專題14 相似三角形模型-解析版

專題14相似三角形模型★知識(shí)點(diǎn)1：A字型相似【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．典例分析【例1】（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【例2】（2021·江蘇·九年級(jí)自主招生）在中，，D為上一點(diǎn)，過D作DEBC交于點(diǎn)E，連接．設(shè)，求的取值范圍．【答案】【分析】作AG⊥BC于F點(diǎn)，交DE于G點(diǎn)，設(shè)AD=x，首先結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)推出和的值，然后結(jié)合面積公式進(jìn)行列式，得出二次函數(shù)解析式，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖所示，作AG⊥BC于F點(diǎn)，交DE于G點(diǎn)，設(shè)AD=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，整理得：，∵點(diǎn)D在AB上，，∴，，∴拋物線的開口向下，且當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)和時(shí)，均有，綜上分析，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用等，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)推出相關(guān)線段的比例，以及熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2021秋·安徽安慶·九年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)校考期中）圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出，將兩個(gè)式子相加，即可求出GH的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·北京房山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點(diǎn)，，，，，求CD的長(zhǎng)．【答案】1.5【分析】由，可得出，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AD與BC交于O點(diǎn)，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式．★知識(shí)點(diǎn)2：8字型相似【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．典例分析【例1】（2021秋·江西吉安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，，過點(diǎn)E的直線分別交，于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為________，________；（2）已知．①若，求此時(shí)的長(zhǎng)；②當(dāng)E，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時(shí)，是否存在滿足的情況？如果存在，請(qǐng)通過分析指出這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果不存在，說明理由．【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8個(gè)．【分析】解：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到△ACD為等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的長(zhǎng)，由MN=CD，可以求出MN的長(zhǎng)，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.（2）①過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到對(duì)應(yīng)邊成比例，由勾股定理求出GM的長(zhǎng)，再由AM=AG+GM可求出．②畫出圖形，過點(diǎn)F作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，計(jì)算出PE+PF的最小值，與PE+PF=9比較．得出BC上存在兩個(gè)點(diǎn)，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF=9．【詳解】解：（1），∵四邊形ABCD為正方形∴△ACD為等腰直角三角形，則，在Rt△ACD中有AD=AC，AD2+DC2=AC2，∵AC=12，解得：AD=CD=6，又∵M(jìn)N⊥BC，CD⊥BC∴MN∥CD，且MN=CD，即MN=DC=6，又∵AD∥BC∴△AEM∽△CEN.（2）①如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G．∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．②存在，這樣的點(diǎn)有8個(gè)．如圖，過點(diǎn)F作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N，連接，∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線三等分，且，∴，．∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱，∴，．∴．∴．則在線段上存在點(diǎn)N到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為．∴在線段上，點(diǎn)N的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使．同理在線段，，上都存在兩個(gè)點(diǎn)使．即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段和的最值問題等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng).【例2】（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴，=8，∴，，∴，，∵BE=EF=FD，∴，，∴BG=AD=4，HD=BG，∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴=a，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形AEFH的面積=-=．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2021秋·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）因?yàn)椤?，根?jù)相似三角形的性質(zhì)可知，代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】證明：（1），，∽；（2）∽，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)為的理想點(diǎn),理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）由是的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)在上時(shí)，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長(zhǎng)度；當(dāng)在上時(shí)，，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求長(zhǎng)度；不可能在上．（1）解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）①在上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，或，當(dāng)時(shí)，，，，即是邊上的高，當(dāng)時(shí)，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點(diǎn)”不可能在邊上，③在邊上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，，又，，，即，，綜上所述，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．★知識(shí)點(diǎn)3母子型相似【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．典例分析【例1】（2021秋·福建漳州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．【例2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）易證△BEG∽△AEB，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決；（2）由（1）的結(jié)論及BE=CE，易證明△CEG∽△AEC，從而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABE=90°∴∠ABG+∠EBG=90°∵∴∠ABG+∠BAG=90°∴∠EBG=∠BAG∴Rt△BEG∽R(shí)t△AEB∴∴（2）由（1）有：∵BE=CE∴∴∵∠CEG=∠AEC∴△CEG∽△AEC∴∠CGE=∠ACE∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD∴OB=OC∴∠DBC=∠ACE∴【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，結(jié)合∠DAE=∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長(zhǎng)．2．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是π；P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長(zhǎng)即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)4手拉手型相似【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．典例分析【例1】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．【例2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．即學(xué)即練1．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考三模）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長(zhǎng)為或．【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進(jìn)而得出BD⊥CP；（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；(3)分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAD=∠CAE．∵和是等腰直角三角形，∴，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；（2）（1）中結(jié)論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE同（1）得；（3）解：∵和是等腰直角三角形，∴，①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AC-AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE=．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴∴．∴PB=．②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．∴PB=．綜上所述，PB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5【分析】（1）由可得,即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由可得,即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）證明,求出，再證,可求,進(jìn)而解答即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1，，，，又，；（2）結(jié)論仍成立；理由：如圖2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形

是等腰直角三角形又即解得．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似，正切值的求法，能夠通過構(gòu)造角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)5K字型相似【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形典例分析【例1】（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長(zhǎng)．【答案】(1)等邊三角形(2)(3)4【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE＝PC來實(shí)現(xiàn)；（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長(zhǎng)求出GC的長(zhǎng)，從而求出GB的長(zhǎng)，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長(zhǎng)，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長(zhǎng)，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．【詳解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中，，∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形．（2）過E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，，在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，∴PE＝2，BE＝2，∴EH＝BE?PE÷BP＝，∴S△GBE＝；（3）∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x．∴＝，解得：x＝2或4．當(dāng)x＝2時(shí)，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，過E作EH⊥BC于H，則EH＝BE?sin∠B＝2，BH＝2，∴PH＝0，即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；當(dāng)x＝4時(shí)，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，則△BEP是等邊三角形，∴PE＝4．故PE＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對(duì)全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．【例2】．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請(qǐng)猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．證明△AHF≌△FJD（SAS），可得結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：．證明△AHF∽△FJD，可得結(jié)論；（3）如圖③中，結(jié)論：，證明方法類似（2）．【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如圖②中，結(jié)論：．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如圖③中，結(jié)論：，理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°-α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．即學(xué)即練1．（2020秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)天臺(tái)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）【問題情境】如圖①，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).【問題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．【類比遷移】如圖③，在等邊中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，______．【答案】問題情境：；探索發(fā)現(xiàn)：成立，見解析；類比遷移：或【分析】問題情境：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證明即可得；探索發(fā)現(xiàn)：與圖①類似，證明即可；類比遷移：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，設(shè)CE=x，則CF=2x，分兩種情況討論：點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】問題情境：，證明如下：∵在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴∵∴∴在和中，∴∴探索發(fā)現(xiàn)：成立，理由：∵在中，為中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，在和中，∴∴類比遷移：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，如圖③，∵是等邊三角形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，，設(shè)，則，，∵是的外角，，∴即∴又∵∴∴∴∴解得，（大于4，不符合題意，舍去）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖：設(shè)，則，，同理可得∴解得，（不符合題意，舍去）綜上所述，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形與相似三角形的綜合問題，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)尋找全等條件，熟練掌握相似三角形中的一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．2．（2019秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點(diǎn)D，以PD為邊在PD右側(cè)作正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，正方形PDEF的邊長(zhǎng)為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）作射線PE交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)DF．當(dāng)DF＝4EG時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分兩種情況討論，根據(jù)重疊部分的圖形的形狀，可求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）分點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部和△ABC外部?jī)煞N情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求t的值．【詳解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案為2t，（2）如圖，∵四邊形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝；（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為正方形PDEF的面積，即S＝DP2＝4t2，當(dāng)＜t≤2時(shí)，如圖，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為五邊形PDGHF的面積，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為.（4）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，設(shè)DF與PE交于點(diǎn)O，∵四邊形PDEF是正方形，∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，∴∠DFP＝∠ABC＝45°，∴DF∥BC，∴，∵DF＝4EG，∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，∴PG＝5a，∴，∴，∴t＝，如圖，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部，設(shè)DF與PE交于點(diǎn)O，∵四邊形PDEF是正方形，∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，∴∠DFP＝∠ABC＝45°，∴DF∥BC，∴，∵DF＝4EG，∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，∴PG＝3a，∵，∴，∴t＝，綜上所述：t＝或.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例和重疊部分的面積等知識(shí).先求特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，做到不重不漏，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，確定重疊部分圖形的形狀是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)6三角形內(nèi)接矩形【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，典例分析【例1】（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，在中，，，，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上．

(1)設(shè)，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，則_______；(2)當(dāng)矩形是正方形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先證為直角三角形，再由矩形的性質(zhì)及兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角可證得，從而可得含的比例式，將相關(guān)線段用含的式子表示出來并代入比例式，求解即可；（2）由矩形的性質(zhì)可得，可證得，從而可得含有的比例式，用含的式子表示出，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)相等可得關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）在中，，，，為直角三角形，，四邊形為矩形，，，，又，，，，，，，故答案為：；（2）四邊形為矩形，，，，，，，，，當(dāng)矩形是正方形時(shí)，，，解得，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、矩形和正方形的性質(zhì)及一元一次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【例2】（2022秋·上海青浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一塊三角形鐵板，，高，把這塊鐵板截成一塊矩形，使邊在上，頂點(diǎn)G、H分別在邊上，矩形長(zhǎng)與寬之比為，求截得的矩形的周長(zhǎng)．【答案】【分析】先由矩形的性質(zhì)得到，，，再證明四邊形是矩形，得到，設(shè)，則，證明，得到，解方程求出，由此即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵是的高，∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，∵，即，∴，∴，∴，解得，∴，∴截得的矩形的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·吉林白山·校聯(lián)考一模）如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點(diǎn)P、A、C在一條直線上，點(diǎn)P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，點(diǎn)P到橫桿AB的距離是1m，則點(diǎn)P到地面的距離等于m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于點(diǎn)F，利用AB∥CD，推導(dǎo)△PAB∽△PCD，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)高之比是相似比求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形對(duì)應(yīng)高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高之比是相似比是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個(gè)正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長(zhǎng)．【答案】【分析】設(shè)AM交GF于H點(diǎn)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點(diǎn)，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點(diǎn)∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題．4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題．5．（2020秋·貴州貴陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．【答案】A【分析】過D做于點(diǎn)H，由正方形ABCD的性質(zhì)，通過證明和計(jì)算得到，再通過證明從而求得CE的長(zhǎng)．【詳解】如下圖，過D做于點(diǎn)H

∴∵正方形ABCD∴且∵∴∴又∵∴∴∵∴

又∵正方形ABCD∴∴∵于點(diǎn)G∴∴∴∵∴∵且∴∴∴故選：A．方法二：∵∠BEC+∠FCD=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠BEC=∠DFC，又∵∠CDF=∠BCE,BC=CD,∴△BCE≌△CDF，∴CE=DF=4-1=3;【點(diǎn)睛】本題考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．6．（2019秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，給出下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；④根據(jù)△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD，即可得到S四邊形CDEF=S△ABF，故④正確．【詳解】如圖，過D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正確，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確；∵△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置邊長(zhǎng)分別為3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性質(zhì)把它們的直角邊用含x的表達(dá)式表示出來，列方程，解方程即可得到x的值．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長(zhǎng)分別3，4，x的三個(gè)正方形，由正方形可得：同理：∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合題意，舍去）或x=7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找到相似三角形，用x的表達(dá)式表示出對(duì)應(yīng)邊．8．（2021秋·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質(zhì)，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．9．（2021秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)D在邊上，且，將含角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交邊于P、Q，連接，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)作于，根據(jù)等邊三角形，和含角的直角三角形，易證得，從而求得線段，，，，，，的長(zhǎng)度，最后在中利用勾股定理可以求得的長(zhǎng)度．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，在等邊中，，，在中，，，∵，∴，，∴，∴，又∵∠A=∠B=60°，∴，

∴，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，已知∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，而,∴，∴，在中，，∴，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊三角函數(shù)值，一線三等角的相似模型，正確找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·遼寧鐵嶺·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【分析】（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求出答案；（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面積是△ABD面積的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解