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4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.二項(xiàng)式定理
(1)共有n+1項(xiàng).(2)各項(xiàng)里a的指數(shù)從n起依次減小1,直到0為止;b的指數(shù)從0起依次增加1,直到n為止.每一項(xiàng)里a、b的指數(shù)和均為n.2.二項(xiàng)展開式有以下特征:知識(shí)回顧3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)4.組合數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)知識(shí)回顧1.觀察楊輝三角發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的層次;2.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用,達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平一的層次;環(huán)節(jié)一二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角思考1:前面我們學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理,你能把當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí),計(jì)算(a+b)n
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表嗎?
思考2:觀察上表,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)111212131331414641515101051616152015611、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角(a+b)2111211331
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1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6為了方便觀察,我們把表格整理成如下格式:上表叫作二項(xiàng)式系數(shù)表,歷史上也稱為楊輝三角每行兩端都是1;除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上"的兩個(gè)數(shù)之和.1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角
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1615201561(a+b)4(a+b)5(a+b)6思考2:你能把三個(gè)藍(lán)色圈圈的二項(xiàng)式系數(shù)寫出來嗎?你得到了什么?
1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角(a+b)2111211331
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1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6思考3:你還發(fā)現(xiàn)了每一行的數(shù)字有什么特點(diǎn)每行數(shù)字都是對(duì)稱的;每行數(shù)字都是中間大、兩頭小.1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角(a+b)2111211331
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1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6
思考4:你發(fā)現(xiàn)了每行二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有什么特點(diǎn)?1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角(a+b)2111211331
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1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6思考5:你發(fā)現(xiàn)了每行二項(xiàng)式系數(shù)之和有什么特點(diǎn)?212223242526
1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角
①②
1、二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角思考7:如何求(2x+5y)8的二項(xiàng)式系數(shù)和、系數(shù)和呢?二項(xiàng)式系數(shù):28求系數(shù)和:令x=1和y=1,即系數(shù)和為78歸納:(a+b)n二項(xiàng)式系數(shù)和是固定的為2n(a+b)n的系數(shù)和用賦值法,一般賦值為1或-1,有時(shí)候也需要整體賦值1、在(a+b)n的展開式中,第2項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,求n的值。
2.若(x+3y)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和等于(7a+b)10展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和,求n的值解析:(7a+b)10展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210,令x=1,y=1,則由題意知,4n=210,解得n=5.二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
已知(x2-2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a20(x-1)20.(1)求a2的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a19的值;(2)令t=1,得a0+a1+a2+…+a20=310,令t=-1,得a0-a1+a2-…+a20=310,∴a1+a3+a5+…+a19=0.(3)求a0+a2+a4+…+a20的值.解∵(x2-2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a20(x-1)20,令x-1=t,展開式化為(t2-4)10=a0+a1t+a2t2+…+a20t20.(3)由(2)得a0+a2+a4+…+a20=310.
(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解答:令x=1,則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)=(1+3)n=4n,又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知,4n-2n=992,∴(2
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