重難點(diǎn)02 三角形角度問題的四個(gè)模型與壓軸題歸類（解析版）

重難點(diǎn)02三角形角度問題的四個(gè)模型與壓軸題歸類三角形角度問題的四個(gè)模型與壓軸題：熟悉8字模型、飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角平分線這個(gè)四個(gè)基本模型以及對(duì)應(yīng)的結(jié)論，能夠?qū)㈩}目中涉及的基本模型抽象出來；期末試卷中通常會(huì)考察1道小題和1道大題（壓軸題），多涉及角度的計(jì)算、角之間的數(shù)量關(guān)系的探究；若小題中涉及基本模型，則可直接套用結(jié)論，若大題中涉及基本模型，則不行，必須嚴(yán)格按照三角形的內(nèi)角和定理以及外角性質(zhì)推導(dǎo)出結(jié)論（注意：在大題中，結(jié)論雖不能直接使用，但是可以起到快速熟悉題目考點(diǎn)，理清題目邏輯，降低題目難度的作用）；（1）對(duì)于涉及8字模型的題，若無法找到“8字”，則需添加輔助線構(gòu)造“8字”，如【模型1】下的第2~4題；（2）對(duì)于涉及角平分線模型的題，要注意此模型分三種情況——雙內(nèi)角平分線、一內(nèi)角平分線一外角平分線、雙外角平分線，分別對(duì)應(yīng)不同的結(jié)論，套用這些結(jié)論做小題時(shí)，千萬不能混淆?！灸Ｐ?8字模型】1．如圖所示，的度數(shù)是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，，，，．故本題選：．2．（2022·重慶·期中）如圖，五角星的五個(gè)角之和，即：A． B． C． D．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，由得：，在中，，即，，即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為．故本題選：．3．（2022·眉山·期中）如圖，則的度數(shù)為．【詳解】解：如圖，連接，在和中，，，，，．故本題答案為：．4．如圖，則度．【詳解】解：如圖，連接，由三角形的內(nèi)角和定理得：，由多邊形的內(nèi)角和公式得：，所以．故本題答案為：540．5．（2022·宜賓·期末）如圖，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：，，，又，，，同理可得：，，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，，，，又，，．故本題選：．6．（2022·南陽(yáng)·期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究?jī)?nèi)容一利用平行線有關(guān)知識(shí)探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個(gè)內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角來解決，也就是可以過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線來證明．請(qǐng)將下面（1）中的證明補(bǔ)充完整：（1）已知：如圖1，三角形，求證：，證明：過點(diǎn)作．（2）如圖2，線段、相交于點(diǎn)，連接、，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請(qǐng)利用小穎探究的結(jié)論直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）在圖2的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、，得到圖3，請(qǐng)判斷與、之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【詳解】（1）證明：如圖1，過作，，，又，；（2）解：根據(jù)（1）得：，又，，故本題答案為：；（3）解：，理由如下：根據(jù)（2）可得：①，②，和的平分線和相交于點(diǎn)，，，①②得：，．7．如圖1，已知線段、相交于點(diǎn)，連接、，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，，則的度數(shù)為．（3）如圖3，若和的平分線和相交于點(diǎn)，且與，分別相交于點(diǎn)，．①若，，求的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“，”，試直接寫出與，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．【詳解】解：（1）證明：在圖1中，有，，，；（2）如圖2，，，，，，，，，，故本題答案為：．（3）①以為交點(diǎn)“8字型”中，有，以為交點(diǎn)“8字型”中，有，，、分別平分和，，，，，，；②，理由如下：，，，，以為交點(diǎn)“8字型”中，有，以為交點(diǎn)“8字型”中，有，，，，．【模型2飛鏢模型】1．如圖，求證：．【詳解】證明：如圖，作射線，，，，．2．（2023·貴陽(yáng)·一模）如圖是一個(gè)零件形狀的示意圖，，，若按規(guī)定時(shí)這個(gè)零件合格，那么此時(shí)的度數(shù)是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，，，，，，，．故本題選：．3．（2022·運(yùn)城·期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，，則；②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)、、，若，，求的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖（1），連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，，根據(jù)外角的性質(zhì)可得：，，又，，；（2）①由（1）可得：，，，，故本題答案為：50；②由（1）可得：，，，；③，，設(shè)為，，，解得：，即的度數(shù)為．【模型3風(fēng)箏模型】1．（2023·無錫·期中）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)落在四邊形內(nèi)時(shí)，則與之間有始終不變的關(guān)系是A． B． C． D．【詳解】解：紙片沿折疊，，，，，中，，即．故本題選：．2．（2023·重慶·期中）如圖，點(diǎn)、分別在、上，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，則是．【詳解】解：根據(jù)折疊可得：，，，，，，，．故本題答案為：50．3．如圖所示，把一個(gè)三角形紙片的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后個(gè)頂點(diǎn)不重合），圖中．【詳解】解：由題意知：又，，，，．故本題答案為：360．4．（2022·晉江·期末）如圖，把三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)，則與、之間的數(shù)量關(guān)系是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，△是沿折疊得到，，又，，，即，整理得：，，即．故本題選：．5．（2022·南陽(yáng)·月考）如圖，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在外的點(diǎn)處．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，，，，又將三角形紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在外，，而，，，，，．故本題選：．【模型4角平分線模型】1．（2023·寶雞·一模）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：在中，，，和是，的角平分線，，，，．又中，，．故本題選：．2．（2022·沈陽(yáng)·期末）如圖，在中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，，，即，，，，，，．故本題選：．3．（2022·南充·期末）如圖，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)，，與的平分線交于點(diǎn)，若，則的值為A． B． C． D．【詳解】解：在中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，同理可得：，，以此類推：，，，即．故本題選：．4．（2022·武漢·期末）如圖，在中，、分別平分、，、分別平分三角形的兩個(gè)外角、，則和的數(shù)量關(guān)系為A． B． C． D．【詳解】解：方法一：、分別平分、，，，，、分別平分三角形的兩個(gè)外角、，，，，．方法二：、分別平分、，，，、分別平分三角形的兩個(gè)外角、，，，，同理可得：，在四邊形中，根據(jù)內(nèi)角和為，．故本題選：．5．（2022·深圳·期末）如圖，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【詳解】解：①平分，，，，，，，故①正確；②，，平分，，，故②正確；③，，，，，，，，，故③正確；④平分，，，，，平分，，，，，，，，故④正確；⑤由④得，，，，，故⑤正確．故本題選：．6．（2022·鎮(zhèn)江·月考）在中，（1）如圖（1）、是的內(nèi)角角平分線，且相交于點(diǎn)，求；（2）如圖（2）、是的外角角平分線，且相交于點(diǎn)，求；（3）如圖（3）、分別是的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點(diǎn)，求；（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當(dāng)時(shí)，分別可以得出與有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）．【詳解】解：（1），，而平分，平分，，，，，，，當(dāng)，；（2），，，，當(dāng)，；（3），，而平分，平分，，，，，，當(dāng)，；（4）；；．【壓軸利用三角形的內(nèi)角和定理或外角性質(zhì)求角度、探究角之間的數(shù)量關(guān)系】1．（2022·南京·期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則，叫做的“三分線”．其中，是“鄰三分線”，是“鄰三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在中，，，若的三分線交于點(diǎn)，則；（2）如圖③，在中，、分別是鄰三分線和鄰三分線，且，求的度數(shù)；【延伸推廣】（3）如圖④，直線、交于點(diǎn)，的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn)．若，，，直接寫出的度數(shù)．【詳解】解：（1），，是的“三分線”，，，或，故本題答案為：或100；（2）如圖③，，，，、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，；（3）四種情況：①如圖1，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，，，，，，，，，，，，，，；②如圖2，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，，，由①知：，同理得：，；③如圖3，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，，，由①知：，同理得：，；④如圖4，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，，，由①知：，同理得：，；綜上，的度數(shù)為或或或．2．（2022·海安·期末）在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，的角平分線所在的直線與射線交于點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①若，，則；②若，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出答案．【詳解】解：（1）①，，，是的平分線，是的平分線，，，又，，故本題答案為：45；②由①得：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，平分，，；如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，由（1）得：，；綜上，與之間的數(shù)量關(guān)系為：或．3．（2022·鎮(zhèn)江·期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱這兩個(gè)角互為“開心角”，這個(gè)三角形叫做“開心三角形”．例如：在中，，，則與互為“開心角”，為“開心三角形”．【理解】（1）若為開心三角形，，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為；（2）若為開心三角形，，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為；（3）已知是開心中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，試確定的取值范圍，并說明理由；【應(yīng)用】如圖，平分的內(nèi)角，交于點(diǎn)，平分的外角，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，已知，若是開心中的一個(gè)開心角，設(shè)，求的度數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè)最小角為，為開心三角形，，，，故本題答案為：12；（2）當(dāng)是“開心角”，則最小角為；當(dāng)不是“開心角”，設(shè)最小角為，，，故本題答案為：35或；（3）是開心中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，另一個(gè)開心角是，第三個(gè)內(nèi)角是，是最小內(nèi)角，，；【應(yīng)用】平分的內(nèi)角，，，設(shè)，平分的外角，，，，，，，，①當(dāng)與互為開心角時(shí)，或，或，解得：；②當(dāng)與互為開心角，或，，，舍去，，解得：；綜上，或．4．（2022·淮安·期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則，叫做的“三分線”．其中，是“鄰三分線”，是“鄰三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在中，，，若的三分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（2）如圖③，在中，、分別是鄰三分線和鄰三分線，且，求的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在中，是的外角，的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn)．若，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【詳解】解：（1）如圖，當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，；當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，；（2）在中，，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，，；（3）分4種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：情況一：如圖①，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；情況二：如圖②，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；情況三：如圖③，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；情況四：如圖④，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；綜上，的度數(shù)為：或或或．1．（2023·威?！て谥校┤鐖D所示，則的度數(shù)是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，連接，則，根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系可得：，所以．故本題選：．2．（2023·蘇州·期中）如圖，線段，相交于點(diǎn)，連接，，平分，平分，則，，滿足的關(guān)系式是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，和的平分線和相交于點(diǎn)，，，，，，即．故本題選：．3．（2022·無錫·月考）如圖1，已知線段、相交于點(diǎn)，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、．請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；②若，，試求的度數(shù)；③若和為任意角，其他條件不變，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出推理過程；若不存在，請(qǐng)說明理由；④若和為任意角，，，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】解：（1），，且，，故本題答案為；（2）①以為交點(diǎn)的有1個(gè)，為和，以為交點(diǎn)的有4個(gè)，為和，和，和，和，以為交點(diǎn)的有1個(gè)，為和，故本題答案為6個(gè)；②平分，平分，，，由（1）中的結(jié)論得：，，整理得：，；③：，理由如下：平分，平分，，，由（1）中的結(jié)論得：，，整理得：；④，理由如下：由（1）中結(jié)論得：，，整理得：．4．（2023·西安·模擬）如圖是一個(gè)零件示意圖，經(jīng)測(cè)量得知，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，連接，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，是的外角，是的外角，，，，即，．故本題選：．5．如圖1和圖2，在三角形紙片中，點(diǎn)，分別在邊，上，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為（只填序號(hào)），并說明理由；①②③（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在內(nèi)部時(shí)，直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）由題意得：，，故本題答案為：③；（2），理由如下：如圖2，連接，由題意知：，，，．6．（2022·合肥·期末）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的外部時(shí)，此時(shí)測(cè)得，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，，，．故本題選：．7．（2023·哈爾濱·期中）如圖，的角平分線，交于點(diǎn)，若，．則A． B． C． D．【詳解】解：，，，的角平分線，交于點(diǎn)，，，，是的外角，．故本題選：．8．（2023·青?！ひ荒＃┤鐖D，在中，是的平分線，是的平分線，與相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是．【詳解】解：是的平分線，是的平分線，，，又，，，．故本題答案為：．9．（2022·西安·期末）如圖，在中，，是的平分線，和是兩個(gè)外角的平分線，、、三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤，其中正確的是A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【詳解】解：①、是與的平分線，，，，，即，，故①正確；②和是兩個(gè)外角的平分線，，故②正確；③，，是的平分線，，，故③正確；④，，故④正確；⑤，平分，，，，，，故⑤正確；綜上，正確的有①②③④⑤．故本題選：．10．（2022·寶雞·期末）