2023年人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)分解因式法（教五）

2023年人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)分解因式法（精華版教五）

課時(shí)安排

1課時(shí)

從容說課

分解因式法是解某些一元二次方程較為簡便且靈活的一種特殊方法.它是把

一個(gè)一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來解.體現(xiàn)了一種“降次”的思想，這

種思想在以后處理高次方程時(shí)非常重要.

這部分內(nèi)容的基本要求是讓學(xué)生學(xué)會(huì)方法.本節(jié)的重、難點(diǎn)是利用分解因式

法來解某些一元二次方程.

由于《標(biāo)準(zhǔn)》中降低了分解因式的要求，根據(jù)學(xué)生已有的分解因式知識(shí)，學(xué)

生僅能解決形如“x（x-a）=0”“xJa2=0”的特殊一元二次方程.所以在教學(xué)中，

可以先出示一個(gè)較為簡單的方程，讓學(xué)生先各自求解，然后進(jìn)行比較與評(píng)析，發(fā)

現(xiàn)因式分解是解某些一元二次方程較為簡便的方法，從而引出分解因式法.其基

本思想和方法是：一個(gè)一元二次方程一邊是零，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因

式時(shí)，可以使每一個(gè)因式等于零，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是

原一元二次方程的解.這種思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重點(diǎn).

通過方法的比較，力求讓學(xué)生根據(jù)方程的具體特征，靈活選取適當(dāng)?shù)慕夥ǎ?/p>

從而讓學(xué)生體會(huì)解決問題的多樣性.

課題

§21.2.5分解因式法

教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.應(yīng)用分解因式法解一些一元二次方程.

2.能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法.

（二）能力訓(xùn)練要求

1.能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題

方法的多樣性.

2.會(huì)用分解因式法（提公因式法、公式

法）解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

（三）情感與價(jià)值觀要求

通過學(xué)生探討一元二次方程的解法，使他們知道分解因式法是一元二次方程

解法中應(yīng)用較為廣泛的簡便方法，它避免了復(fù)雜的計(jì)算，提高了解題速度和準(zhǔn)確

程度.再之，體會(huì)“降次”化歸的思想.

教學(xué)重點(diǎn)

應(yīng)用分解因式法解一元二次方程.

教學(xué)難點(diǎn)

形如“x-ax”的解法.

教學(xué)方法

啟發(fā)引導(dǎo)式歸納教學(xué)法.

教具準(zhǔn)備

投影片五張.

第一張：復(fù)習(xí)練習(xí)（記作投影片§2.4A）

第二張:引例（記作投影片§2.4B）

第三張；議一議（記作投影片§2.4C）

第四張：例題(記作投影片§2.4D)

第五張：想一想(記作投影片§2.4E)

教學(xué)過程

I,巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課

［師］到現(xiàn)在為止，我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的三種方法：直接開平方法、

配方法、公式法，下面同學(xué)們來做一練習(xí).(出示投影片§2.4A)

解下列方程：

(1)X2-4=0；

(2)x-3x+l=0；

(3)(X+1)2-25=0；

(4)20X2+23X-7=0.

［生］老師，解以上方程可不可以用不同的方法？

［師］可以呀.

［生甲］解方程(1)時(shí)，既可以用開平方法解，也可以用公式法來求解，就方

程的特點(diǎn)，

我采用了開平方法，即

解：X2-4=0,

移項(xiàng)，得X2=4.

兩邊同時(shí)開平方，得

x=±2.

??X］-2>X2=-2.

［生乙］解方程(2)時(shí)，既可以用配方法來解，也可以用公式法來解，我采用

了公式法，即

解：這里a=l,b=-3,c=l.

b-4ac=(-3)-4XlXl

=5>0,

.3+V53-V5

..Xi=-----，x=------

222

［師］乙同學(xué)，你在解方程(2)時(shí)，為什么選用公式法，而不選配方法呢?

［生乙］我覺得配方法不如公式法簡便.

［師］同學(xué)們的意見呢？

［生齊聲］同意乙同學(xué)的意見.

［師］很好，繼續(xù).

［生丙］解方程(3)時(shí)，可以把(x+1)當(dāng)作整體，這時(shí)用開平方法簡便，即

解：移項(xiàng)，得(x+l)z=25.

兩邊同時(shí)開平方，得

x+l=±5,

即x+1=5,x+l=-5.

Xi=4,X2=-6

［生?。萁夥匠?4)時(shí)，我用的公式法求解，即

解：這里a=20,b=23,c=~7,

b-4ac=23-4X20X(-7)=1089>0,

.-23±V1W-23±33

..x=----------=-------.

2x2040

.17

..x產(chǎn)一x=--.

425

［師］很好，由此我們知道：在己經(jīng)學(xué)習(xí)的解一元二次方程的三種方法一一直

接開平方法、配方法、公式法中，直接開平方法只能解某些特殊形式的方程，配

方法不如公式法簡便.因此，大家選用的方法主要是直接開平方法和公式法.

公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的適用性，即可以解任何一個(gè)一元

二次方程.

用公式法解一元二次方程，首先要把方程化為一般形式，從而正確地確定a、

b、c的值；其次，通常應(yīng)先計(jì)算b?-4ac的值，然后求解.

一元二次方程是不是只有這三種解法呢?有沒有其他的方法?今天我們就來

進(jìn)一步探討一元二次方程的解法.

II.講授新課

［師］下面我們來看一個(gè)題.（出示投影片§2.4B）

一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果相等，這個(gè)數(shù)是幾?你是怎

樣求出來的？

［師］大家先獨(dú)自求解，然后分組進(jìn)行討論、交流.

［生甲］解這個(gè)題時(shí)，我先設(shè)這個(gè)數(shù)為x,根據(jù)題意，可得方程

X2=3X.

然后我用公式法來求解的.

解：由方程d=3x,得

x'-3x=0.

這里a=l,b=-3,c=0.

b2-4ac=(-3)-4XlX0

=9>0.

即

Xi=3,x2=0.

因此這個(gè)數(shù)是0或3.

［生乙］我也設(shè)這個(gè)數(shù)為x,同樣列出方程x?=3x.

解：把方程兩邊同時(shí)約去x,得x=3.

所以這個(gè)數(shù)應(yīng)該是3.

［生丙］乙同學(xué)做錯(cuò)了，因?yàn)?的平方是0,0的3倍也是0.根據(jù)題意可知，

這個(gè)數(shù)也可以是0.

［師］對，這說明乙同學(xué)在進(jìn)行同解變形時(shí)，進(jìn)行的是非同解變形，因此丟掉

了一個(gè)根.大家在解方程的時(shí)候，需要注意：利用同解原理變形方程時(shí)，在方程

兩邊同時(shí)乘以或除以的數(shù)，必須保證它不等于0,否則，變形就會(huì)錯(cuò)誤.

這個(gè)方程還有沒有其他的解法呢？

［生?。菸野逊匠袒癁橐话阈问胶螅l(fā)現(xiàn)這個(gè)等式的左邊有公因式x,這時(shí)可

把x提

出來，左邊即為兩項(xiàng)的乘積.前面我們知道：兩個(gè)因式的乘積等于0,則這兩個(gè)

因式為零，

這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時(shí)，方程即可解.

解：x'3x=0,

x(x-3)=0,

于是x=0,x-3=0.

??Xj=0,X2=3

因此這個(gè)數(shù)是0或3.

［師］噢，這樣也可以解一元二次方程，同學(xué)們想一想，行嗎？

［生齊聲］行.

［師］丁同學(xué)應(yīng)用的是：如果aXb=O,那么a=0,b=0,大家想一想，議一

議.(出示投影片§2.4C)

aXb=O時(shí)，a=0和b=0可同時(shí)成立，那么x(x-3)=0時(shí)，x=0和x-3=0也能同

時(shí)成立嗎？

［生齊聲］不行.

［師］那該如何表示呢？

［師］好，這時(shí)我們可這樣表示：

如果aXb=0,

那么a=0或b=0

這就是說：當(dāng)一個(gè)一元二次方程降為兩個(gè)一元一次方程時(shí)，這兩個(gè)一元一次

方程中間用的是“或”，而不用“且”.

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時(shí)，中間應(yīng)寫上“或”字.

我們再來看丁同學(xué)解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?,而另一

邊可以分解成兩個(gè)因式的乘積，然后利用aXb=0,則a=0或b=0,把一元二次

方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，從而求出方程的?我們把這種解一元二次方程的方法

稱為分解因式法，即當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次

因式的乘積時(shí)，我們就采用分解因式法來解一元二次方程.

因式分解法的理論根據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因式至少

有一個(gè)等于零.如：若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0；反之，若x+2

=0或x-3=0,則一定有(x+2)(x-3)=0.這就是說，解方程(x+2)(x-3)=0就相

當(dāng)于解方程x+2=0或x-3=0.

接下來我們看一例題.(出示投影片§2.4D)

［例題］解下列方程：

(1)5X2=4X；(2)x-2=x(x-2).

［師］同學(xué)們能獨(dú)自做出來嗎？

［生］能.

［師］好，開始.

［生甲］解方程(1)時(shí)，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解.

解：原方程可變形為

5x?-4x=0,

x(5x-4)=0,

x=0或5x-4=0.

?n4

?.Xi=0,x2=—.

5

［生乙］解方程(2)時(shí)，因?yàn)榉匠痰淖?、右兩邊都?x-2),所以可把(x-2)看

作整體，然后移項(xiàng)，再分解因式求解.

解：原方程可變形為

x-2-x(x-2)=0,

(x-2)(1-x)=0,

x-2=0或l-x=0.

?*X|=2>X2=l.

［生丙］老師，解方程(2)時(shí)，能否將原方程展開后，再求解呢？

［師］能呀，只不過這樣的話會(huì)復(fù)雜一些，不如把(x-2)當(dāng)作整體簡便.

下面同學(xué)們來想一想，做一做.(出示投影片§2.4E)

你能用分解因式法解方程x2-4=0,(X+1)2-25=0嗎？

［生?。莘匠蘹2-4=0的右邊是0,左邊X2-4可分解因式，即X2-4=(X-2)(X+2).這

樣，方程x2-4=0就可以用分解因式法來解，即

解：x2-4=0,

(x+2)(x-2)=0,

.,.x+2=0或x-2=0.

.".Xi=-2,X2=2.

［生戊］方程(x+l”-25=0的右邊是0,左邊(X+1)2-25,可以把(x+1)看作整

體，這樣左邊就是一個(gè)平方差，利用平方差公式即可分解因式，從而求出方程的

解,即

解：(X+1)2-25=0,

［(x+D+5］［(x+l)-5］=0.

，(x+1)+5=0,

或(x+l)-5=0.

/.Xi=-6,X2=4.

［師］好，這兩個(gè)題實(shí)際上我們在剛上課時(shí)解過，當(dāng)時(shí)我們用的是開平方法，

現(xiàn)在用的是因式分解法.由此可知：一個(gè)一元二次方程的解法可能有多種，我們

在選用時(shí)，以簡便為主.

好，下面我們通過練習(xí)來鞏固一元二次方程的解法.

in.課堂練習(xí)

(一)課本P6I隨堂練習(xí)1、2

1.解下列方程：

(1)(x+2)(X-4)=0；

(2)4x(2x+l)=3(2x+l).

解：(1)由(x+2)(x-4)=0得

x+2=0或x-4=0o

/.Xi=-2,X2=4.

(2)原方程可變形為

4x(2x+l)-3(2x+l)=0,

(2x+l)(4x_3)=0,

/.2x+l=0或4x-3=0.

.__1_3

?*Xj——,X2---?

24

2.一個(gè)數(shù)的平方的2倍等于這個(gè)數(shù)的7倍，求這個(gè)數(shù).

解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,根據(jù)題意，得

2x'=7x,

2x-7x=0,

x(2x-7)=0.

/.x=0或2x-7=0.

.?.Xi=n0,x=—7.

22

因此這個(gè)數(shù)等于0或1.

2

（二）閱讀課本P59?P.,然后小結(jié).

IV.課時(shí)小結(jié)

我們這節(jié)課又學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法一一因式分解法.它是一元二次方

程解法中應(yīng)用較為廣泛的簡便方法.

V.課后作業(yè)

(一)課本P6I習(xí)題2.71

(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：P62~PM

2.預(yù)習(xí)提綱

如何列方程解應(yīng)用題.

VI.活動(dòng)與探究

1.用分解因式法解:(x-1)(x+3)=12.

［過程］通過學(xué)生對這個(gè)題的探討、研究來提高學(xué)生的解題能力，養(yǎng)成良好的

思考問題的習(xí)慣.

［結(jié)果］

1.解:(x-1)(x+3)=12.

x~+2x-3=12,

X2+2X-15=0,

(x+5)(x-3)=0.

.,.x+5=0或x-3=0.

/.