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2023-2024學(xué)年江西省臨川一中等高一上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1.已知函數(shù),,若對(duì)任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)取值范圍為A. B.C. D.2.設(shè)的兩根是,則A. B.C. D.3.若正數(shù)x,y滿足,則的最小值為()A.4 B.C.8 D.94.已知是以為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn),且,則A. B.C. D.5.已知命題,則是()A., B.,C., D.,6.半徑為1cm,圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為()A. B.C. D.7.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則的值為()A.3 B.9C.27 D.8.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.9.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線,作法如下:在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB,并作等邊三角形ABC,然后以點(diǎn)B為圓心,BA為半徑逆時(shí)針畫圓弧,交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D;再以點(diǎn)C為圓心,CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧,交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,以此類推,得到的螺線如圖所示.當(dāng)螺線與直線有6個(gè)交點(diǎn)(不含A點(diǎn))時(shí),則螺線長(zhǎng)度最小值為()A. B.C. D.10.集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A. B.C. D.11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在單調(diào)遞增,且為偶函數(shù),若,則不等式的解集為()A. B.C. D.12.若函數(shù)的定義域和值域都為R,則關(guān)于實(shí)數(shù)a的下列說法中正確的是A.或3 B.C.或 D.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小值是________.14.已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(8,2),則f(27)的值為____________15.若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值為___________16.若不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____.三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17.如圖,在中,斜邊,,在以為直徑的半圓上有一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),,設(shè)的面積,的面積.(1)若,求;(2)令,求的最大值及此時(shí)的.18.已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+1+a在區(qū)間[1,2]上有最小值﹣1(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若關(guān)于x的方程f(log2x)+1﹣2klog2x=0在[2,4]上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)若對(duì)任意的x1,x2∈(1,2],任意的p∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤m2﹣2mp﹣2成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(附:函數(shù)g(t)=t在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.)19.上海市某地鐵項(xiàng)目正在緊張建設(shè)中,通車后將給更多市民出行帶來便利,已知該線路通車后,地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)滿足,,經(jīng)測(cè)算,在某一時(shí)段,地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān),當(dāng)時(shí)地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài),載客量為1200人,當(dāng)時(shí),載客量會(huì)減少,減少的人數(shù)與的平方成正比,且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)載客量為560人,記地鐵載客量為.(1)求的解析式;(2)若該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益為(元),問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí),該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益最大?20.已知的三個(gè)頂點(diǎn)(1)求邊上高所在直線的方程;(2)求的面積21.已知函數(shù)部分圖象如圖所示,點(diǎn)為函數(shù)的圖象與y軸的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)B為函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn),且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)為函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)(1)求函數(shù)的解析式;(2)已知函數(shù)的值域?yàn)?,求a,b的值22.求下列各式的值:(1);(2).
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1、B【解析】分別求出在的值域,以及在的值域,令在的最大值不小于在的最大值,得到的關(guān)系式,解出即可.【詳解】對(duì)于函數(shù),當(dāng)時(shí),,由,可得,當(dāng)時(shí),,由,可得,對(duì)任意,,對(duì)于函數(shù),,,,對(duì)于,使得,對(duì)任意,總存在,使得成立,,解得,實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值、全稱量詞與存在量詞的應(yīng)用.屬于難題.解決這類問題的關(guān)鍵是理解題意、正確把問題轉(zhuǎn)化為最值和解不等式問題,全稱量詞與存在量詞的應(yīng)用共分四種情況:(1)只需;(2),只需;(3),只需;(4),,.2、D【解析】詳解】解得或或即,所以故選D3、C【解析】由已知可得,然后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】解:因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為8,故選:C【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式應(yīng)用,利用了“1”的代換,屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】根據(jù)向量投影的幾何意義得到結(jié)果即可.【詳解】由A,B是以O(shè)為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn),且,根據(jù)向量的點(diǎn)積運(yùn)算得到=||?||?cos,由向量的投影以及圓中垂徑定理得到:||?cos即OB在AB方向上的投影,等于AB的一半,故得到=||?||?cos.故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用,以及向量投影的應(yīng)用.平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用主要有兩種形式,一是,二是,主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角,(此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解);(2)求投影,在上的投影是;(3)向量垂直則;(4)求向量的模(平方后需求).5、C【解析】由全稱命題的否定是特稱命題即可得結(jié)果.【詳解】由全稱命題的否定是特稱命題知:,,是,,故選:C.6、D【解析】利用扇形弧長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】圓心角化為弧度為,則弧長(zhǎng)為.故選:D.7、C【解析】求出冪函數(shù)的解析式,然后求解函數(shù)值【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn),可得,解得,冪函數(shù)的解析式為:,可得(3)故選:8、A【解析】根據(jù)函數(shù)解析式,結(jié)合特殊值,即可判斷函數(shù)圖象.【詳解】設(shè),則,故為上的偶函數(shù),故排除B又,,排除C、D故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圖象識(shí)別,注意從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)等方面去判斷,本題屬于中檔題.9、A【解析】根據(jù)題意,找到螺線畫法的規(guī)律,由此對(duì)選項(xiàng)逐一分析,從而得到答案【詳解】第1次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為;第2次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為,交累計(jì)1次;第3次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為3,交累計(jì)2次;第4次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為;第5次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為,交累計(jì)3次;前5次累計(jì)畫線;第6次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為,交累計(jì)4次,累計(jì)畫線;第7次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為;第8次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為,交累計(jì)5次;第9次畫線:以點(diǎn)為圓心,,旋轉(zhuǎn),劃過的圓弧長(zhǎng)為,交累計(jì)6次,累計(jì)畫線,故選項(xiàng)A正確故選:A另解:由前三次規(guī)律可發(fā)現(xiàn),每畫三次,與l產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn),故要產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn),需要畫9次;每一次畫的圓弧長(zhǎng)度是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以前9項(xiàng)之和為:﹒故選:A﹒10、B【解析】確定集合的元素個(gè)數(shù),利用集合真子集個(gè)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】集合的元素個(gè)數(shù)為,故集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選:B.11、D【解析】根據(jù)題意,由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,又由函數(shù)在,單調(diào)遞增且f(3),則,解可得:,即不等式的解集為;故選:D12、B【解析】若函數(shù)的定義域和值域都為R,則.解得或3.當(dāng)時(shí),,滿足題意;當(dāng)時(shí),,值域?yàn)閧1},不滿足題意.故選B.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13、【解析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解.【詳解】依題意可知,得,所以,故當(dāng)時(shí),取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱性.正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程是,對(duì)稱中心是14、3【解析】根據(jù)冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(8,2)求出a的值,再求f(27)的值.【詳解】?jī)绾瘮?shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(8,2),則8α=2,∴α=,∴f(x)=,∴f(27)==3.故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的概念和解析式的求法,考查冪函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.15、【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值,再由基本不等式計(jì)算即可得答案【詳解】由題意,得:,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào))故答案為:16、【解析】把不等式變形為,分和情況討論,數(shù)形結(jié)合求出答案.【詳解】解:變形為:,即在上恒成立令,若,此時(shí)在上單調(diào)遞減,,而當(dāng)時(shí),,顯然不合題意;當(dāng)時(shí),畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,要想滿足在上恒成立,只需,即,解得:綜上:實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為:三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17、(1);(2),有最大值.【解析】由已知可得,.(1)根據(jù)解可得答案;(2)由化簡(jiǎn)為,根據(jù)的范圍可得答案.【詳解】因?yàn)橹?,,,所以,?又因?yàn)闉橐詾橹睆降陌雸A上一點(diǎn),所以.在中,,,.作于點(diǎn),則,,(1)若,則,因?yàn)?,所以,所以,整理得,所以?(2)因?yàn)椋?,?dāng)時(shí),即,有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和解三角形,關(guān)鍵點(diǎn)是利用已知得到,,正確的利用兩角和與差的正弦公式得到函數(shù)表達(dá)式的形式,考查了運(yùn)算能力.18、(1)﹣1;(2)0≤t;(3)m≤﹣3或m≥3【解析】(1)由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.(2)采用換元把方程化為t2﹣(2+2k)t+1=0在[1,2]上有解,然后再分離參數(shù)法,化為t與2+2k在[1,2]上有交點(diǎn)即可求解.(3)求出|f(x1)﹣f(x2)|max<1,把問題轉(zhuǎn)化為1≤m2﹣2mp﹣2恒成立,研究關(guān)于的函數(shù)h(p)=﹣2mp+m2﹣3,使其最小值大于零即可.【詳解】(1)函數(shù)f(x)=x2﹣2x+1+a對(duì)稱軸為x=1,所以區(qū)間[1,2]上f(x)min=f(1)=a,由根據(jù)題意函數(shù)f(x)=x2﹣2x+1+a在區(qū)間[1,2]上有最小值﹣1所以a=﹣1(2)由(1)知f(x)=x2﹣2x,若關(guān)于x的方程f(log2x)+1﹣2k?log2x=0在[2,4]上有解,令t=log2x,t∈[1,2]則f(t)+1﹣2kt=0,即t2﹣(2+2k)t+1=0在[1,2]上有解,t2+2k在[1,2]上有解,令函數(shù)g(t)=t,在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增所以g(1)≤2+2k≤g(2),即2≤2+2t,解得0≤t(3)若對(duì)任意的x1,x2∈(1,2],|f(x1)﹣f(x2)|max<1,若對(duì)任意的x1,x2∈(1,2],任意的p∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤m2﹣2mp﹣2成立,則1≤m2﹣2mp﹣2,即m2﹣2mp﹣3≥0,令h(p)=﹣2mp+m2﹣3,所以h(﹣1)=2m+m2﹣3≥0,且h(1)=﹣2m+m2﹣3≥0,解得m≤﹣3或m≥3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)與方程以及不等式恒成立問題,綜合性比較強(qiáng),需有較強(qiáng)的邏輯推理能力,屬于難題.19、(1);(2)分鐘.【解析】(1)時(shí),求出正比例系數(shù)k,寫出函數(shù)式即可得解;(2)求出每一段上的最大值,再比較大小即可得解.【詳解】(1)由題意知,(k為常數(shù)),因,則,所以;(2)由得,即,①當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立;②當(dāng)時(shí),在[10,20]上遞減,當(dāng)時(shí)Q取最大值24,由①②可知,當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí),該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益最大,最大為120元.20、(1);⑵8.【解析】(1)設(shè)BC邊的高所在直線為l,由斜率公式求出KBC,根據(jù)垂直關(guān)系得到直線l的斜率Kl,用點(diǎn)斜式求出直線l的方程,并化為一般式(2)由點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)A(﹣1,4)到BC的距離d,由兩點(diǎn)間的距離公式求出|BC|,代入△ABC的面積公式求出面積S的值試題解析:(1)設(shè)邊上高所在直線為,由于直線的斜率所以直線的斜率.又直線經(jīng)過點(diǎn),所以直線的方程為,即⑵邊所在直線方程為:,即點(diǎn)
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