黑龍江省大慶市肇州二中2023-2024學年高三上學期11月月考數(shù)學試題

數(shù)學學科試卷選擇題：（本大題共8小題，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．1．設集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．下列各組中的函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（）A．和 B．和C．和 D．和3．已知中，，，，為的外心，若，則m的值為（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．下列函數(shù)在遞減，且圖像關于y軸對稱的是（

）A．B．C．D．6．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．4 D．7．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若a，，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷8．設數(shù)列的前項和為，，且，若存在，使得成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二．多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．下列各式計算正確的有（

）A． B．C． D．11．已知數(shù)列滿足，設數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A．數(shù)列為等差數(shù)列 B．C．數(shù)列的前項和為 D．數(shù)列的前項和為12．如圖三棱錐中，點為邊中點，點為線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．存在實數(shù)使得B．當兩兩垂直時，C．當兩兩所成角為且為中點時；D．當兩兩垂直時，為中點，是錐體表面上一點，若，則動點運動形成的路徑長為三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若（為虛數(shù)單位），則．14．曲線在處的切線的傾斜角為，則．15．某企業(yè)2021年年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%.每年年底扣除下一年必需的消費資金后，剩余資金全部投入再生產，為了實現(xiàn)5年后投入再生產的資金達到800萬元的目標，每年應扣除的消費資金至多為萬元．（結果取整數(shù)，參考數(shù)據：1.24≈2.07，1.25≈2.49）16．三個“臭皮匠”在閱讀一本材料時發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．即過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線l的方程為．三個“臭皮匠”利用這一結論編了一道題：“已知平面的方程為，直線l是兩個平面與的交線，則直線l與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰知“諸葛亮”很快就算出了答案．請問答案是．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的步驟或文字說明或證明過程）17．已知，記．(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；(2)若，求．18．如圖，在正方體中，E、F分別是，CD的中點，(1)求證：平面ADE；(2)求異面直線EF，CB1所成的角19．已知數(shù)列滿足，．(1)設，證明：是等差數(shù)列；(2)設數(shù)列的前項和為，求．20．如圖甲，已知在長方形中，，，為的中點.將沿折起，如圖乙，使得平面平面.

(1)求證：平面；(2)若點是線段上一動點，點在何位置時，平面與平面的夾角為.21．設數(shù)列，滿足，，，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說明理由．22．已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍參考答案：1．C【分析】解一元二次不等式可得，求出集合，即可得出結論.【詳解】解不等式可得，即可得；易知，所以，即中元素的個數(shù)為4個.故選：C2．C【分析】先判斷定義域是否相同，再看解析式是否相同即可.【詳解】對于A：定義域都為，，，值域不同，故A錯誤；對于B：定義域為，定義域為，定義域不一致，故B錯誤；對于C：定義域為，定義域為，且，C正確；對于D：定義域為，定義域為，定義域不一致，故D錯誤，故選：C3．A【分析】根據三角形外心的性質，結合平面向量數(shù)量積的運算性質和定義進行求解即可.【詳解】過作，垂足分別為，顯然為的中點，所以，即，因為，所以有，故選：A.

4．B【分析】利用誘導公式即可得到答案.【詳解】，故選：B．5．D【分析】根據冪函數(shù)性質，逐一判斷即可.【詳解】根據冪函數(shù)性質，知函數(shù)、，在上遞增，ABC都不是；而在上遞減，且為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，D是.故選：D6．C【分析】根據已知得出，，即可根據等比中項結合已知列出式子，求解得出答案.【詳解】數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，，即，解得，故選：C.7．A【分析】先通過函數(shù)是冪函數(shù)以及單調性求出的解析式，再利用單調性和奇偶性可得答案.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，又因為對任意，且，滿足，即對任意，都有，故函數(shù)是冪函數(shù)且在上單調遞增，所以，所以，則，明顯為上的奇函數(shù)，由得，所以，所以.故選：A.8．D【分析】先由化簡得遞推關系，從而求得通項及前項和，要使能成立，即能成立，令，轉化為求解的最小值即可.【詳解】由得，則有對任意成立，又，則，故，且則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，由得，，分離參數(shù)得，，令則令，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；由，則當時，當時，恒有，又，故的最小值為.若存在，使得成立，則，則有，即實數(shù)的最小值為.故選：D.9．CD【分析】利用不等式的性質以及冪函數(shù)的性質一一判斷即可.【詳解】對A，若，則，A錯誤；對B，取，則，B錯誤；對C，根據冪函數(shù)在單調遞增可知，若，則，C正確；對D，若，則有，所以，D正確；故選:CD.10．BC【分析】根據三角函數(shù)的二倍角公式以及和角公式，可得答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.11．ABC【分析】先構造數(shù)列，知其前項和求通項，進而再求出，選項A，由定義證明為等差數(shù)列；選項B，利用等差數(shù)列前項和公式求解即可；選項C，兩項并一項，并項為常數(shù)列求和；選項D，分段討論去絕對值后，分組求和，再利用等差數(shù)列求和公式即可求出.【詳解】由，設，則，所以當時，，兩式相減得，，當時，也適合上式.則，解得，，所以，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，故選項AB正確；選項C，數(shù)列的前項和，故C項正確；選項D，，則前項和為，故D項錯誤.故選：ABC.12．BC【分析】假設得到平面，矛盾，A錯誤，證明平面得到B正確，根據得到C正確，建立空間直角坐標系，根據垂直關系得到，解方程得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：若存在實數(shù)使得，則，，確定平面，平面，這與條件矛盾，錯誤；對選項B：，，，平面，故平面，平面，故，正確；對選項C：，，故，正確；對選項D：如圖所示以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，即，在平面內，直線方程為，，解得，故路徑長為，錯誤.故選：BC.13．【分析】根據復數(shù)的乘法運算以及除法運算即可化簡求解.【詳解】由可得，所以，故答案為：14．/【分析】求導，根據導數(shù)的幾何意義可得，再結合齊次式問題運算求解.【詳解】因為，可得，由題意可知：，所以，即.故答案為：.15．59【分析】利用等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】設每年應扣除的消費資金為x萬元，設年后投入的再生產資金為，則1年后投入再生產的資金為：，2年后投入再生產的資金，…5年后投入再生產的資金，∵∴，取整數(shù)為59.故答案為：5916．【分析】求出已知的三個平面的法向量，由直線l是兩個平面與的交線，求出直線的方向向量，再根據線面角的向量求法，可得答案.【詳解】因為平面的方程為，故其法向量可取為，平面的法向量可取為，平面的法向量可取為，直線l是兩個平面與的交線，設其方向向量為，則，令，則，故設直線l與平面所成的角為，則，故答案為：17．(1)最小正周期，對稱中心為(2)【分析】（1）根據數(shù)量積的坐標運算結合三角恒等變換整理得，進而求最小正周期和對稱中心；（2）根據題意結合角的范圍可得，，注意到，結合三角恒等變換求值.【詳解】（1）因為，所以的最小正周期，令，解得，所以的對稱中心為.（2）因為，可得，又因為，則，且，，可知，則，則，，可得，所以.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）以D為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，證明，，再由線面垂直的判定定理證明即可.（2）用向量表示出，，由求出直線EF，CB1方向向量的夾角，進而可求異面直線的夾角.【詳解】（1）以D為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：不妨設正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），則，，所以，.所以，因為,平面ADE,平面ADE,所以平面ADE.（2）以D為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：不妨設正方體的棱長為1，則（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），＝－1＋0－＝－,，，

，設異面直線EF，CB1所成的角為，所以則異面直線EF，CB1所成的角為.19．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由可得，則即可證明是等差數(shù)列；（2）由（1）知，通過裂項相消法即可求得數(shù)列的前項和為.【詳解】（1）由得，，，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以數(shù)列的前項和為，所以20．(1)證明見解析；(2)為的靠近點的三等分點.【分析】（1）利用面面垂直的性質、線面垂直的性質判斷推理即得.（2）以的中點為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量，結合面面夾角求解即得.【詳解】（1）依題意，由，得，又，則，而，即有，因此，而平面平面，平面平面，平面，于是平面，又平面，則，因為，且，平面，所以平面.（2）取的中點，連接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，取的中點，連接，則，由（1）知，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設，，，，設平面的一個法向量為，則，令，得，顯然是平面的一個法向量，且，于是，即，則或（舍），所以為的靠近點的三等分點.21．（1），（2）不存在，理由見解析【分析】（1）先求出等差數(shù)列的公差，再利用，表示出即可求出數(shù)列的通項公式；同樣先求出等比數(shù)列的公比，再利用即可求的通項公式；（2）先求出的表達式，并找到其單調區(qū)間的分界點，求出其函數(shù)值的范圍即可得出結論．【詳解】解：（1）由已知，得公差所以故由已知，所以公比所以．故（2）設所以當時，是增函數(shù)．又，所以當時，而，所以不存在，使．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎知識及其應用．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．22．(1)；(2).【分析】（1）把代入，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方