(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義（基礎(chǔ)班）2.3《二次函數(shù)與冪函數(shù)》 (原卷版)

頁(yè)第三節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與不等式、方程等問(wèn)題綜合考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．與一元二次方程、一元二次不等式相結(jié)合考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．冪函數(shù)的定義形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．對(duì)于冪函數(shù)，只討論α＝1,2,3，eq\f(1,2)，﹣1時(shí)的情形．2．五種冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x﹣1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(﹣∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(﹣∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減圖象過(guò)定點(diǎn)(0,0)，(1,1)(1,1)3.二次函數(shù)解析式的三種形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝﹣eq\f(b,2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))頂點(diǎn)式f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝m，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m，n)零點(diǎn)式f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝eq\f(x1＋x2,2)4．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象定義域R值域[eq\f(4ac－b2,4a)，+∞)(﹣∞,eq\f(4ac－b2,4a)]奇偶性b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)單調(diào)性在(﹣∞,﹣eq\f(b,2a)]上單調(diào)遞減，在[﹣eq\f(b,2a)，＋∞）上單調(diào)遞增在(﹣∞,﹣eq\f(b,2a)]上單調(diào)遞增，在[﹣eq\f(b,2a)，＋∞）上單調(diào)遞減最值當(dāng)x＝﹣eq\f(b,2a)時(shí)，ymin＝eq\f(4ac－b2,4a)當(dāng)x＝﹣eq\f(b,2a)時(shí)，ymax＝eq\f(4ac－b2,4a)[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)(eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))，則k＋α＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．22．如圖是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．a(chǎn)<c<b3．已知拋物線y＝8x2﹣(m＋1)x＋m﹣7的頂點(diǎn)在x軸上，則m＝________.4．函數(shù)f(x)＝2x2﹣6x＋1在區(qū)間[﹣1,1]上的最小值是________，最大值是________．二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(圖象特征把握不準(zhǔn))如圖，若a<0，b>0，則函數(shù)y＝ax2＋bx的大致圖象是()2．若函數(shù)y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是________．3．已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10﹣2a)，則a的取值范圍為_(kāi)_______．考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)[典例](1)與函數(shù)y＝x﹣1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖象大致是()(2)已知a＝3，b＝4，c＝12，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<a<cB．a(chǎn)<b<cC．c<b<aD．c<a<b[方法技巧]冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(1)可以借助冪函數(shù)的圖象理解函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性；(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，則()A．函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)B．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C．當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>1D．當(dāng)0<x1<x2時(shí)，eq\f(fx1＋fx2,2)<f(eq\f(x1＋x2,2))2．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，冪函數(shù)y＝(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．m＝2B．m＝﹣1C．m＝﹣1或m＝2D．m≠eq\f(1±\r(5),2)3．若(2m＋1)eq\f(1,2)>(m2＋m﹣1)eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(﹣∞,﹣eq\f(1＋\r(5),2)]B.[eq\f(\r(5)－1,2)，+∞)C．(﹣1,2)D.[eq\f(\r(5)－1,2)，2)考點(diǎn)二求二次函數(shù)的解析式[典例]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．[方法技巧]求二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣2，﹣1)，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，則函數(shù)的解析式f(x)＝________________.2．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2﹣x)＝f(2＋x)，求函數(shù)f(x)的解析式．考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考法(一)二次函數(shù)的圖象識(shí)別[例1](多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，則()A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0C．f(﹣2﹣m)＞0D．f(﹣2﹣m)＜0[方法技巧]識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”考法(二)二次函數(shù)的最值問(wèn)題[例2](1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[﹣1,2]上有最大值4，則a的值為_(kāi)_______．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2﹣2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．[方法技巧]二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值情況m<n<﹣eq\f(b,2a)m<﹣eq\f(b,2a)<n，即﹣eq\f(b,2a)∈(m，n)﹣eq\f(b,2a)<m<n圖象最大值、最小值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)考法(三)二次函數(shù)中恒成立問(wèn)題[例3](1)已知關(guān)于x的不等式2kx2＋kx﹣eq\f(3,8)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)若對(duì)?x∈[﹣1,0]，不等式﹣2x2＋4x＋6＋t≤4恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．[方法技巧]二次函數(shù)中恒成立問(wèn)題的解題思路(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0；))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0；))(3)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知函數(shù)f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．與x的值無(wú)關(guān)2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1在區(qū)間[﹣1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[﹣3,0)B．(﹣∞，﹣3]C．[﹣2,0]D．[﹣3,0]3．已知函數(shù)f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a在x∈[0,1]時(shí)，有最大值2，則a的值為_(kāi)_______．創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移二次函數(shù)零點(diǎn)分布的類(lèi)型及解題方法一、二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點(diǎn)分布及條件零點(diǎn)的分布(m，n，p為常數(shù))圖象滿足條件x1<x2<meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,fm>0))m<x1<x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,fm>0))x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,fm>0，,fn>0))m<x1<n<x2<peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn<0，,fp>0))只有一個(gè)零點(diǎn)在(m，n)之間eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n))或f(m)·f(n)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝0，,m<－\f(b,2a)<\f(m＋n,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fn＝0，,\f(m＋n,2)<－\f(b,2a)<n))二、一元二次方程的實(shí)根分布的解題方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的分布問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)零點(diǎn)的分布問(wèn)題．[典例]已知f(x)＝x2＋(2t﹣1)x＋1﹣2t.(1)求證：對(duì)于任意t∈R，關(guān)于x的方程f(x)＝1必有實(shí)數(shù)根；(2)若方程f(x)＝0在區(qū)間(﹣1,0)和(0,eq\f(1,2))內(nèi)各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的范圍．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，則m的值為()A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣72．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，－1≤x≤1，,－|x－2|＋1，1<x≤3，))若方程f(x)﹣ax＝0有5個(gè)實(shí)根，則正數(shù)a的取值范圍是()A.(eq\f(1,4)，eq\f(1,3))B.(eq\f(1,6)，eq\f(1,4))C.(eq\f(1,6)，8﹣2eq\r(15))D.(16﹣6eq\r(7)，eq\f(1,6))3．已知對(duì)于任意的x∈(﹣∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2﹣2(a﹣2)x＋a>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2﹣3m＋3)xm＋1為偶函數(shù)，則m＝()A．1B．2C．1或2D．32．已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，eq\f(1,4))，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋eq\f(x2,4)的最小值為()A．1B．2C．4D．63．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x2﹣2x＋2，關(guān)于f(x)的最大(小)值有如下結(jié)論，其中正確的是()A．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，0))上的最小值為1B．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，2))上既有最小值，又有最大值C．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，3))上有最小值2，最大值5D．當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，a))上的最小值為f(a)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，a))上的最小值為14．設(shè)a，b滿足0<a<b<1，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)a<abB．ba<bbC．a(chǎn)a<baD．bb<ab5．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()6．已知函數(shù)f(x)＝3x2﹣2(m＋3)x＋m＋3的值域?yàn)閇0，＋∞)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．{0，﹣3}B．[﹣3,0]C．(﹣∞，﹣3]∪[0，＋∞)D．{0,3}7．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(﹣4﹣x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且|x1﹣x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若x>0，求g(x)＝eq\f(x,fx)的最大值．二、綜合練——練思維敏銳度1．冪函數(shù)y＝x|m﹣1|與y＝x3m﹣m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為()A．0B．1和2C．2D．0和32．若存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)＝f(a﹣x)對(duì)定義域上任意的x恒成立，則函數(shù)f(x)可能是()A．f(x)＝x2﹣2x＋1B．f(x)＝x2﹣1C．f(x)＝2xD．f(x)＝2x＋13．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0C．a(chǎn)>0,2a＋b＝0D．a(chǎn)<0,2a＋b＝04．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是x＝1，并且過(guò)點(diǎn)P(﹣1,7)，則a，b的值分別是()A．2,4B．﹣2,4C．2，﹣4D．﹣2，﹣45．(多選)已知函數(shù)f(x)＝﹣x2＋ax﹣eq\f(a,4)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))上的最大值是eq\f(3,2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．3B．﹣6C．﹣2D.eq\f(10,3)6.若冪函數(shù)y＝x﹣1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為()A．﹣1<m<0<n<1B．n<﹣1<0<m<1C．﹣1<m<0<1<nD．﹣1<n<0<m<17．若(a＋1)eq\f(1,2)<(3﹣2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．8．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[﹣4,6]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________________．9．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣eq\f(3,2),49)，且方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是________________．10．若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a>0在