2023年河南省新鄉(xiāng)市高三二模（理科數(shù)學(xué)）試卷真題+參考答案+詳細(xì)解析

2023年河南省新鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2『，則z的虛部為（）

A.1B.iC.-1D.-i

2.（5分）已知集合A={x|—1觸x-13},B={%eZ|x2-ar<0},若AB={1},則a的取值范圍為（

）

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

3.(5分)己知隨機(jī)變量X的分布列為

X024

j_m7個(gè)

P——2m

36

則E(X)=(

4.（5分）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)尸在拋物線C上，Q（5,0）,若APQF的面積為，則|P用=（

）

A.4B.3C.5D.2

5.（5分）已知等差數(shù)列{4}滿足及+2a“u=6”+1,則{q}的前20項(xiàng)和%=（）

A.400B.380C.340D.280

6.（5分）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M,N,。分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線80與平面CNQ

平行的是（）

7.(5分)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x+2)=-/(x),且/(x-g)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(x)=V,

則/12023)=()

A.0B.-C.--D.1

88

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為（）

2-夜口后-2

4-4

9.（5分）剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折.將一張紙片先左右

折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開(kāi)得到最后的圖形，若正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在四

段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則APAB的取值范圍為（）

10.（5分）已知函數(shù)f（x）=sinox+Gcos0x（0>O）在（0，）上存在零點(diǎn)，且在（工,包）上單調(diào)，則0的取

324

值范圍為（）

A.（2,4]B.⑵4C.已為D.[2,4]

2393

上22

11.（5分）已知尸是雙曲線E:'-8v?=l（a>0,/?>0）的左焦點(diǎn)，P是E右支上一點(diǎn)，/戶與￡的漸近線分

cTbz

別交于A,B兩點(diǎn)，且引=AB=28尸，則后的離心率為（）

A.—B.名&C.GD.>/6

23

■

12.（5分）若。=e°2/〃3,b=e。31n2,c=~^~f則（）

A.h>a>cB.c>a>hC.c>b>aD?a>b>c

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.（5分）函數(shù)/'（x）=x+cosx的圖象在x=O處的切線方程為.

14.（5分）用0,2,3,4,5五個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)共有一個(gè)，其中偶數(shù)共

有一個(gè).

15.（5分）若正四面體的棱長(zhǎng)為4,則該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為—.

16.（5分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛〃“｝滿足4=1,a2=64,cinan￥2=,若％是｛。,｝唯一的最大項(xiàng)，則上的取值

范圍為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.

17.（12分）世界上的能源消耗有!是由摩擦和磨損造成的，一般機(jī)械設(shè)備中約有80%的零件因磨損而

32

失效報(bào)廢.零件磨損是由多方面因素造成的，某機(jī)械設(shè)備的零件隨著使用時(shí)間的增加，“磨損指數(shù)”也在增

加.現(xiàn)根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，得到一組數(shù)據(jù)如表.

使用時(shí)間“年12345

磨損指數(shù)“％4.55.66.46.87.2

（1）求，?關(guān)于1的線性回歸方程；

（2）在每使用完一整年后，工人會(huì)對(duì)該零件進(jìn)行檢測(cè)分析，若該零件在下一年使用過(guò)程中的“磨損指數(shù)”

超過(guò)10%,則該零件需要在本次檢測(cè)后立即進(jìn)行報(bào)廢處理.根據(jù)（1）中的回歸方程，估計(jì)該零件使用多少

年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理？

參考數(shù)據(jù)：￡彳=30.5,￡*=98.1.

?=ii=i

-元）（%-y）-rixy

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為各=旦:-----------=號(hào)---------，a=y-hx.

￡（玉-丁門^xr-rix-

i=\i=l

18.(12分)如圖，在AABC中，D,E在BC上,BD=2,DE=EC=\,ZBAD=ZCAE.

/1、一PsinZACB

(1)求--------的值;

sinZABC

（2）求A4BC面積的取值范圍.

19.(12分)如圖，在斜三棱柱A8C-A4G中，ABAC=ZBA4,=ZCA4,=,E,尸分別為①，用弓的

中點(diǎn)，AB=AC=A4,=2.

(1)證明：四邊形BBC。為正方形.

(2)求直線3E與平面3R所成角的正弦值.

20.(12分)已知橢圓C:三■+《=l(a>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，B為)

ab

橢圓C的上頂點(diǎn)，且A48O的面積為6.

(1)求橢圓C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)3(2,3)的直線/與橢圓相交于P,。兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，與直線A。相交于點(diǎn)V,N是

的中點(diǎn)，試問(wèn)直線4V的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

2

21.(12分)已知aeR,函數(shù)f(x)=-+CIX

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

/1,...

(2)設(shè)［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，證明:+------]=n-l,neN?

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)

分.

［選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

'2-2r

x=-------

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為1+?"為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

m

y=--

1+Z

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=2cose.

(1)求出G的普通方程和G的直角坐標(biāo)方程；

(2)若G與g有公共點(diǎn)，求相的取值范圍.

［選修4?5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|2x-a|+|x-3a|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)44的解集；

(2)若VxwR,/(x)>|x--||+?2+1,求。的取值范圍.

2023年河南省新鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2『，則z的虛部為()

A.1B.iC.-1D.-i

【解析】由z(l+i)=2/=2,得z=2=-2d二,z的虛部為—1.故選：C.

l+z(1+0(1-0

2.(5分)已知集合A={x|-啜由x-13},B={XQZ\X2-OX<0},若A3={1},則〃的取值范圍為(

)

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

【解析】因?yàn)锳={x|既(k2},且AB={1},

若a=O,則8=0,不符題意，

若"0,則8={》€(wěn)2|“<》<0},與題意矛盾，

若”>0,則B={xeZ[0<x<a},

由A8={1}，所以即。的取值范圍為(1,2].故選：C.

3.(5分)已知隨機(jī)變量X的分布列為

X024

]_m70

P--2m

36

則E(X)=()

【解析】根據(jù)題意及離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得：L+m+l_2m=\,：.m=-,：.

362

￡(X)=0x-+2xl+4xl=-.故選：D.

3263

4.(5分)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、P在拋物線C上，。(5,0),若\PQF的面積為473，則IP尸|=(

)

A.4B.3C.5D.2

【解析】由題意知F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)尸(為,為)，因?yàn)镼(5,0),APQF的面積為4石，

則gx(5—1岡％|=4打，解得|%|=2百，則%=3,所以|PF|=%-(-l)=4.故選：A.

5.(5分)已知等差數(shù)列{%}滿足a“+2%=6〃+1,則{《}的前20項(xiàng)和$20=()

A.400B.380C.340D.280

【解析】數(shù)列｛“"｝為等差數(shù)列，則可設(shè)=+a?+2a?+l=6n+\,

34=6

.?.A〃+B+2[A(〃+l)+8]=6〃+l,即',解得A=2,B=-\,故《,=2〃一1,

2A+38=1"

駟產(chǎn)=故選:

400.A.

6.（5分）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M,N,。分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ

平行的是（

G

【解析】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知四W//4N,所以直線3M與平面CN0不平行，故A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)中，因?yàn)镹Q//AC,故平面CNQ即為平面ACNQ,而B(niǎo)M〃AQ,BM<￡平面CNQ,AQu平面CNQ,

所以直線而0與平面CN。平行，故3正確；

C選項(xiàng)中，因?yàn)镹Q〃BC,故平面CNQ即為平面8CNQ,則直線3M與平面CNQ相交于點(diǎn)8,故C錯(cuò)誤:

。選項(xiàng)中，假設(shè)直線的W與平面CN。平行，過(guò)點(diǎn)M作CQ的平行線交A用于點(diǎn)。，則點(diǎn)。是在人田上靠近

點(diǎn)4的四等分點(diǎn)，由MD//CQ,平面CNQ,CQu平面CNQ,可得〃平面CNQ,

又8W與平面CNQ平行，MD,CM=M,MD,CMu平面則平面BDW//平面CNQ,

而平面A881A與平面8DW,平面CNQ分別交于QN,則或)與QN平行，

顯然比＞與QN不平行，假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線8M與平面CNQ不平行，故。錯(cuò)誤.

故選：8.

7.(5分)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x+2)=—/(x),且/(x-g)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(%)=^,

則/(2023)=()

A.0B.-C.--D.1

88

【解析】因?yàn)?(x+2)=-/(x),所以/(x)的周期為4.又/(x-g)為偶函數(shù)，所以/(幻的圖象關(guān)于直線

x=_g對(duì)稱，則/(2023)=/(—1)=/(0)=0.故選：A.

8.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為()

2-及口叵-2

4,4

【解析】〃=0,S=0時(shí)，S=sin(-^)sin^=--：

,?1-.?I.乃.3萬(wàn)I.n11\.nV21V2-2

〃=1,S=——rlj,S=---1-sin—sin——=---Hsin—cos—=----1-—sin—=------=------.故選：D■

2288288224424

9.(5分)剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折.將一張紙片先左右

折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開(kāi)得到最后的圖形，若正方形/WCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在四

段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為()

【解析】以他、45所在直線分別為x、y軸，建系如圖,

設(shè)點(diǎn)P(x,y),易知以AD為直徑的左半圓的方程為：V+(y-l)2=1(-瓚k0),以為直徑的右半圓的方

程為：。-2)2+()，-1)2=1(2砒3),.?.點(diǎn)2的橫坐標(biāo)彳的取值范圍是[-1,3],又AP=(x,y),AB=(2,0),

ABAP=2xe[-2,6].故選:B.

10.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin0x+Gcos0x(”>O)在(0,馬上存在零點(diǎn)，且在(生，包)上單調(diào)，則。的取

324

值范圍為()

A.(2,4]B.[2,1]C.[2D.[1,4]

[解析]/(x)=sin+cosa)x=2sin((yx+,因?yàn)?(x)在(0弓)上存在零點(diǎn)，所以>式解得

82.又/⑺在你爭(zhēng)上單調(diào),所以黑,哈彳,解得。<例,4,則2<@,4,

47ra)7r冗74(071713TT

-T-<-T-+-??-1...---,

則]3233則,2---32解得工效如—.故選：C.

1143(O7T711045CO71715萬(wàn)39

---+—

432

11.(5分)已知尸是雙曲線=—f=l(a>0,/?>0)的左焦點(diǎn)，P是￡右支上一點(diǎn)，PF與￡的漸近線分

ab~

別交于A,3兩點(diǎn)，且E4=AB=2BP,則E的離心率為()

A.J

C.A/3D.76

2

【解析】3在雙曲線的漸近線上,不妨設(shè)點(diǎn)B(am,bm),m>0,又F(-c,O),S.FA=AB=2BP,

am-c

am------=2(x-am)

am—cbm、「bmbp

Ak(/---,—)，乂m=—,又AB=2BP,

222a

bm-=2(yp-am)

5amc7c

x-am=—(am+c)

pP49c2=「?.7

?<448

，又尸是石右支上一點(diǎn)，.?.一7----7

,175bm5bc64a264a2a23

yp—bm=—bm

故E的離心率為亞.

故選：B.

3

0.4

12.(5分)若a=e°2歷3,bSi*,c=',則()

A.h>a>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>b>c

竺06竺竺10.6

【解析】令函數(shù)f(x)=exlive,則/'(%)=———exInx+e*—=(A(X-0.6//1X).

x

設(shè)g(x)=Inx-(%-1)=>g'(x)=——1=——-

xx

當(dāng)x>l時(shí)，g<x)vO,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)Ovxvl時(shí)，g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)g=g(l)=0.所以I咚x-1,則-0.6/nx.0.6x+0.6,

10.6]0.60.6

則廣⑺=-\e~(x-0.6//ix)...-reY(0.6+0.4x)>0,所以/(x)=在(0,-h?)上單調(diào)遞增，

x2x2

1/4

所以/(3)>/(2)>/(1.5),即e°2/〃3>e叼〃2>e0%il.5.因?yàn)?S=3.375>e,所以Znl.5>-,則eft4/nl.5>—,

i^a>b>c-故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.(5分)函數(shù)/(%)=x+cosx的圖象在工=0處的切線方程為.

【解析】因?yàn)?(x)=x+cos%,所以/'(%)=l-sinx,則,(0)=1,/z(0)=1,

故/(%)的圖象在x=O處的切線方程為y=x+lnx—y+l=0.故答案為：X—y+\=0.

14.(5分)用0,2,3,4,5五個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),則不同的四位數(shù)共有96個(gè),其中偶數(shù)

共有,個(gè)?

【解析】由題可知，滿足條件的四位數(shù)共有4x4x3x2=96個(gè),其中偶數(shù)分為個(gè)位數(shù)是0和個(gè)位數(shù)不是0,

若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,則有國(guó)=4x3x2=24個(gè)；若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)不是0,則有C；C；A；=36個(gè),

故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個(gè)數(shù)為24+36=60；故答案為：96；60.

15.（5分）若正四面體的棱長(zhǎng)為4,則該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為—亞

【解析】如圖，設(shè)。為正四面體S-ABC的內(nèi)切球的球心，

由對(duì)稱性知O也是正四面體S-ABC的外接球的球心,

設(shè)。為AA8c的外心，過(guò)O作垂足點(diǎn)為G,則40=2,42-22=逆,

33

SD=yjSA2-AD2=/2-（#）2=鋁，又SO=AO,二SO2=（SD-SO）2+AD2,

...so?=（燉-SO）2+（迪）2,解得so=6,sinZA5￡＞=—=—.,:.OG=近,

33SA3so3

則該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為夜，故答案為：夜.

16.（5分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛/｝滿足q=1,a2=64,/。計(jì)？=ka：+1，若應(yīng)是｛6J唯一的最大項(xiàng)，則攵的取值

范圍為_(kāi)（5￥）_?

【解析】因?yàn)樗?2=%也，又4=1,6=64,

2+1an

所以｛%｝是首項(xiàng)為64,公比為Z的等比數(shù)列，則包=64〃“=26★一，

anan

aaa（fd

則.也.….”.q=26『2.26%”-3..2z6/.l=26”-622,

%an-24

因?yàn)槊牵?“｝唯一的最大項(xiàng)，所以卜＞%,即F：￡＞2："：,解得_1＜么＜也，

即上的取值范圍為（；,《）.故答案為：（；，￥）.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.

17.（12分）世界上的能源消耗有1是由摩擦和磨損造成的，一般機(jī)械設(shè)備中約有80%的零件因磨損而

32

失效報(bào)廢.零件磨損是由多方面因素造成的，某機(jī)械設(shè)備的零件隨著使用時(shí)間的增加，“磨損指數(shù)”也在增

加.現(xiàn)根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，得到一組數(shù)據(jù)如表.

使用時(shí)間〃年12345

磨損指數(shù)r/%4.55.66.46.87.2

（1）求，?關(guān)于r的線性回歸方程;

（2）在每使用完一整年后，工人會(huì)對(duì)該零件進(jìn)行檢測(cè)分析，若該零件在下一年使用過(guò)程中的“磨損指數(shù)”

超過(guò)10%,則該零件需要在本次檢測(cè)后立即進(jìn)行報(bào)廢處理.根據(jù)（1）中的回歸方程，估計(jì)該零件使用多少

年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理？

參考數(shù)據(jù)：￡4=30.5,^=98.1.

?=1/=1

Z（七一元）（%-y）-rixy

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為8=-...........=得---------，a=y-bx.

汽（占_斤%”應(yīng)2

i=li=l

【解析】（1）因?yàn)椤?;=30.5,所以尸=型9=6.1,又7~="2+3+4+5=3,=98.1,

MI55i=i

5

抵-5廳

所以b=弋-------=--—―-^―=0.66,所以6=>一右7=6.1—0.66x3=4.12,

升-5釬55-5x32

1=1

故廠關(guān)于f的線性回歸方程為戶=0.66f+4.12；

（2）由（1）可知，當(dāng)f=8時(shí)，r=0.66x8+4.12=9.4<10,

當(dāng)t=9時(shí)，r=0.66x9+4.12=10,06>10,故估計(jì)該零件使用8年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理.

18.（12分）如圖，在AA8c中，D,E在8c上，BD=2,DE=EC=\,ZBAD^ZCAE.

/,、4sinZACB

(1)求--------的值;

sinZABC

（2）求AABC面積的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)榘?=2,DE=EC=1,ZBAD=ZCAE,

1

cAB-ADsinZBAD.八、cIAB/IE-sinZBAE0

所以S^BB=2==2,SWE=2=g他=3

SMECLAC-AE-sinZEACACAE1StADcLAC-ADsinZDACAC-AD2

22

故竺=3,即空=百，則在A4BC中，根據(jù)正弦定理可得，SinZ/1Cfi=—=A/3；

AC2ACsinZABCAC

3X>4，

(2)設(shè)AC=x,則AB=后,由WW2(73-l)<x<2(73+1),

—x<4,

*zkcci+t,*__AB~+BC~—AC~Y+8m".2,.??2c八—x"+32.x2—64

在AABC中，cosZ.ABC=-----------------------=-1=-,貝Usin-ZABC=1-cos-ZABC=------------；--------,

2ABBC4瓜48x2

e/心―-%4+32X2-64-(x2-16)2+192

S^BC=(-AB-BCsinZABC)-=-------------------=--------------------,

由2(6-1)<X<2(G+1),得16-86<Y<16+86,則0<5,o,48,故AABC面積的取值范圍為(0,46].

19.(12分)如圖，在斜三棱柱A8C-A4cl中，ZBAC=ZBA4,=ZCAA,,E,尸分別為A4,,的

中點(diǎn)，AB=AC=AA]=2.

（1）證明：四邊形BBCC為正方形.

（2）求直線BE與平面8E4,所成角的正弦值.

【解答】（1）證明：連接A〈，CE,因?yàn)镹8A4,=NC/M=5，所以△AAC與△AAB均為正三角形.

因?yàn)椤隇閼值闹悬c(diǎn)，所以例J.CE,A^LBE.又CEBE=E,CE,BEu平面BCE,所以/L4,J.平

面BCE.因?yàn)?Cu平面BCE,所以憾_L8C.又A4,//CG，所以CG?18C,則四邊形BB?C為矩形.

因?yàn)镹84C=5,A8=AC=A4,=2,所以80=714=CG，故四邊形為正方形.

（2）解：由題可知，四面體A4BC為正四面體，以AABC的中心點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

則8(-亨,1,0),4(0,0,竽)，E(手,0,半)，F(xiàn)(一瓜0當(dāng)),

麗.273?限慚，2百?2限.鄧.2底、

BE=(亍,-1,丁，BF=(--BRA,=(—,-1,--).

262限,、

[m-BF=0__^-x_y+-^-z=0

設(shè)平面的法向量為m=(x,y,z),則，即廠」

rn-BA=0V32V6

1—尤一y+------z=0

令z=6，得加=(0,4,V6).

設(shè)直線座與平面W所成的角為。，則si團(tuán)器靜黃而=而x/66，

故直線班與平面“所成角的正弦值黑

X2V2

20.（12分）已知橢圓。:方+[=1（〃＞人＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓。的右頂點(diǎn)，B為

ab~

橢圓C的上頂點(diǎn)，且AABO的面積為G.

（1）求橢圓C的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)。（2,3）的直線/與橢圓相交于P,。兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線AQ相交于點(diǎn)M,N是

的中點(diǎn)，試問(wèn)直線AN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

【解析】（1）由題可知心=6,解得6=后,，故橢圓C的方程為《+$=1.

243

222

a=b+c—

（2）由題可知，直線/的斜率一定存在，設(shè)/的方程為y=4（工-2）+3,尸（X[,y）,Q（x2,y2）,

聯(lián)立方程組T-,消去y整理得(3+4公)/+弘(3-2幻X+163-48k+24=o,

y=k(x-2)+3

△=[8&(3-2QF—4(3+4公)(16/一48^+24)=32(18A-9)>0,解得出〉工，

2

8kQk—3)16k2-484+24

中2=V爐.

直線AQ的方程為丫=上二*一2）,令》=不，得y=%（百=2）,

X）-2尤2-2

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（對(duì)必（…））,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（不必包L二生二生）.

x2-22（Xj-2）

xy+入2)’]一2%一2y2_2fctl々+(3—4攵)(玉+超)+8攵-12

直線4V的斜率A.}2

2(百一2)(^2-2)2xyX2-4(內(nèi)+%)+8

2&(16k2-48%+24)+(3-44)(16H二24幻+(8%-12)(3+4/)-36_1

2(16/_482+24)-4(16公一24幻+8(3+4&)~^72~~2

故直線4V的斜率為定值，且該定值為

2

2

21.(12分)已知“wR,函數(shù)

f(x)=忑-vox.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)團(tuán)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，證明：+J?2-2-+……+、一]=〃-1，

VI2+1+1V22+2+1Y’/+上/"+1nwN*.

【解析】(1)因?yàn)閒(x)=/+辦，x>0,所以/'。)=。-，==4二

\Jx3\lx2

當(dāng)4,0時(shí)，/(力<0恒成立，故/(x)在(0,母)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，易得f(x)在(0,近)上單調(diào)遞減，在(亞,+8)上單調(diào)遞增.

7

(2)證明：當(dāng)4=1時(shí)，由(1)可知，/(x)../(l)=3,即生+X..3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立,

\lx

〃+〃2/T2+〃+1i,111/1、

則2.>3,則>1----------=1---(--------),

n2+n+l2n(n+1