥平面ABCD11③三棱錐Q?APD的體積是定值④不存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成角為60°A．0B．1C2D．3第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共分；請(qǐng)將答案填入答題紙的指定位置)．以(－12)為圓心且與x軸相切的圓的方程為_(kāi)______________．12．直線y=x+1與圓x+y+2y?3=0交于A，B兩點(diǎn)，則_________．22=13．若直線ax+y=0與直線4ax+a2y+a?2=0平行，則a=_________．14．已知點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，點(diǎn)P在直線x?2y+8=0上，則PA+PB最小值等于__．x22y2215．已知橢圓+=ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過(guò)橢圓上頂點(diǎn)A與左焦點(diǎn)F的直線與橢圓的121ab另一個(gè)交點(diǎn)為B，若B是直角，則橢圓的離心率是________．2三、解答題(本大題共5小題，共75分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟；請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上)16．(本小題14分)已知三角形的頂點(diǎn)為A(，B(2，C?4).（Ⅰ）求邊上的中線所在直線方程；（Ⅱ）求邊上的高線所在直線方程.17．(本小題14分)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0，圓C:xy22x6y()2++?+6=0.（Ⅰ）若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程；（Ⅱ）若直線l平行于直線3x+y?1=0，求直線l關(guān)于點(diǎn)M2的對(duì)稱(chēng)直線l的方程().8．(本小題分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD是正三角形，AD的中點(diǎn)為O，PO⊥平面ABCD.（Ⅰ）證明：AB⊥平面PAD；（Ⅱ）求直線與平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面PBC的距離.19．(本小題16分)如圖，在四棱錐PABCD?CD⊥===EF，的中點(diǎn)，平面形，AD//，ADCD2BC2，、分別為棱PDPBD與平面PBC的交線是l．（Ⅰ）求證：∥直線l；（Ⅱ）求平面AEF與平面D所成銳二面角的余弦值；PG（Ⅲ）在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得∥平面AEF？若存在，求的PC值，若不存在，說(shuō)明理由．20．(本小題16分)已知點(diǎn)P(13)，圓C:x2+2y=1．（Ⅰ）求圓C過(guò)點(diǎn)P的切線方程；（Ⅱ）Q為圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l與圓C交于兩點(diǎn)M，N，設(shè)QM，的斜率分別為k，k，求證：k+k為定值．1212參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題(本大題共小題，每小題5分，共分；每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的；請(qǐng)將答案填涂在答題紙上)1A）2C）3B）4D）5C）6D）7B）8D）9A）10A）第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共分；請(qǐng)將答案填入答題紙的指定位置)22．(x(或?qū)懗蓌+y+2x?4y+1=0)12．22++(y2)=4?2213．－214．8515．5三、解答題(本大題共5小題，共75分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟；請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上)16BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為3+12?4(，)=(2，?，................................................3分22因?yàn)锳()，則邊BC上的中線所在直線的方程為x=2；..................................6分2?(?4)（Ⅱ）邊BC的斜率為=3，................................................................................8分3?11則其上的高的斜率為?，........................................................................................10分3又因?yàn)橹本€過(guò)A()，1則邊BC上的高所在直線的方程為y?1=?(x?2)，............................................12分3即x+3y?5=0.............................................................................................................14分1353(直線方程也可以寫(xiě)成斜截式：=?x+)yx2+y2+2x?6y+6=0(x+2+(y?2=417..........................................2分可得圓心C(，半徑r2，?=因?yàn)閳AC關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，所以直線l過(guò)圓心C(?3?0，分分.............................................33又直線l過(guò)點(diǎn)P0)，所以直線l斜率為k==?，..........................................5?1?123由點(diǎn)斜式方程可得y?0=?(x，即?3x+2y?3=0.................................................7分233(直線方程也可以寫(xiě)成斜截式：=?x+)y22（Ⅱ）由題意知，直線l斜率為k=?3，則由點(diǎn)斜式方程可得y?0=?x?，3x+y?3=0..........................................................................................................9，即分因?yàn)橹本€l與直線l關(guān)于點(diǎn)M2)對(duì)稱(chēng)，所以k=k=?3，....................................10分ll，直線過(guò)點(diǎn)P，P0)M2)P(5,4)l..........................12又因?yàn)辄c(diǎn)(也可以用直線l上其他的點(diǎn)求其對(duì)稱(chēng)點(diǎn))y?4=?x?關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分3x+y?19=0.............................................14，即則由點(diǎn)斜式方程可得分(直線方程也可以寫(xiě)成斜截式：y=?3x+19)18ABCD為正方形，則⊥，...................................................1分因?yàn)镻O⊥平面ABCD，所以PO⊥AB，.......................................................................2分因?yàn)镻O.......................................................................................................3分所以AB⊥平面PAD；......................................................................................................4分（Ⅱ）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?.......................................6，分則O(0,0)，0)，B0)，C(0)，D(0)，P(0,3)，........................7分BC=(?0)BP=(?3)，PA=?3)，m=(x,y,z)設(shè)面PBC的一個(gè)法向量為，=0m則mx，令z=2，則m(0,3,2)，=..........................................9分x?2y+3z=0設(shè)直線與平面PBC所成角為，23217cosPAm==，.....................................................................11分|m||PA|742121sin=，因此直線與平面PBC所成角的正弦值為...............................12分77（Ⅲ）由（Ⅱ）知DC=(0,0)，.....................................................................................13分設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d，|DC2217所以d=....................................................................................................15分|m|ADAD//，PADBC，平面PAD，19平面所以//平面PAD，............................................................................................................2分又因?yàn)锽C平面PBC，平面PBC平面=直線l，.........................................3分所以∥l......................................................................................................................4分（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連接OP,OB，由題意可得：//，且BC=OD，則OBCD為平行四邊形，可得//CD，且CD平面⊥，則，則OB⊥平面，由OP平面OP⊥OB，又因?yàn)椤鱀為等邊三角形，則O為AB的中點(diǎn)，可得OPAD，OBOB,ADABCDABCD，....................................6分如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，,OB,OP⊥，平面，則OP⊥平面x,y,z分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，............7分分3123()()(?)(?)()?A1,0,0,B2,0,C2,0,D1,0,0,P3,E,0,,F，則22AE=?,0,,EF=0可得，...........................................................................82223nx+z=022設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z)，則，nEF=x+y=02n=?1,23)，令x=2，則y=?z=23，即.........................................................10分由題意可知：平面D的法向量m=(0)，.............................................................11分117cosn,m==?可得，n1711717所以平面AEF與平面D所成銳二面角的余弦值...............................................12分17()，.....................................................................13PC=?1,2,?3（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：分()PG=a,b,c?3)，設(shè)PG=PC，=?Ga,b,c，則=?aa可得b=2，解得b=2，c?3=?c=(?)31(())(())DG=1?,2,31?，G?,2,31?即，可得..........................................15分4，可得nDG21?)?2+61=?=)0，解得=，若∥平面AEF，則n5PGPC4=所以存在點(diǎn)G，使得∥平面AEF...................................................16分5C:x2+y2=1(0,0)20，圓心為，半徑為1，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l與圓C相切；此時(shí)方程為x=1..................................2分當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線ly?3=k(x?，即?y?k+3=0，..................................................3分因?yàn)橹本€l與圓相切，所以圓心到直線l的距離與圓的半徑相等，?k+34即=1，得k=，.................................................................................................5分2k+13此時(shí)，切線方程為4x?3y+5=0，.................................................................................6分綜上，切線方程為x=1或4x?3y+5=0.........................................................................7分P的直線l斜率存在，（