2023高考真題13 立體幾何中的位置關(guān)系及截面問(wèn)題

專題13立體幾何中的位置關(guān)系及截面問(wèn)題

【高考真題】

1.(2022?全國(guó)乙理)在正方體A88-A耳G9中，E,尸分別為A8,8C的中點(diǎn)，貝lj()

A.平面4EF_L平面BDRB.平面片所，平面

C.平面BgF//平面AACD.平面B|EF//平面4G。

【知識(shí)總結(jié)】

1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

(1)線面平行的判定定理：理a,ka,a//b=>a//a.

(2)線面平行的性質(zhì)定理：a//a,aap,an(i=b=a〃b.

(3)面面平行的判定定理：au[3,bu§,aHh=P,a//a,b//a^a//p.

(4)面面平行的性質(zhì)定理：a//p,aCl尸a,陽(yáng)尸ga〃江

平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

線線I線面平行的判定I線面I面面平行的判定I面面

平行”線面平行的性質(zhì)]平行I■而而平行的性質(zhì)’平行

L______________J

面面平行的性質(zhì)

利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問(wèn)題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高

維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序正好相反.在實(shí)

際的解題過(guò)程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用.

平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三

條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線

段的比例關(guān)系證明線線平行；五是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.

2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

(1)線面垂直的判定定理：mua,〃ua,znn〃=P,lA-m,/±n=>/±a.

(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a_La,b，a=a//b.

(3)面面垂直的判定定理：“u夕，a1a^a±/i.

(4)面面垂直的性質(zhì)定理：a邛,楙=1,oca,a_L/na_L..

垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

面面垂直的判定

線線線面垂克的判定線面1面面垂直的判定.面面

垂直線面垂直的性質(zhì)面面垂克的性質(zhì)垂直

面面垂直的性質(zhì)

在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判

定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平

面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題.

垂直關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直，證明線線垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；

二是利用勾股定理；三是利用線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面

即可，/_La,aua=/J_a.

3.確定截面的主要依據(jù)

用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形

狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵.

（1）平面的四個(gè)公理及推論.（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì).（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì).（4）球的截面

的性質(zhì).

【題型突破】

題型一簡(jiǎn)單位置關(guān)系的判斷

1.（2020?浙江）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線〃?，"，I,則n,/在同一平面“是"〃?，〃，/兩兩

相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2019?全國(guó)II）設(shè)a,4為兩個(gè)平面，則a〃夕的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與4平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a,夕平行于同一條直線D.a,“垂直于同一平面

3.已知a,夕表示兩個(gè)不同平面，a,6表示兩條不同直線，對(duì)于下列兩個(gè)命題：

①若。ua,acta,則是"〃a”的充分不必要條件；

②若aua,bua,則“a〃,'是"a〃夕且匕〃夕的充要條件.

判斷正確的是（）

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

4.已知a,夕是空間兩個(gè)不同的平面，，加"是空間兩條不同的直線，則給出的下列說(shuō)法正確的是（）

@m//a,"〃夕，且，？?〃”，則a〃6；@m//a,"〃夕，且機(jī)_1_”,則a_L"；

③且，？2〃“，則a〃6；@mS-a,"L?,且/w_L",則a_L￡.

A.①②③B.①③④C.②④D.③④

5.己知〃?，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：

①若aDQ=〃?，〃ua,"L”，則a_L夕；②若/n_La,夕，則a〃夕；

③若/n_La,nX.fi,/n±n,貝Ua_L夕；④若，？i〃a,〃〃尸，m//n,則a〃4.

其中正確的命題是（）

A.①②B.②③C.①?D.③④

6.（2020?全國(guó)H）設(shè)有下列四個(gè)命題：

①兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)；

②過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面：

③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；

④若直線/u平面a,直線沉，平面a,則機(jī)，/.

則上述命題中所有真命題的序號(hào)是.（填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)）

7.（2019?北京）已知/,相是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_1_機(jī)；②機(jī)〃a；③

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：.

8.設(shè)a,尸，y是三個(gè)不同的平面，相，〃是兩條不同的直線，在命題"aC6=m,"Uy,且______,則m//n'

中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.

@a//y,"U夕；@m//y,"〃?、?〃夕，mCy.

可以填入的條件有.

9.（多選）已知〃1,”為兩條不重合的直線，a,6為兩個(gè)不重合的平面，則（）

A.若〃z〃a,n//p,a//S，則，"〃/2B.若a_L夕，則機(jī)

C.若加〃〃，〃?_La,〃_!_￡,則a〃夕D.若，"〃"，〃_La,a邛,則，"〃夕

10.將一個(gè)真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可

換命題”.給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；

④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是.（填序號(hào)）

題型二較難位置關(guān)系的判斷（1）

11.（2019?全國(guó)III）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD_L平面ABC。，M

是線段EC的中點(diǎn)，貝IJ（）

E

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM^EN,且直線BALEN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BMWEN,且直線8M,EN是異面直線

12.（多選）在正方體ABC。-AiBCQi中，下列直線或平面與平面AC。平行的是（）

A.直線4BB.直線C.平面D.平面48G

13.（2017?全國(guó)I）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,。為所在棱的中點(diǎn),

則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

14.已知點(diǎn)E,尸分別是正方體ABC。-ABiGA的棱AB,A4|的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是線段。E與C|F

上的點(diǎn)，則滿足與平面A8CD平行的直線〃"有（）

A.。條D.無(wú)數(shù)條

15.如圖所示，在正方體ABCC—AiBiCQi中，點(diǎn)O,M,N分別是線段8Z）,DD\,OiG的中點(diǎn)，則直線

0M與AC,MN的位置關(guān)系是（)

A.與AC,MN均垂直B.與AC垂直，與A/N不垂直

C.與AC不垂直，與MN垂直D.與AC,MN均不垂直

16.如圖，南，圓。所在的平面，AB是圓。的直徑，C是圓。上的一點(diǎn)，E,尸分別是點(diǎn)A在尸8,PC

上的射影，給出下列結(jié)論:

?AF±PB；②EFLPB；③AF_LBC；④4七_(dá)1_平面PBC.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

17.如圖，AB是圓錐SO的底面圓。的直徑，。是圓0上異于4,8的任意一點(diǎn)，以A。為直徑的圓與

的另一個(gè)交點(diǎn)為C,P為5。的中點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論:

①為直角三角形；②平面平面SBQ；③平面以8必與圓錐SO的某條母線平行.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

18.如圖所示，直線也垂直于。。所在的平面，△ABC內(nèi)接于。0,且AB為。。的直徑，點(diǎn)M為線段

PB的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論：①BC_LPC；②0M〃平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng).其

中正確的是（)

D.②③

19.其中48=2蜴AB=巾,

=CG=2,則下列敘述中正確的是（)

A.該四棱臺(tái)的高為小B.A4,±CCi

C.該四棱臺(tái)的表面積為26D.該四棱臺(tái)外接球的表面積為16兀

20.（多選）如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線48與平面CDE垂直的是（）

題型三較難位置關(guān)系的判斷（2）

21.將正方體的紙盒展開(kāi)如圖，直線A8,8在原正方體的位置關(guān)系是（)

A.平行B.垂直D.異面且成60。角

22.如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖.在這個(gè)正方體中，①與匹是異面直線；②CN與BE平行；③

CN與成60。角；④。M與8N垂直.

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.

23.如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開(kāi)圖，G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),

在這個(gè)正四面體中：

①與EF平行：②BO與MN為異面直線：③G/Z與MV成60。角；④。E與MN垂直.

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.

24.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABC。為正方形，E,尸分別為以，PQ的中點(diǎn)，在此幾

何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：

①直線2E與直線CF異面；②直線8E與直線AF異面；③直線EP〃平面P2C；④平面平面

PAD.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

25.如圖，在正方形ABC。中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE,AF及EF把

這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B,C,。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為“，那么，在這個(gè)空間圖形

中必有（）

A.AG_L平面EFHB.AH_L平面EFHC.HF_L平面AE尸D.HG_L平面4EF

26.（多選）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高4）為折痕，翻折和△ACZ）,使得平面

平面ACD.下列結(jié)論正確的是（）

A.BDLACB.△BAC是等邊三角形

C.三棱錐。一ABC是正三棱錐D.平面AOCL平面A8C

27.如圖，在直角梯形ABCE）中，BC1.DC,AELDC,且E為C。的中點(diǎn)，M,N分別是A。，BE的中點(diǎn),

將△AOE沿4E折起，則下列說(shuō)法正確的是_______.（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）

①不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有〃平面DEC；

②不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有MNLAE-,

③不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有MN//AB,

④在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使ECJ_A。.

28.如圖所示，在直角梯形BCE/中，/CBF=NBCE=90°,A。分別是BF,CE上的點(diǎn)，AD//BC,且

AB=OE=2BC=2AF（如圖1）.將四邊形AOEF沿AZ）折起,連接AC,CF,BE,BF,CE（如圖2）,在

折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

E

二，今

B

FAB

A.AC〃平面BEFB.B,C,E,F四點(diǎn)不可能共面

C.若EFLCF,則平面平面ABC。D.平面BCE與平面BE尸可能垂直

29.如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，E,F,M分別是線段AB,AD,44］的中點(diǎn),又

P,。分別在線段AiBi，Ai5上,且AiP=AQ=x（（Kx<l）.

設(shè)平面MEFC平面MPQ=/,現(xiàn)有下列結(jié)論：①/〃平面4BC￡>；②/J_4C；③直線/與平面BCC|8|不

垂直：④當(dāng)x變化時(shí)，/不是定直線.

其中成立的結(jié)論是..（寫(xiě)出所有成立結(jié)論的序號(hào)）

30.（多選）如圖，點(diǎn)P在正方體48C￡>—AIBICQI的面對(duì)角線BCi上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐4一。1PC的體積不變B.41P〃平面ACdC.DPLBC\D.平面PDBiJ_平面ACA

題型四截面問(wèn)題

31.如圖，在正方體ABC。一A1SG"中，E,F,G分別在AB,BC,DDi上,則作過(guò)E,F,G三點(diǎn)的截

面圖形為（）

A.四邊形B.三角形C.五邊形D.六邊形

32.如圖，在正方體ABC￡>-4BICQI中，點(diǎn)E,尸分別是棱SB,8G的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱CC的中點(diǎn),

則過(guò)線段4G且平行于平面4EF的截面圖形為（）

A.矩形B.三角形D.等腰梯形

33.（2018?全國(guó)I）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所

得截面面積的最大值為（）

D.

A.乎B.歲。4坐

34.如圖，在三棱錐O—ABC中，三條棱。4,OB,OC兩兩垂直，且OA>OB>OC,分別經(jīng)過(guò)三條棱04,

OB,0C作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S”52,53,則S,52,53的大小關(guān)系為

35.（2016?全國(guó)I）平面a過(guò)正方體ABCD-AIBIGA的頂點(diǎn)4,a〃平面CBQ,”1平面ABCO=m,aCl

平面ABBiAi=〃，則〃?，〃所成角的正弦值為（）

近近

/AA（2DR?巫2C?3LD*?13

36.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A/CQi中，M,N分別是4。，4