【數(shù)學(xué)】四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學(xué)期階段檢測（二）試題（理）（解析版）

四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學(xué)期階段檢測（二）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一.選擇題1.已知：，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題知：命題“，”的否定是“，，”故選：A.3.已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，則，故集合的元素個數(shù)為.故選：B.4.在中，已知，，，則向量在方向上的投影為（）．A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，則，可得，所以向量在方向上的投影為.故選：C.5.已知銳角滿足則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，，因為銳角，所以，，即.故選：C.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，故為奇函數(shù)，故C,D錯誤；而令時，在之間的函數(shù)零點有兩個，故B錯誤，故選：A7.已知數(shù)列的前項和為.若，，則（）A.95 B.100 C.135 D.175【答案】D【解析】因為，，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的前項和公式可得.故選：D8.將最小正周期為的函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.對稱軸， B.在內(nèi)單調(diào)遞增C.對稱中心為， D.在內(nèi)最小值為【答案】C【解析】因為的最小正周期為，所以，解得，則由平移變換可得，A選項：令得對稱軸方程為，A錯誤；B選項：由得，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以在上單調(diào)遞減，B錯誤；C選項：令得，所以的對稱中心為，C正確；D選項：因為，，所以結(jié)合B中分析可得在內(nèi)的最小值為，D錯誤.故選：C9.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，因為，所以在上恒成立，則在上增函數(shù)；，所以為奇函數(shù)，所以，又由，則；故選：D．10.教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標(biāo)準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)小于．經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標(biāo)準需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）（參考數(shù)據(jù)，）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知：當(dāng)時，，解得：，；令，即，即，，所需時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為.故選：A.11.已知數(shù)列滿足，若，使成立的的最小值為數(shù)列的首項，則數(shù)列前2023項的積為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由命題“，使成立”，即在區(qū)間有解，又因為當(dāng)時，的最小值為，所以，所以的首項為，又由數(shù)列滿足，可得，，，，所以數(shù)列是以3項為周期的周期數(shù)列，且，所以數(shù)列前2023項的積為：.故選：B12.若指數(shù)函數(shù)（且）與冪函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，當(dāng)時兩函數(shù)圖象無交點，令，兩邊取對數(shù)得，即，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得最大值.又當(dāng)x趨于時，趨于0，當(dāng)x趨于時，趨于，所以可得的草圖如圖，由圖可知，當(dāng)，即時，函數(shù)的圖象與有兩個交點，即指數(shù)函數(shù)（且）與冪函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二.填空題13.已知向量，.若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，解得答案.【詳解】，則，解得.故答案為：.14.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則______．【答案】【解析】因為，所以由為奇函數(shù)得：．故答案為：15.在數(shù)列中，，，若（其中），則______.【答案】5【解析】因為，，則令得，所以數(shù)列是以為首項和公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為，由，得，解得.故答案為：516.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為______.【答案】【解析】由可知，，得，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以，所以，的可能取值為.當(dāng)時，由解得，經(jīng)檢驗，時不滿足題意；當(dāng)時，由解得，經(jīng)檢驗，時滿足題意.所以，的可能取值為.故答案為：三、解答題17.已知數(shù)列的首項為3，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（1）證明：由數(shù)列的首項為，且滿足，可得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，可得，所以數(shù)列的前項和.18.某貧困縣在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農(nóng)科所為了對比兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內(nèi)，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：（1）從種茶葉畝產(chǎn)的20個數(shù)據(jù)中任取兩個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于56千克的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過計算判斷種茶葉的畝產(chǎn)量屬于上述哪種類型.解：（1）畝產(chǎn)不低于56千克頻率為，所以，畝產(chǎn)不低于56千克的數(shù)據(jù)共有個，故的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望（2）根據(jù)以上直方圖數(shù)據(jù)，茶葉畝產(chǎn)平均數(shù)為：，設(shè)中位數(shù)為由得，因為，所以種茶的畝產(chǎn)屬于“左拖尾分布”.19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C；（2）若的面積為，點D為AB中點，且，求c邊的長.解：（1）由得，，因為所以.（2）由已知得，所以，所以，所以，因為的面積為，所以，即，，由余弦定理得，所以.20.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，，為的中點，點在上，.（1）證明：平面；（2）若，且與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)的交點為，連接，易知，，且，所以，所以，得，在中，，所以，又平面，平面，則平面.（2）解：因為底面是菱形，所以，所以為等邊三角形，，又因為，所以，，取的中點為，連接，則，平面平面，平面平面，平面，則平面，以為坐標(biāo)原點，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為與平面所成的角為，所以，設(shè)菱形的邊長為，所以，所以，因為，所以，，設(shè)平面的法向量為，，取，設(shè)平面的法向量為，，取，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知函數(shù)，曲線在處切線也與曲線相切.（1）求實數(shù)的值；（2）若是的最大的極小值點，是的最大的極大值點，求證：.（1）解：∵，∴，又，所以在處的切線方程為，因為切線與相切，聯(lián)立得，由及，解得；（2）證明：由（1）得，所以，當(dāng)時，，所以在無極大值點.當(dāng)時，令，則在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.又所以當(dāng)時，，即，所以是的最大的極小值點，且.∵，，所以存在，使得，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以是的極大值點，也是的最大的極大值點.因為在上單調(diào)遞減，所以，.所以.請考生在22、23題中任選一題作答.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標(biāo)；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．解：（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上．又因為點在曲線上，所以點的極坐標(biāo)是，從而，點的極坐標(biāo)