陜西省安康市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題

2023~2024學(xué)年度安康市高三年級第一次質(zhì)量聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題答案填寫在答題卡上.第Ⅰ卷一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則（）A.2B.C.1D.0

2.若復(fù)數(shù)，則實數(shù)（）A.2B.±2C.-2D.1

3.設(shè)滿足約束條件則的最小值為（）A.-12B.3C.-10D.0

4.已知，則（）A.B.C.D.5.某地居民對某項服務(wù)滿意度評分的頻率分布直方圖如圖所示，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則估計該地居民對這項服務(wù)滿意度評分的平均值為（）A.67.5B.68C.67D.66.5

6.已知橢圓的左?右焦點分別為為橢圓上一點，的最大值為6，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.7.在中，角的對邊分別是，已知，則（）A.11B.6C.5D.9

8.函數(shù)的最小正周期和最小值分別是（）A.和-2B.和C.和D.和-29.函數(shù)的極大值點為（）A.-2B.C.0D.-1

10.已知是定義在上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，若，則不等式的解集為（）A.B.C.D.11.過拋物線的焦點作直線與拋物線分別交于點和點，若直線與互相垂直，則的最小值為（）A.8B.16C.24D.32

12.已知圓錐的底面半徑為4，母線長為9，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）A.B.C.D.第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.一批產(chǎn)品的次品率為0.01，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次.表示抽到的次品件數(shù)，則__________.14.__________.15.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方（正方體），得兩塹堵.”如圖，在塹堵中，則異面直線與所成的角為__________.16.已知向量，若，則__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前項和.18.（12分）如圖，在四棱錐中，平面為矩形，分別是的中點.（1）證明：平面.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.19.（12分）某商場進(jìn)行有獎促銷，一次性消費5000元以上的顧客可以進(jìn)行抽獎，游戲規(guī)則如下：甲盒中裝有2個紅球和3個白球，乙盒中裝有3個紅球和2個白球，先從甲盒中一次性取兩個球，若兩球同色獎勵100元購物券，不同色沒有獎勵，并將取出的兩個球（不管是否同色）放入乙盒中；再從乙盒中一次性取出兩個球，若兩球同色再獎勵100元購物券，不同色沒有獎勵，并將取出的兩個球（不管是否同色）放入甲盒；若前兩次都沒有獲得獎勵可再獲得一次抽獎機會，從甲?乙兩盒中各取一個球，若兩球同色獎勵100元購物券，不同色沒有獎勵，抽獎結(jié)束.已知顧客獲得了抽獎機會.（1）求顧客獲得200元購物券的概率；（2）試判斷顧客獲得多少元購物券的概率最大.20.（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21.（12分）設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，且焦距為4，點在雙曲線C上.（1）求雙曲線的方程；（2）已知是直線上一點，直線交雙曲線于兩點（在第一象限），為坐標(biāo)原點，過點作直線的平行線與直線交于點，與軸交于點，證明：為線段的中點.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上一點到直線的距離的最大值.23.[選修：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積為6，求.2023~2024學(xué)年度安康市高三年級第一次質(zhì)量聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案（理科）1.D因為，所以.當(dāng)時，，此時，舍去；當(dāng)時，，此時，符合題意.2.C因為，所以故.3.A作出可行域（圖略），當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最小值，最小值為-12.4.B因為，所以.5.A.6.C因為的最大值為，所以.因為，由橢圓定義得，即，所以.因為，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.7.A因為，且，所以，整理得，故.8.C因為，所以的最小正周期是，最小值為.9.D因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值點為-1.10.A因為為奇函數(shù)，且，所以.因為單調(diào)遞增，所以不等式等價于，故.11.D設(shè)直線與的斜率分別為，則，聯(lián)立方程組消去并整理得，設(shè)，則，，同理，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為32.12.B圓錐內(nèi)半徑最大的球為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，該圓錐的母線長，底面半徑4，則高.記該內(nèi)切球與母線切于點，則.在Rt中，，即，解得，故所求球的表面積為.注：也可用三角形的內(nèi)切圓半徑公式計算，在中，8，高，則，所以，故所求球的表面積為.13.0.99因為，所以.14.因為，所以.15.由題意知斬堵為半個正方體，連接，則.因為，所以平面，所以，所以異面直線與所成的角為.16.因為，所以可設(shè).因為，所以.因為，所以，得，所以，故.17.解：（1）設(shè)的公比為，因為，所以，即，解得或.因為，所以，故.（2）由（1）知，所以.18.（1）證明：取的中點，連接.因為分別是的中點，所以.因為分別是的中點，且為矩形，所以.因為，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）解：由題意易知，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因為，所以，.設(shè)平面的法向量為，因為，所以令，得.取平面的一個法向量為，因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.解：（1）記顧客獲得200元購物券為事件，即前兩次取的球都同色，所以顧客獲得200元購物券的概率（2）顧客獲得購物券的金額可能為0元，100元，200元.記顧客獲得0元購物券為事件，即前兩次取的球均不同色，第三次取的球仍不同色，，所以顧客獲得100元購物券的概率為，所以顧客獲得100元購物券的概率最大.20.解：（1）.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得或，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得或，令，得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），即，整理得因為，所以.令.因為，所以在上單調(diào)遞減.因為，所以，所以.因為，所以.令，則.令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以所以，即實數(shù)的取值范圍是.21.（1）解：因為焦距為4，所以.將點代入的方程中，得.因為，解得，所以雙曲線的方程為.（2）證明：由（1）知，的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則.聯(lián)立方程組得.設(shè)，則.因為，所以直線的方程為.直線的方程為，聯(lián)立方程組得，由兩式相除，得，則，所以.因為，所以，故為線段的中點.22.解：（1）因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以