圓錐曲線定義的運用

圓錐曲線定義的運用一、教學內容分析本課選自《全日制普通高級中學教科書（必修）數(shù)學》(人教版)高二(上)，第八章（圓錐曲線方程復習課）圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質屬性,它是無數(shù)次實踐后的高度抽象.恰當?shù)乩枚x解題,許多時候能以簡馭繁.因此,在學習了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標準方程、幾何性質后,我認為有必要再一次回到定義,熟悉“利用圓錐曲線定義解題”這一重要的解題策略.二、學生學習情況分析我所任教班級的學生是初中開始“課程改革”后的第一屆畢業(yè)生，他們在初中三年的學習中，接受的是“新課改”的理念，學習的是“新課標”下的課程、教材，由于05年高中“課改”還未全面推行，因此如今他們面對的高中教材還是舊教材。與以往的學生比較，這屆學生的特點是：參與課堂教學活動的積極性更強，思維敏捷，敢于在課堂上發(fā)表與眾不同的見解，但計算能力較差，字母推理能力較弱，使用數(shù)學語言的表達能力也略顯不足。三、設計思想由于這部分知識較為抽象,難以理解.如果離開感性認識,容易使學生陷入困境,降低學習熱情.在教學時,我有意識地引導學生利用波利亞的一般解題方法處理習題,針對學生練習中產(chǎn)生的問題,進行點評,強調“雙主作用”的發(fā)揮.借助多媒體動畫,引導學生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,主動參與教學,在輕松愉快的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、獲取新知,提高教學效率.四、教學目標1.深刻理解并熟練掌握圓錐曲線的定義，能靈活應用定義解決問題；熟練掌握焦點坐標、頂點坐標、焦距、離心率、準線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法；能結合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。2.通過對練習,強化對圓錐曲線定義的理解，培養(yǎng)思維的深刻性、創(chuàng)造性、科學性和批判性,提高空間想象力及分析、解決問題的能力；通過對問題的不斷引申,精心設問,引導學生學習解題的一般方法及聯(lián)想、類比、猜測、證明等合情推理方法.3．借助多媒體輔助教學,激發(fā)學習數(shù)學的興趣.在民主、開放的課堂氛圍中,培養(yǎng)學生敢想、敢說、勇于探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的精神.五、教學重點與難點:教學重點1.對圓錐曲線定義的理解2.利用圓錐曲線的定義求“最值”3.“定義法”求軌跡方程教學難點:巧用圓錐曲線定義解題六、教學過程設計【設計思路】由于這是一堂習題課,加上我所任教的班級是重點中學的理科班，學生有較好的數(shù)學基礎，學習積極性較高，領悟能力較好，所以在教學中,我擬采用師生共同參與的談話法：由教師提出問題，激發(fā)學生積極思考，引導他們運用已有的知識經(jīng)驗，利用合情推理來自行獲取新知識。通過個別回答，集體修正的方法讓我及時得到反饋信息。最后，我將根據(jù)學生回答問題的情況進行小結，概括出問題的正確答案，并指出學生解題方法的優(yōu)缺點。（一）開門見山，提出問題一上課，我就直截了當?shù)亟o出——例題1：(1)已知A（－2，0），B（2，0）動點M滿足|MA|+|MB|=2，則點M的軌跡是（）。（A）橢圓（B）雙曲線（C）線段（D）不存在（2）已知動點M（x，y）滿足，則點M的軌跡是（）。（A）橢圓（B）雙曲線（C）拋物線（D）兩條相交直線【設計意圖】定義是揭示概念內涵的邏輯方法，熟悉不同概念的不同定義方式，是學習和研究數(shù)學的一個必備條件，而通過一個階段的學習之后，學生們對圓錐曲線的定義已有了一定的認識，他們是否能真正掌握它們的本質，是我本節(jié)課首先要弄清楚的問題。為了加深學生對圓錐曲線定義理解，我以圓錐曲線的定義的運用為主線,精心準備了兩道練習題。為杜絕一些錯誤認識在學生大腦中滋生、萌芽，我準備采用電腦多媒體輔助教學——先制作好若干“電腦小課件”，一旦有學生提出錯誤的解法,就向學生們展示。希望用形象生動的“電腦課件”使學生對問題有正確的認識。此外，因為涉及的內容較多，學生的訓練量也較大，所以考慮利用實物投影器等媒體來輔助教學，一方面能彌補在黑板上板演耗時多的不足，另一方面則可以讓學生一邊演示自己的“成果”，一邊進行介紹說明，有利于激發(fā)更多的學生主動參與，真正成為學習的主體?！緦W情預設】估計多數(shù)學生能夠很快回答出正確答案，但是部分學生對于圓錐曲線的定義可能并未真正理解，因此，在學生們回答后，我將要求學生接著說出：若想答案是其他選項的話，條件要怎么改？這對于已學完圓錐曲線這部分知識的學生來說，并不是什么難事。但問題（2）就可能讓學生們費一番周折——如果有學生提出：可以利用變形來解決問題，那么我就可以循著他的思路，先對原等式做變形：這樣，很快就能得出正確結果。如若不然，我將啟發(fā)他們從等式兩端的式子入手，考慮通過適當?shù)淖冃?，轉化為學生們熟知的兩個距離公式。在對學生們的解答做出判斷后，我將把問題引申為：該雙曲線的中心坐標是，實軸長為，焦距為。以深化對概念的理解。（二）理解定義、解決問題例2(1)已知動圓A過定圓B：的圓心，且與定圓C：相內切，求△ABC面積的最大值。（2）在（1）的條件下，給定點P(-2,2),求的最小值。（3）在（2）的條件下求|PA|+|AB|的最小值?！驹O計意圖】運用圓錐曲線定義中的數(shù)量關系進行轉化，使問題化歸為幾何中求最大（?。┲档哪Ｊ?，是解析幾何問題中的一種常見題型，也是學生們比較容易混淆的一類問題。例2的設置就是為了方便學生的辨析?！緦W情預設】根據(jù)以往的經(jīng)驗，多數(shù)學生看上去都能順利解答本題,但真正能完整解答的可能并不多…。事實上，解決本題的關鍵在于能準確寫出點A的軌跡，有了練習題1的鋪墊，這個問題對學生們來講就顯得頗為簡單，因此面對例2（1）、（2），多數(shù)學生應該能準確給出解答，但是對于例2（3）這樣相對比較陌生的問題，學生要么就卡殼了，要么可能得出錯誤的解答。我準備在學生們都解答完后,選擇幾份有“共性”錯誤的練習，借助于實物投影儀與電腦，加以點評。這時，也許會有學生說應當是P、A、B三點共線時，取最小值。那么，我應該鼓勵學生進行的大膽構想，同時不急于給出標準答案，而是打開“幾何畫板”，利用其能夠準確測量線段的特點，讓學生們自己發(fā)現(xiàn)錯誤，在電腦動畫的幫助下,讓學生們尋找到點B所在的正確位置后，叫學生演練出正確的解題過程，并借助實物投影加以演示。在學生們得出正確解答后，由一位學生進行歸納小結：在橢圓中，當定點A不在橢圓內部時，則A，F(xiàn)的連線與橢圓的交點M就是使|BA|+|BF|最小的點；當定點A在橢圓內部時，則A與另一焦點的連線的延長線與橢圓的交點B即為所求。（三）自主探究、深化認識如果時間允許，練習題將為學生們提供一次數(shù)學猜想、試驗的機會——練習：設點Q是圓C：上動點,點A（1，0）是圓內一點,AQ的垂直平分線與CQ交于點M,求點M的軌跡方程。引申:若將點A移到圓C外,點M的軌跡會是什么?【設計意圖】練習題設置的目的是為學生課外自主探究學習提供平臺，當然，如果課堂上時間允許的話，可借助“多媒體課件”，引導學生對自己的結論進行驗證?！局R鏈接】（一）圓錐曲線的定義圓錐曲線的第一定義圓錐曲線的統(tǒng)一定義（二）圓錐曲線定義的應用舉例1．雙曲線的兩焦點為F1、F2，P為曲線上一點，若P到左焦點F1的距離為12，求P到右準線的距離。2．P為等軸雙曲線上一點，F(xiàn)1、F2為兩焦點，O為雙曲線的中心，求的取值范圍。3．在拋物線上有一點A（4，m），A點到拋物線的焦點F的距離為5，求拋物線的方程和點A的坐標。4．（1）已知點F是橢圓的右焦點，M是這橢圓上的動點，A（2，2）是一個定點，求|MA|+|MF|的最小值。（2）已知A（）為一定點，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，M在雙曲線右支上移動，當最小時，求M點的坐標。（3）已知點P（－2，3）及焦點為F的拋物線，在拋物線上求一點M，使|PM|+|FM|最小。5．已知A（4，0），B（2，2）是橢圓內的點，M是橢圓上的動點，求|MA|+|MB|的最小值與最大值。七、教學反思本課將借助于“POWERPOINT課件”，利用兩個例題及其引申,通過一題多變,層層深入的探索,以及對猜測結果的檢測研究,培養(yǎng)學生思維的深刻性、創(chuàng)造性、科學性、批判性,使學生從學會一個問題的求解到掌握一類問題的解決方法,領略數(shù)學的統(tǒng)一美.“電腦多媒體課件”的介入，將使全體學生參與活動成為可能，使原來令人難以理解的抽象的數(shù)學理論變得形象，生動且通俗易懂，同時，運用“多媒體課件”輔助教學，節(jié)省了板演的時間，從而給學生留出更多的時間自悟、自練、自查，充分發(fā)揮學生的主體作用，這充分顯示出“多媒體課件”與探究合作式教學理念的有機結合的教學優(yōu)勢。1.“滿堂灌”的教學方式已被越來越多的教師所摒棄,“滿堂問”的教學方式形似啟發(fā)式教學,實則為“教師牽著學生,按教師事先設計的講授程序”所進行的接受性學習.基于以上考慮,本人期望在教學中能嘗試使用“探究—合作”式教學模式進行教學.使學生們的“知識的獲得過程”不再是簡單的“師傳生受”,而是讓學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動的加以建構.在這個建構過程中,學生應是教師主導下的主體,是知識的主動建構者.所設計的問題以及引導學生進行探究過程的發(fā)問,都力求做到“把問題定位在學生認知的最近發(fā)展區(qū)”2.在有限的時間內應突出重點,突破難點,給學生留有自主學習的空間和時間.為了在課堂上留給學生足夠的空間.我將幾類題型作了處理——將“定義法求軌跡問題”分置于例2（1）與練習中，循序漸進的讓學生把握這類問題的解法；將學生容易混淆的兩類求“最值問題”并為一道題，方便學生進行比較、分析。雖然從表面上看，我這一堂課的教學容量不大，但事實上，學生們的思維運動量并不會小。3.現(xiàn)代教育技術的發(fā)展為我們提供了豐富的媒體條件，然而，教師所編導的教學活動應該隨著整體環(huán)境的變化、學生群體的變更而變化。在本節(jié)課，我只是根據(jù)需要制作了一個較為簡單的“小課件”，并在其中作了多個按鈕，以