2023年湖南省婁底市普通高校對口單招數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2023年湖南省婁底市普通高校對口單招數(shù)

學(xué)自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

巳知某高職院校共有io個高職單招文化考試考場,每名考生被安排到每個考場的可能性和

10.翔名學(xué)生TMItt蝴MrtflR單招文化考試,則他們在同-個舂場考代概力為

I

A.%

I

D

D.

C.）

I

D.

2.設(shè)是l,m兩條不同直線，a,B是兩個不同平面，則下列命題中正確的

是（）

A.若l//a,anp=m,則l//m

B.若l//a,m±l,則m_La

C.若l//a,m//a,則l//m

D.若l_La,1/〃|3則2_10

3.已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},B={3,4,5),那么()

A.{6,7}B.{1,2,6.7}C.{3,4,5}D.{1,2}

，平面向量0=(L2),b=(2,n),若則實數(shù)〃等于()

4.

A.-lB.-4C.4D.2

5.對于數(shù)列0,0Q...,0,…，下列表述正確的是0

A.是等比但不是等差數(shù)列B.既是等差又是等比數(shù)列C.既不是等差又

不是等比數(shù)列D.是等差但不是等比數(shù)列

6.已知函數(shù)f(x)=x2-x+l,則f⑴的值等于()

A.-3B.-lC.lD.2

7.若函數(shù)y=log2(x+a)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點P(-1,0),則a的值

為()

A.-2

B.2

-1

C.2

1

D.2

8.已知A={x|x+l>0},B{-2,-l,0,1},則(CRA)DB=()

A.{-2,-1}B.{-2}C.{-l,0,l}D.{0,l}

9.已知點A(l,-1),B(-l,1),則向量可為()

A.(l,-l)B.(-l,l)C.(0,0)D.(-2,2)

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出n的值為（）

A.19B.20C.21D.22

二、填空題（10題）

11.

設(shè)meR,過定點A的動直線x-my=0和過定點B的動直線mx-

y-m-3=0交于點P（X，y）.則盼"PB的最大值是.

12.數(shù)列｛aj滿足an+i=l/l-an,a2=2,則ai=,

13.化簡】+2coJa-cos為

14.已知正實數(shù)a,b滿足a+2b=4,則ab的最大值是.

15.拋物線2爐=x的焦點坐標(biāo)是.

16.等差數(shù)列(％)的前n項和0若％=$3=12,則%=

不等式.F-2、-8>0的解集為______

17.

18.已知正方形ABCDMMiJT’d[IABEF所在的平面或「1II：1),則NFBD=

19.設(shè)lgx=a,則lg(1000x)=_o

(xa+-)6

20.二項式x的展開式中常數(shù)項等于.

三、計算題(5題)

21.甲、乙兩人進行投籃訓(xùn)練，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且兩人投球命中與否相互之間沒有影響.

(1)若兩人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.

22.己知直線1與直線y=2x+5平行，且直線1過點(3,2).

(1)求直線1的方程；

⑵求直線1在y軸上的截距.

1—X

己知函f(x)=loga-------,(a>0且a*)

23.1+x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

24.有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個數(shù).

25.從含有2件次品的7件產(chǎn)品中，任取2件產(chǎn)品，求以下事件的概率.

(1)恰有2件次品的概率Pi；

⑵恰有1件次品的概率P2.

四、簡答題(10題)

26.已知拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交與A,B兩點,弦長為2君，

求b的值。

27.平行四邊形ABCD中，CBD沿對角線BD折起到平面CBD_L平面

ABD,求證：AB±DEo

28.已知雙曲線C：/下=1—的右焦點為織20),且點寫到?

的一條漸近線的距離為應(yīng).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準方程；

(2)設(shè)P為雙曲線C上一點，若|PFi|=,求點P到C的左焦點尸2的距

離.

/(x)=log(a^X),aw0)

29.已知函數(shù)a1-x

(1)求f(x)的定義域;

(2)判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；

(3)a>l時，判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明。

30.如圖，在直三棱柱/況^4片射中，已知4cl此AB=2/C=CCi=l

(1)證明：AC±BC；

(2)求三棱錐3「月比'的體積.

31.等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知aio=3O,a2o=50o

(1)求通項公式ano

(2)若Sn=242,求n。

32.數(shù)列的前n項和Sn,且為=】,4】=$.?"123求

(1)a2,a3,34的值及數(shù)列的通項公式

(2)a2+&4+a6++a2n的值

33.已知等差數(shù)列{an},a2=9,a5=21

(1)求｛an｝的通項公式;

(2)令bn=2n求數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn.

/(X)」在(-.0)

34.證明x上是增函數(shù)

35.設(shè)拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交A,B于兩點，弦AB長2#,

求b的值

五、解答題(10題)

36.已知遞增等比數(shù)列｛an｝滿足:32+33+34=14,且H3+1是a2,34的等差

中項.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,求使Sn<63成立的正整數(shù)n的最大值.

求證：-^-—^-0=4

S加10°Casio0

37.

38.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是正方形，PD,平面ABCD,且

PD=AD.

⑴求證:PA1CD;

(2)求異面直線PA與BC所成角的大小.

39.

已知兩點。(O.()).A(6.O),圓。以線段(X為直徑.

(1)求圖。的方程；

(2)若直線'的方程為x-2y+4=0,直線/,平行于/，，且被圓C截

得的弦A/N的長是4,求直線/：的方程.

40.

已知S.是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且q=」..*=15.

(D求4；(2)令以=2"，(〃=123.L),計算匕也和4,由此推則數(shù)列化｝

是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論.

41.已知A,B分別是橢圓7V=l的左右兩個焦點，O為坐標(biāo)的原

42

點，點P(—l,工~)在橢圓上，線段PB與y軸的焦點M為線段PB

的中心點，求橢圓的標(biāo)準方程

42.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值;

0、若B4?BC=2,b=2正求a和c的值.

43.已知函數(shù)f(x)=log21+x/l-x.

(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的奇偶性；

(3)用定義討論f(x)的單調(diào)性.

44.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB_L平面BCD,BC±BD,BC=3,

BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為45。點E,F分別是AC,AD

的中點.

(l)求證:EF//平面BCD;

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

45.已知橢圓的兩焦點為F(l,0),F2(l,0),P為橢圓上的一點，且

2|FIF2|PFI|+|PF2|.

(1)求此橢圓的標(biāo)準方程；

⑵若點P在第二象限，ZF2FIP=120°,求△PF1F2的面積.

六、單選題(0題)

46.二項式(x-2)7展開式中含x5的系數(shù)等于()

A.-21B.21C.-84D.84

參考答案

1.B

2.D

空間中直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系.對于A:1與m

可能異面，排除A;對于B;m與a可能平行或相交，排除B;對于C:1與

m可能相交或異面，排除C

3.B

由題可知AB=｛3,4,5),所以其補集為｛1,2,6,7｝。

4.C

5.D

根據(jù)等差數(shù)列的定義得到各項都為o的數(shù)列

0,0,0..........0,0是首項為0,公差為

0的等差數(shù)列；但是不是等比數(shù)列；

故選D

6.C

函數(shù)值的計算f(l)=l-l+l=l.

7.D

若y=log2A(x+a)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點

P(-1,0)

即該函數(shù)經(jīng)過(0,-1)

所以

-l=log2/\(0+Q)

a=2A(-l)

=1/2

8.A

交集

9.D

平面向量的線性運算.AB=(-1-1/-(-1)=(-2,2).

10.B

程序框圖的運算.模擬執(zhí)行如圖所示的程序框圖知，該程序的功能是計

算S=l+2+...+nN210時n的最小自然數(shù)值，由S=n(n+1)儂210,解得

位20,.?.輸出n的值為20.

11.5

12.1/2數(shù)列的性質(zhì)皿=1/1融=2,所以ai=l/2

13.1+2cos2a-cos2=1+2cos2a-(cos2a-sin2a)=l+cos2a+sin2a=2

14.2基本不等式求最值.由題

意得4=a+26）2/荻，即M42《當(dāng)且僅當(dāng)

a=2,6=1時等號成立）.即ah的最大值是2.

15.

《叫，因為p=l/4,所以焦點坐標(biāo)為（

16.2n,

Qi+5d=12

3x2

(-I----------a=12

解得｛an｝的公差d=2,首項Qi=2,

故易得%=2+(2—1)n=2n.

17.(-oo,-2)U(4,+oo)

18.71/3

19.3+a

1g(lOOOx)=lg(1000)+lgx=3+a。

20.15,由二項展開式的通項可得

T—rr.2(6-7')y-r—rri2-3r

1-cyAY

r+16~,Z12-3r=0,得

r=4,所以常數(shù)項為Cf=15。

21.

解：記甲投球命中為事件A,甲投球未命中為事件乙投球命中為驊件B,乙投球未命中為事件后。則：

(1)記兩人各投球I次，恰有1人命中為事件C.則

__12131

P(C)=P(>l)?P(i1)+P(/l).P(B)=-x-+-x-=-

(2)記兩人各投球2次，4次投球中至少有1次命中為學(xué)件D,則.兩人各投球2次，4次投球中全未命中為事

件萬

-----1122.124

P(D)=l-P(D)=l-P(/l).P(/l).P(e)?P(B)=l--x-x-x-=l--=—

ZZ

22.解：⑴設(shè)所求直線I的方程為：2x-y+c=0

?.?直線I過點(3,2)

6-2+c=0

即c=-4

/.所求直線I的方程為：2x-y-4=0

(2)：當(dāng)x=0時，y=-4

直線I在y軸上的截距為-4

23.

解：(1)由題意可知：——>0,解得：

1+r

:.函數(shù)/(x)的定義域為xe(-l,1)

(2)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，理由如下：

/(-x)=log。=log。子=-log。了=-/㈤,

1+(-X)\-x1+x

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

24.

解：設(shè)前三個數(shù)分別為b-10,b,b+10,因為b,b+10成等比數(shù)列且公比為3

6+10、

-----=3

b

.?.b+10=3b,b=5

所以四個數(shù)為-5,5,15,45.

25.

合：費產(chǎn)品中有2件次品.

5件合格品

,恰有2件次品的概率為

KU

（2）恰有1件次品的概率為

P2

C；~21

26.

由已知得《yn4x,

y=3x+b

整理得(2x+b)"=4x

即4x+4(b-l)x+b2=0

/.x,+x—(1)—1),X|Xz=—

24

再根據(jù)兩點間距離公式得

|AB\=Jl+2\0+x？y-4x「q=逐，5-2b=2v'5

b=-2

27.

證明：在AABD中，AB=2,AD=4,NDAB=60°

.".BD=-Jl2+42-2x2x4cos60=243

貝iJ/爐+BD2=AD2

即AB1DE

平面EBD_L平面ABD

AB_L平面EBD,則AB±DE

28.(1)?.?雙曲線C的右焦點為Fi(2,0),；.c=2

又點Fi到Cl的一條漸近線的距離為及,爐，即以

0=72

C

解得bh萬

=激雙曲線C的標(biāo)準方程為』-二=1

22

(2)由雙曲線的定義得pF卜伊剛=2尤

??閥I-闋=2笈解得陷卜成

故點闋C的左焦點喳距離為3應(yīng)

29.(1)-1<X<1

(2)奇函數(shù)

(3)單調(diào)遞增函數(shù)

30.

(1)證明：?.?宜二棱柱從I平面奶。一舄卻71C5，平面ABC

又：BCU平面ABC，BC_1_CG

又，4cg=c

?,.A1±BC

4C,CC1平面工cc;4

.,.BC_L平面工CG4

???AC_L平面乂CG4

/.AC±BC

(2)AB=2,AC=1,AC±BC,.-,BC=^

DAS嗓3=Ls班=1.L、目11=逅

.?三棱錐用一/Cc的幅只…33I326

31.

(1)an=O|+(n+\)d,ai0=30,=50

/.a,+9d=30,a,+19d=50得q=12,d=2

則a“=2n+10

(2)S?=na,+d且S.=242

.?.12〃+"("l)x2=24

2

得n=ll或n=—22(舍去)

32.

小,1r11416

(1)4=l,*i=]S“，a2=亍。3=g，4=藥

522)

則口-4=|。和5tL=4

343

則數(shù)列從第二項起的公比是g的等比數(shù)列

⑵%+為++生。=5吟）"-1]

33.(1)Vas=a2+3dd=4a2=ai+d

.*.an=ai+(n-1)d=5+4n-4=4n+1

"??]_24-16

⑵一““……久…

??.數(shù)列同為首項bi=32,q=數(shù)的等比數(shù)列

、?--32(1--16*)--32(1-6,-1)

1-1615

34.證明：任取且xi〈X2

/⑷⑷"99制X

即/（勺）力（砧

€（-OO.0）J^/（X）=--

X在是增函數(shù)

y=4x

35.由已知得卜=3x+加

整理得（2x+m）2=4X

gp4xa+4（州一】）x+掰'=0

m2

.x+x=-（m-l）.xx=—

..lJ134

再根據(jù)兩點間距離公式得

\AB\^而羽Ox）—取2=石y[U2m=2石

36.(1)設(shè)遞增等比數(shù)列｛an｝的首項為a”公比為q,依題意，有

2(a3+l)=a2+a4,代入a2+a3+a4=14,得a3=4..由:<a2+a4=10,由

廠+巾7,褥廠2或卜一又匕列

ke'T0T[41-16

(?.)是遢增效列.故a.-2-?.

⑵由S..答二二J?2*TV63.即

r<64..*.w<6,故使5.V63成立的正?依。

的■大值為5.

37.

.、4

左邊=--------R------R--

Si〃IO'Co/0”

2(；CaUO"_*Si〃10")

S加10"Cos10”

_2(Sni3()0Cosl()0-GM30°S加10°)

S加lOkoslO”

2s加02°

=SMlO'CmlO11

4s加20°

-2sM0"C"10"

=4

=右邊

38.(1)如圖，已知底面ABCD是正方形，

ABCD,又CD包含于平面ABCD,PD±CD.PDAAD=D,/.CD±

平面PAD,又PA包含于平面PAD,.\PA±CD.

⑵解：BC//AD,ZPAD即為異面直線PA與BC所成的角.由⑴

知，PD1AD,在RtZ\PAD中，PD=AD,故NPAD=45。即為所求.

39.

(1)VO(0>0)，A(6)0)?圓C以線段OA為直徑

，圓心C(3，0)，半徑r=3，

二UlC的方程為(x-3)4y=9.

(2)Q直線橢方程是'-2y+4=0...直線/的斜率為:，

又Q//〃0.直線/：的斜率為!

設(shè)直線/：的方程為F=5-'+h-即A-2y+2/>=().

Q\MN\=4.半徑r=3,...圓心C到直線/,的距離為".,

又Q圓心Q3.O)到直線八：*_2)+"=()的距離4=與三).?

.?.1^3=/.即|3+24=5.解得〃=1或〃=_4.

即直線L的方程為戈-2>+2=()或.1_2y—8=0.

40.

(D設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d，那么5a,+：?5?4d=15.

把a>l代入上式，得d=2.

因此，a=-1+2(n-1)=2n-3.

(2)根據(jù)/%=2"，，得b=:，b=2?b=8.

由此推測｛b｝是等比數(shù)列.

證明如下：

由(1)得，a-a=2?所以=2.1"=2'=4(常數(shù)〉,

b?

因此數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列.

41.點M是線段PB的中點

XVOM±AB,APA1.AB

11

貝ijc=la+2b2=1,a2=b2+c2

解得，a2=2,b2=l,c2=l

X

+/=1

因此橢圓的標(biāo)準方程為2

42.

解：

⑴在4ABC中設(shè)/―=一^―=，一=2R

sin4sin5sinC

則：a=2RsinA.b=2RsinB,c=2RsinC

bcosC=(3a-c)cosB

2RsinBcosC=(3,2RsinA-2RsinC)$sB

即：sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB

sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180°-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcosB

sinA1

..cosB=----------=—

3sinJ3

(2)依題意如右圖所示

BA?BC=網(wǎng)園cos5=-ac=2

ac=6---------------(1)

nl?a2^c2-b2a2+c2-8

乂—=cosB=-------------=------------

聯(lián)立①⑵解得

a=c=R

43.⑴要使函數(shù)f(x)=log21+x/l-x有意義，則須l+x/l-x>0解得-IVxV

1,所以f(x)的定義域為{對-lVxVl}.

1

(2)因為f(x)的定義域為國-1VxVl},