11.2 與三角形有關(guān)的角（解析版）

11.2與三角形有關(guān)的角1.理解和掌握三角形內(nèi)角和定理的證明以及應(yīng)用，掌握有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形；2.理解和掌握三角形外角的概念和外角定理。一、三角形的內(nèi)角1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°。如圖△ABC中，∠A，∠B，∠C的和為180°。注意在任何三角形中，至少有兩個(gè)銳角，最多有1個(gè)鈍角，最多有1個(gè)直角。2.符號(hào)表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。變式：∠A=180°-∠B-∠C。【理解與拓展】①三角形內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀或種類沒有關(guān)系，即所有三角形的內(nèi)角和都等于180°。②利用定理在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角的關(guān)系求各角的度數(shù)。③三角形內(nèi)角和定理的一個(gè)重要推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。3.三角形內(nèi)角和定理的證法：在解決幾何問題時(shí)，當(dāng)僅用已有條件解決問題比較困難時(shí)，常在圖形中添加輔助線，構(gòu)造新的圖形，形成新的關(guān)系，搭建已知條件與未知問題的橋梁，把較困難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、易解決的問題。這些在原來的圖形上添加的線叫作輔助線。輔助線通常畫成虛線。4.證明三角形內(nèi)角和定理的基本思路：想辦法把分散的3個(gè)角“拼湊”成一個(gè)“整體”，即借助輔助線，結(jié)合所學(xué)過的知識(shí)，達(dá)到證明的目的。在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，常用的輔助線主要有以下幾種：①構(gòu)造平角：利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化(作平行線)，讓3個(gè)內(nèi)角組成一個(gè)平角，如圖①和圖②。②構(gòu)造同旁內(nèi)角：如圖③，過點(diǎn)C作CM∥AB，利用∠B與∠BCM是同旁內(nèi)角可證。題型一與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題如圖，，點(diǎn)在上．求證：．【分析】由題意依據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)以及等式的性質(zhì)和角的等量代換進(jìn)行分析求證即可．【詳解】解：在中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．完成下列推理過程：如圖，已知，，求證：．【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)平行線的判定即可得證．【詳解】證明：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、平行線的判定，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．2．已知：如圖，AB∥CD，∠B＝∠D．求證：∠1＝∠2．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DCA，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得出∠1＝∠2．【詳解】∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵∠B＝∠D，∴∠1＝180°-∠D-∠ACD，∠2＝180°-∠B-∠BAC=180°-∠D-∠ACD，∴∠1＝∠2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題如圖，在中，，，平分，求的度數(shù)．【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，然后利用角的平分線的定義求解．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理以及角的平分線的定義，理解定理求得的度數(shù)是關(guān)鍵．1．如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點(diǎn)，，．求和的度數(shù)．【分析】在中，根據(jù)兩銳角互余得出度數(shù)，即可求出度數(shù)；中由內(nèi)角和定理得出度數(shù)，繼而根據(jù)是角平分線可得，最后在中根據(jù)內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】∵是上的高，∴，又∵，∴，∵，∴∵平分，∴，∴；∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和是180°和三角形高線、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，是的角平分線，，若，，求的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，利用角平分線的定義及垂直的定義求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直的定義，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型三三角形折疊中的角度問題（1）如圖1，把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，試探索與的關(guān)系______（不必證明）．（2）如圖2，BI平分，CI平分，把折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若，求的度數(shù)；【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出，得出的度數(shù)即可；【詳解】（1）∵把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，∴∵又∴；（2）由（1），得，∴∵IB平分，IC平分，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的翻折變換的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．1．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，將△ABC沿AD翻折后，點(diǎn)B恰好落在線段CD上的B'處，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度數(shù)．【分析】由折疊和角平分線可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度數(shù)．【詳解】解：由折疊可知，∠BAD=∠B'AD，∵AB'平分∠CAD．∴∠B'AC=∠B'AD，∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，∴∠BAB'=60°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊和角平分線，解題關(guān)鍵是掌握折疊角相等和角平分線的性質(zhì)．2．（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．（3）如圖2，請(qǐng)你歸納猜想與的關(guān)系是______，并說明理由．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說明理由．【分析】（1）利用互余關(guān)系和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵為直角三角形，，∴，∴．（2）∵中，，∴，∴．（3）；理由如下：∵中，，∴．（4），理由如下：如圖：是由折疊得到的，∴，，∴，，∴，又∵，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，以及折疊的性質(zhì)．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．題型四三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用如圖，在中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)G，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【分析】（1）由垂直于同一直線的兩條直線平行，可得，再由平行線的性質(zhì)可得；（2）結(jié)合已知條件與（1）的結(jié)論，可得，由三角形的內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，從而可得的度數(shù)．【詳解】（1）∵，，∴∴，∴．（2）∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．1．如圖，是的高，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形高的定義先求出、，再利用角平分線的定義求出，最后利用角的和差關(guān)系求出；（2）利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形高的定義用含的式子先表示出、，再利用角平分線的定義用含的式子表示出，最后利用角的和差關(guān)系求出；【詳解】（1）解：是的高，，，，，平分，，；（2）解：，，是的高，，，平分，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形高的定義，掌握“三角形的內(nèi)角和等于”、角平分線的定義及角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，是的高，，是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，，，求和的度數(shù)．【分析】根據(jù)垂直的定義、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：且平分，又，；，，又平分．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的高和角平分線的定義以及三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．題型五直角三角形的兩個(gè)銳角互余如圖，在中，，是角平分線，且，求證：．【分析】根據(jù)是的角平分線，可得，由，得出，根據(jù)已知條件以及對(duì)頂角相等得出，進(jìn)而根據(jù)等量代換得出，進(jìn)而得出，即可得證．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．為的高，相交于H點(diǎn)，，求．【分析】根據(jù)同角的余角相等求出，從而得解．【詳解】解：∵是的高，∴，∵是的高，∴，∴，∵，∴．.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．2．如圖，與分別是的角平分線和高．若，，求度數(shù)．【分析】三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，角平分線求出的度數(shù)，互余關(guān)系求出的度數(shù)，利用，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，，∴．∵為的角平分線，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查含角平分線的三角形的內(nèi)角和的計(jì)算．正確的識(shí)圖，確定角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．二、三角形的外角1.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角叫作三角形的外角。如圖所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的兩個(gè)外角，而∠DCE不是三角形的外角。2.三角形外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上。②一條邊是三角形的一邊。③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線?！纠斫馀c拓展】三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，所以三角形共有6個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角來計(jì)算外角和。3.三角形外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。②三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角?！纠斫馀c拓展】①三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)。另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常用到外角的性質(zhì)。②三角形的一個(gè)外角大于和它“不相鄰”的任意一個(gè)內(nèi)角，而不是大于任何一個(gè)內(nèi)角。③利用該推論證明角之間的不等關(guān)系時(shí)，先找到一個(gè)適當(dāng)?shù)娜切?，使要證明的那個(gè)大角處于外角的位置上，小角處于內(nèi)角的位置上。4.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°。題型六三角形外角的性質(zhì)如圖，在中，是邊上的高，平分．若，．求：的度數(shù)．【分析】由三角形的高的定義可得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，在中，，∵平分，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線、高，三角形外角的定義和性質(zhì)，難度較小，解題的關(guān)鍵是掌握三角形角平分線和高的定義，牢記三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．1．如圖，已知中，，平分，E是線段（除去端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F．若，求的度數(shù)．【分析】先根據(jù)垂直的定義得到，進(jìn)而求出，利用三角形外角的性質(zhì)求出，則由角平分線的定義求出，則由三角形內(nèi)角和定理得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義等等，正確求出是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，，求的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的外角定理得出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)．(1)如圖1，猜想與的關(guān)系，并說明你的理由；(2)如圖2，作外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)得到即可；（2）利用角平分線的定義和平角定義求解即可．【詳解】（1）解：．理由為：∵中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵平分，平分，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．1．如圖，為的高，，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)G為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，角平分線定義求出，從而求得，繼而求得，根據(jù)，求出即可解決問題．（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)．②當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：，，∵為的角平分線，∴，，平分，，．（2）解：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，則，；②當(dāng)時(shí)，則，；綜上所述：的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．2．如圖，中，D是上一點(diǎn)，過D作交于E點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，連接．若．(1)求證：．(2)若，平分，求的度數(shù)．【分析】（1），得到，推出，即可得到；（2）利用平行線的性質(zhì)和角平分線平分角，求出，利用外角的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．在中，，按圖中虛線將剪去后，等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用補(bǔ)角的定義可知：，，由三角形內(nèi)角和定理可知：，代入即可求出．【詳解】解：假設(shè)虛線為DE，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角的定義，三角形內(nèi)角和定理，理解補(bǔ)角的定義，找出是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，過點(diǎn)作．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)可求得出的度數(shù)，然后在中利用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)．牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，是的平分線，過點(diǎn)的射線與平行，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線的定義可得，最后利用平行線的性質(zhì)可得．【詳解】解：，，，是的平分線，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則的度數(shù)為（

）A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【分析】根據(jù)，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，得到，結(jié)合代入計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，所以，因?yàn)?，所以，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，分別將三角板與的一邊與放置在直線l上，邊與所在直線重合．現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)與第一次重合時(shí)，三角板停止運(yùn)動(dòng)．在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)與垂直時(shí)， B．當(dāng)與平行時(shí)，C．當(dāng)與垂直時(shí)， D．當(dāng)與平行時(shí)，【答案】B【分析】畫出各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解判斷即可．【詳解】解：當(dāng)與垂直時(shí)，如圖1，由題意知，∴，∴，∴A正確，故不符合要求；當(dāng)與平行時(shí)，如圖2，過作，則，∴，，∴，∴B錯(cuò)誤，故符合要求；當(dāng)與垂直時(shí)，如圖3，∴，∴，∴C正確，故不符合要求；當(dāng)與平行時(shí)，如圖4，∴，∴D正確，故不符合要求；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的作圖求解．6．如圖，是的高，是的角平分線，若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線的定義求出，求出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵是的邊上的高，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和有關(guān)性質(zhì)．7．如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的外角性質(zhì)可得，結(jié)合，可得出∠，利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可得出，再結(jié)合及即可解答．【詳解】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．8．如圖，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：；；；；．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng)．【詳解】解：平分，，，，，，，故正確；，，平分，，，故正確；，，，，，，，，故正確；平分，，，，，平分，，，，，，，，故正確；由得，，，，，故正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定難度．二、填空題9．如圖，，則___________．【答案】100°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角和為180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度數(shù)，根據(jù)∠2與∠1的比例可求出∠1的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠4的度數(shù)．【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和，利用比例求各部分的角的值，補(bǔ)角的性質(zhì)，能夠熟練應(yīng)用比例求出各部分的具體值是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，，，，為上一點(diǎn)，且，在直線上取一點(diǎn)，使，則的值為__________．【答案】或【分析】分兩種情況進(jìn)行解答，分別畫出圖形，結(jié)合圖形，利用三角形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)，等量代換，得出各個(gè)角之間的倍數(shù)關(guān)系．【詳解】①如圖，當(dāng)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部時(shí)，設(shè)，則，，則，∴.∵，∴，，即，.∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在四邊形外部時(shí)，由①可知，，∴，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，以及分類討論思想的應(yīng)用等知識(shí)，畫出相應(yīng)圖形，利用等量代換得出各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．已知平分平分，過P作，若，則_____．【答案】35°【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)，可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】解：平分，平分，，又，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握熟知平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．12．如圖，在中，，是斜邊的中點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則_______°．【答案】30【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊前后的兩個(gè)三角形全等，則，從而求得答案．【詳解】解：如圖，在中，，∵是斜邊上的中線，∴，∴，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，設(shè)度，∵，∴，如果恰好與垂直，在中，，即，解得，，∴，∵，∴，即故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．13．如圖，在中，，，，則__________．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，根據(jù)，可得，，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出底角．14．如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)為外角的平分線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．以下結(jié)論①，②，③，④，其中正確的是_________（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)即可判斷①正確；先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷③正確；先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再結(jié)合結(jié)論③即可判斷②正確；假設(shè)④正確，從而可得，再根據(jù)結(jié)論②可得，由此即可判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：平分，為外角的平分線，，，，，結(jié)論①正確；平分，，，結(jié)論③正確；又，，，結(jié)論②正確；假設(shè)，，解得，，由已知條件不能得出這個(gè)結(jié)論，則假設(shè)不成立，結(jié)論④錯(cuò)誤；綜上，結(jié)論正確的是①②③，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．三、解答題15．已知，如圖，于，于，，，(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換得出，則，進(jìn)而得出，等量代換得出，即可得證；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，垂線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．如圖，將一副直角三角板如圖所示放置，使含角的三角板的一條直角邊和含的三角板的一條直角邊重合．(1)求證：(2)若分別交，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角板中的角度，以及平行線的判定定理即可得證；（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵是的外角，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，三角形的外角的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，熟練掌握平行線的判定定理以及三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．已知，如圖，在中，角平分線，相交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，，試求，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵角平分線，相交于點(diǎn)，∴，∴；（2）∵，∴，∵角平分線，相交于點(diǎn)，∴，∴；（3）∵，∴，∵角平分線，相交于點(diǎn)，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念．18．探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請(qǐng)猜想與的關(guān)系是．【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故選：D．（2）解：，，，故答案為：240．（3）解：，，，故答案為：．（4）解：連接，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，關(guān)鍵是掌握三角形的外角的性質(zhì)．19．，直線交于，交于，將沿折疊，使落在同一平面上的處，的兩邊與、的夾角分別記為，．(1)如圖①，當(dāng)落在四邊形內(nèi)部時(shí)，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，當(dāng)落在下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖③，當(dāng)落在右側(cè)時(shí)，探索與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)．理由見解析(2)．理由見解析(3)．理由見解析【分析】（1）根據(jù)圖①中與是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）與（1）的證明過程完全相同；（3）根據(jù)圖③中由于折疊與是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：．理由如下：如圖①，

，又，，又，；（2）解：．理由：，又，，又，；（3）解：．理由如下：如圖③，設(shè)交于點(diǎn)．

，，，，是由沿直線折疊而得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，折疊的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和為，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．20．如圖1，已知直線，且和分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上．(1)試找出之間的等式關(guān)系，并證明；(2)應(yīng)用（1）的結(jié)論解答下列問題：①如圖2，點(diǎn)A在B處的北偏東方向上，點(diǎn)A在C處的北偏西方向上，求的度數(shù)；②在圖3中，小刀的刀片上下是平行的，刀柄外形是一個(gè)直角梯形（下面挖去一小半圓），求的度數(shù)．【答案】(1)，證明見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得；（2）①過A點(diǎn)作，則，根據(jù)兩直