2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市廣西田陽高中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市廣西田陽高中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)2．函數(shù)在上的最小值為，最大值為2，則的最大值為（）A. B.C. D.23．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是A. B.C. D.4．如圖，四面體中，，且，分別是的中點(diǎn)，則與所成的角為A. B.C. D.5．函數(shù)部分圖像如圖所示，則的值為（）A. B.C. D.6．“”是“函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要7．直線l過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在下列各區(qū)間上，函數(shù)是單調(diào)遞增的是A. B.C. D.9．如果，，那么直線不通過A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．若點(diǎn)在角的終邊上，則的值為A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為_________12．函數(shù)y＝cos2x－sinx的值域是__________________13．__________14．已知球O的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則球O的表面積為________.15．已知集合，則___________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知二次函數(shù)，滿足，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在區(qū)間上的值域.17．已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒有（1）求的表達(dá)式及定義域；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)（1）寫出、、值；（2）求的值19．如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設(shè)的面積為，正方形PQRS的面積為.（1）用a，表示和；（2）當(dāng)a為定值，變化時，求的最小值，及此時的值.20．已知函數(shù).（1）求、、的值；（2）若，求a的值.21．已知集合，（Ⅰ）當(dāng)時，求；；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的值

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，故利用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又，，由零點(diǎn)存在定理可知在存在零點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)的零點(diǎn)問題有兩種類型，（1）計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)，比如二次函數(shù)的零點(diǎn)等，有時我們可以根據(jù)解析式猜出函數(shù)的零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)的零點(diǎn)，比如；（2）估算函數(shù)的零點(diǎn)，如等，我們無法計(jì)算此類函數(shù)的零點(diǎn)，只能借助零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性估計(jì)零點(diǎn)所在的范圍.2、B【解析】將寫成分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)x≥0時，，當(dāng)＜0時，，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時，由=，解得=2當(dāng)時，當(dāng)＜0時，由,即，解得=，∴此時=，∵[]上的最小值為，最大值為2，∴2，，∴的最大值為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值的二次型函數(shù)的最值，涉及圖象的繪制，以及數(shù)形結(jié)合，屬綜合基礎(chǔ)題.3、B【解析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則，選B.【考點(diǎn)定位】三視圖與幾何體的體積4、B【解析】設(shè)為中點(diǎn)，由中位線可知，所以就是所求兩條之間所成的角，且三角形為等腰直角三角形你給，所以.考點(diǎn)：空間兩條直線所成的角.【思路點(diǎn)晴】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決5、C【解析】根據(jù)的最值得出，根據(jù)周期得出，利用特殊點(diǎn)計(jì)算，從而得出的解析式，再計(jì)算.【詳解】由函數(shù)的最小值可知：，函數(shù)的周期：，則，當(dāng)時，，據(jù)此可得：，令可得：，則函數(shù)的解析式為：，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.6、A【解析】由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增得，進(jìn)而根據(jù)充分，必要條件判斷即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰昂瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增”的充分而不必要條件故選：A7、D【解析】作出圖形，并將直線l繞著點(diǎn)M進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其與線段PQ相交，進(jìn)而得到l斜率的取值范圍.【詳解】∵直線l過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段相交，如圖所示：∴所求直線l的斜率k滿足或，，則或，∴，故選：D8、C【解析】根據(jù)選項(xiàng)的自變量范圍判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】當(dāng)時，，由正弦函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)單增區(qū)間應(yīng)滿足，即，觀察選項(xiàng)可知，是函數(shù)的單增區(qū)間，其余均不是，故選：C9、A【解析】截距,因此直線不通過第一象限,選A10、A【解析】根據(jù)題意，確定角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)定義，即可求解，得到答案【詳解】由題意，點(diǎn)在角的終邊上，即，則，由三角函數(shù)的定義，可得故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中解答中確定出角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】解方程，即可得解.【詳解】當(dāng)時，由，可得（舍）或；當(dāng)時，由，可得.綜上所述，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為.故答案為：.12、【解析】將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名三角函數(shù)即可.【詳解】，，當(dāng)時取最大值，當(dāng)時，取最小值；故答案為：.13、2【解析】考點(diǎn)：對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)14、【解析】根據(jù)內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，確定球O的半徑，再由球的表面積公式即得?！驹斀狻坑深}得，圓柱底面直徑為2，球的半徑為R，球O的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓柱的軸截面的對角線即為球的直徑，故，則球的表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體，球的表面積，是常見的考題。15、【解析】根據(jù)集合的交集的定義進(jìn)行求解即可【詳解】當(dāng)時，不等式不成立，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，不等式不成立，當(dāng)時，不等式不成立，所以，故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】（1）由可得，由可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】解：由可得，，由得，所以，解得，所以.【小問2詳解】解：由（1）可得：，則的圖象的對稱軸方程為，，又因?yàn)?，，所以，在區(qū)間上的值域?yàn)?17、（1），；（2）；（3）【解析】（1）由已知中函數(shù)，，當(dāng)時，恒有，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于方程組，解方程組求出的值，進(jìn)而得到的表達(dá)式；（2）轉(zhuǎn)化為，解得，可求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于的分式方程組，進(jìn)而根據(jù)方程的解集為，則方程組至少一個方程無解或兩個方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案.【詳解】（1）∵當(dāng)時，，即，即，整理得恒成立，∴，又，即，從而∴，∵，∴，或，∴的定義域?yàn)椋?）方程有解，即，∴，∴，∴，∴，或，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍（3）方程的解集為，∴，∴，∴，方程的解集為，故有兩種情況：①方程無解，即，得，②方程有解，兩根均在內(nèi)，，則解得綜合①②得實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)與方程、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及一元二次方程根的分布，綜合性比較強(qiáng)，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想，不斷轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論的思想，屬于難題.18、（1）=；=；=（2）【解析】（1）根據(jù)已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可得到、、的值；（2）依據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可，，最后利用第（1）小問的結(jié)論得出答案.試題解析：（1）已知角終邊與單位圓交于點(diǎn)，.（2）.點(diǎn)睛：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，即當(dāng)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為時，則，，，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，在化簡過程中必須注意函數(shù)名是否改變以及符號是否改變等．本題是基礎(chǔ)題，解答的關(guān)鍵是熟悉任意角的三角函數(shù)的定義，單位圓的知識.19、（1）；（2）當(dāng)時，的值最小，最小值為【解析】（1）利用已知條件，根據(jù)銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根據(jù)題意，將表示為的函數(shù)，利用倍角公式對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值.【詳解】（1）在中，，所以；設(shè)正方形的邊長為x，則，，由，得，解得；所以；（2），令，因?yàn)椋?，則，所以；設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，有最小值，此時，解得；所以當(dāng)時，的值最小，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查倍角公式的使用，三角函數(shù)在銳角三角形中的應(yīng)用，以及利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，涉及換元法，屬綜合性中檔題.20、（1），，；（2）5.【解析】（1）根據(jù)自變量的范圍選擇相應(yīng)的解析式可求得結(jié)果；（2）按照三種情況，，，選擇相應(yīng)的解