【數學】四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學期階段檢測（二）試題（理）（解析版）

四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學期階段檢測（二）數學試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一.選擇題1.已知：，則復數z在復平面內對應點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，則復數z在復平面內對應的點為，位于第三象限.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據全稱命題的否定為特稱命題知：命題“，”的否定是“，，”故選：A.3.已知集合，，則集合的元素個數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，則，故集合的元素個數為.故選：B.4.在中，已知，，，則向量在方向上的投影為（）．A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由題設，則，可得，所以向量在方向上的投影為.故選：C.5.已知銳角滿足則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，，因為銳角，所以，，即.故選：C.6.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，則，故為奇函數，故C,D錯誤；而令時，在之間的函數零點有兩個，故B錯誤，故選：A7.已知數列的前項和為.若，，則（）A.95 B.100 C.135 D.175【答案】D【解析】因為，，所以，即，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以由等差數列的前項和公式可得.故選：D8.將最小正周期為的函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列關于函數的說法正確的是（）A.對稱軸， B.在內單調遞增C.對稱中心為， D.在內最小值為【答案】C【解析】因為的最小正周期為，所以，解得，則由平移變換可得，A選項：令得對稱軸方程為，A錯誤；B選項：由得，所以在上單調遞增，由得，所以在上單調遞減，B錯誤；C選項：令得，所以的對稱中心為，C正確；D選項：因為，，所以結合B中分析可得在內的最小值為，D錯誤.故選：C9.已知函數，若，，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據題意，函數，其導數函數，因為，所以在上恒成立，則在上增函數；，所以為奇函數，所以，又由，則；故選：D．10.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于．經測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間（單位：分鐘）的最小整數值為（）（參考數據，）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知：當時，，解得：，；令，即，即，，所需時間（單位：分鐘）的最小整數值為.故選：A.11.已知數列滿足，若，使成立的的最小值為數列的首項，則數列前2023項的積為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由命題“，使成立”，即在區(qū)間有解，又因為當時，的最小值為，所以，所以的首項為，又由數列滿足，可得，，，，所以數列是以3項為周期的周期數列，且，所以數列前2023項的積為：.故選：B12.若指數函數（且）與冪函數的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由冪函數和指數函數的圖象和性質可知，當時兩函數圖象無交點，令，兩邊取對數得，即，記，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，取得最大值.又當x趨于時，趨于0，當x趨于時，趨于，所以可得的草圖如圖，由圖可知，當，即時，函數的圖象與有兩個交點，即指數函數（且）與冪函數的圖象恰好有兩個不同的交點.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二.填空題13.已知向量，.若，則______.【答案】【解析】【分析】根據得到，解得答案.【詳解】，則，解得.故答案為：.14.函數是定義在R上的奇函數，當時，，則______．【答案】【解析】因為，所以由為奇函數得：．故答案為：15.在數列中，，，若（其中），則______.【答案】5【解析】因為，，則令得，所以數列是以為首項和公比的等比數列，所以數列的通項公式為，由，得，解得.故答案為：516.已知函數在上是增函數，且，則的取值的集合為______.【答案】【解析】由可知，，得，所以，又函數在上是增函數，所以，即，所以，所以，的可能取值為.當時，由解得，經檢驗，時不滿足題意；當時，由解得，經檢驗，時滿足題意.所以，的可能取值為.故答案為：三、解答題17.已知數列的首項為3，且滿足.（1）求證：是等比數列；（2）求數列的前項和.（1）證明：由數列的首項為，且滿足，可得，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.（2）解：由（1）得，可得，所以數列的前項和.18.某貧困縣在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農科所為了對比兩種不同品種茶葉的產量，在試驗田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產數據（單位：千克）都在內，根據畝產數據得到頻率分布直方圖如下：（1）從種茶葉畝產的20個數據中任取兩個，記這兩個數據中不低于56千克的個數為，求的分布列及數學期望；（2）在頻率分布直方圖中，若平均數大于中位數，則稱為“右拖尾分布”，若平均數小于中位數，則稱為“左拖尾分布”，試通過計算判斷種茶葉的畝產量屬于上述哪種類型.解：（1）畝產不低于56千克頻率為，所以，畝產不低于56千克的數據共有個，故的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列為012的數學期望（2）根據以上直方圖數據，茶葉畝產平均數為：，設中位數為由得，因為，所以種茶的畝產屬于“左拖尾分布”.19.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C；（2）若的面積為，點D為AB中點，且，求c邊的長.解：（1）由得，，因為所以.（2）由已知得，所以，所以，所以，因為的面積為，所以，即，，由余弦定理得，所以.20.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，，為的中點，點在上，.（1）證明：平面；（2）若，且與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值.（1）證明：設的交點為，連接，易知，，且，所以，所以，得，在中，，所以，又平面，平面，則平面.（2）解：因為底面是菱形，所以，所以為等邊三角形，，又因為，所以，，取的中點為，連接，則，平面平面，平面平面，平面，則平面，以為坐標原點，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為與平面所成的角為，所以，設菱形的邊長為，所以，所以，因為，所以，，設平面的法向量為，，取，設平面的法向量為，，取，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知函數，曲線在處切線也與曲線相切.（1）求實數的值；（2）若是的最大的極小值點，是的最大的極大值點，求證：.（1）解：∵，∴，又，所以在處的切線方程為，因為切線與相切，聯(lián)立得，由及，解得；（2）證明：由（1）得，所以，當時，，所以在無極大值點.當時，令，則在上單調遞增，又，，所以存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.又所以當時，，即，所以是的最大的極小值點，且.∵，，所以存在，使得，即，當時，；當時，，所以是的極大值點，也是的最大的極大值點.因為在上單調遞減，所以，.所以.請考生在22、23題中任選一題作答.選修4—4：坐標系與參數方程22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．解：（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上．又因為點在曲線上，所以點的極坐標是，從而，點的極坐標