量子力學考研2021量子力學導論考研真題解析

量子力學考研2021量子力學導論考研真題解析考研真題解析0粒子在勢場（，）中運動，試用不確定關系估計基態(tài)能量。[中國科學院2006研]【解題思路】利用不確定關系求解哈密頓量的最小值問題?！窘馕觥扛鶕?jù)不確定原理有即因為所以只需要求解出的最小值就可以估計基態(tài)的能量。令由得出所以基態(tài)能量為【知識儲備】若[F，G]＝0，則算符F和G有共同的本征函數(shù)系；其逆定理也成立。對易算符的性質：在F和G的共同本征函數(shù)系中測量F和G，都有確定值。若[F，G]≠0，則有不確定關系或經常使用的關系式21設粒子所處的外場均勻但與時間有關，即，與坐標r無關，試將體系的含時薛定諤方程分離變量，求方程解的一般形式，并取，以一維情況為例說明V（t）的影響是什么。[中國科學院2006研]【解題思路】理解記憶含時薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程，以及分離變量法在求解薛定諤方程時的應用?！窘馕觥扛鶕?jù)含時薛定諤方程令帶入可得即上式左邊是關于時間t的函數(shù)，右邊是關于坐標r的函數(shù)，因此令它們等于常數(shù)s，得和所以對于令所以因此當時，相對于一維自由平面波函數(shù)，使得波函數(shù)是自由平面波隨時間做改變的形式。【知識儲備】薛定諤方程：波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由含時薛定諤方程給出當U（，t）與t無關時，可以利用分離變量法，將時間部分的函數(shù)和空間部分的函數(shù)分開考慮，y（）滿足定態(tài)薛定諤方程此方程即是能量算符的本征方程。其中，整個定態(tài)波函數(shù)的形式為一般情況下，若所求解能量的本征值是不連續(xù)的，則最后的波函數(shù)寫成各個能量定態(tài)波函數(shù)的求和形式；如果能量是連續(xù)值，則相應的寫成積分形式。【拓展發(fā)散】當粒子所處的外場與時間和位置坐標都有關，即，可以利用題解相同的方式去探索波函數(shù)的具體形式，并且和定態(tài)以及只與時間有關的兩種情形相比較，得出在這些不同情況下相應的勢場函數(shù)的具體形式變化對波函數(shù)的影響。22設U為幺正算符，若存在兩個厄米算符A和B，使U＝A＋iB，試證：（1）A2＋B2＝1，且；（2）進一步再證明U可以表示成，H為厄米算符。[中國科學院2006研]【解題思路】理解厄米算符和幺正算符的定義和物理含義，并注意辨析它們之間的區(qū)別，不要混淆?！窘馕觥浚?）因為U為幺正算符，所以和，由可得由可得因此（2）因為，所以算符A和算符B有共同的本征函數(shù)，即，。因為所以即所以其中，。【知識儲備】①幺正算符S＋＝S－1②厄米算符23粒子在一維無限深方勢阱中運動，受到微擾的作用，求第n個能級的一級近似，并分析所得結果的適用條件。[中國科學院2006研]【解題思路】對于在一維無限深方勢阱中運動的粒子，可以通過定態(tài)薛定諤方程求解本征值和本征波函數(shù)，而在受到微擾后，可以直接利用定態(tài)非簡并微擾理論求解修正的能量和波函數(shù)。【解析】在一維無限深方勢阱中運動的粒子受到的勢能函數(shù)為所以利用定態(tài)薛定諤方程可得對應的本征波函數(shù)和本征值分別為當粒子受到微擾時，利用定態(tài)非簡并微擾理可得一級修正為相應的適用條件所以【知識儲備】①一維無限深方勢阱若勢能滿足在阱內（|x|＜a），體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是在阱外（|x|＞a），定態(tài)薛定諤方程是體系的能量本征值本征函數(shù)②定態(tài)非簡并微擾理論微擾作用下的哈密頓量H＝H0＋H′第n個能級的近似表示波函數(shù)的近似表示適用條件【拓展發(fā)散】在同樣的物理模型和情形下，改變微擾的具體形式，可以用同樣方式求解修正的能量和波函數(shù)，如果微擾是含時微擾，則可以用含時微擾理論求解躍遷幾率。24粒子以能量E入射一維方勢壘，，設能量，求透射系數(shù)T。[中國科學院2006研]【解題思路】對于已知勢場具體表達式的情況，明顯利用薛定諤方程求解本征波函數(shù)和本征值，在勢壘存在時，根據(jù)透射系數(shù)和反射系數(shù)的定義式求解相應的結果?！窘馕觥繉τ谌肷湟痪S方勢壘的粒子，由定態(tài)薛定諤方程可得當x＜0時，令得當時，令得當x＞a時，令得由波函數(shù)在x＝0處的連續(xù)性可得1＋B＝C1＋C2由波函數(shù)在x＝0處的導數(shù)連續(xù)性可得由波函數(shù)在x＝a處的連續(xù)性可得由波函數(shù)在x＝a處的導數(shù)連續(xù)性可得整理可得透射系數(shù)為【知識儲備】①定態(tài)薛定諤方程②方形勢壘在量子力學中，與經典物理顯著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越過勢壘，但也有可能被反射回來；而能量E小于U0的粒子有可能被勢壘反射回來，但也有可能貫穿勢壘而運動到勢壘右邊x＞a的區(qū)域中去。當E＞U0，透射系數(shù)D表示貫穿到x＞a區(qū)域的粒子在單位時間內流過垂直于x方向的單位面積的數(shù)目，與入射粒子（在x＜0區(qū)域）單位時間內流過垂直于x方向的單位面積的數(shù)目之比。反射系數(shù)R表示反射波概率流密度與入射波概率流密度之比。有R＋D＝1，D和R都小于1。這說明入射粒子一部分貫穿勢壘到x＞a區(qū)域，另一部分被勢壘反射回去?！就卣拱l(fā)散】對于粒子入射方勢壘的物理模型，分別假設E＞V和E＜V的情形，對比兩種情況得出的結果的異同點，并且和經典物理相比較，分析量子力學和經典物理在粒子入射方勢壘的物理模型中所表現(xiàn)的差異，再對一些參量作極限考慮，由量子力學可以過渡到經典物理，以此可以判斷量子力學和經典物理不是完全分割的，它們有密不可分的關系。25各向同性的三維諧振子哈密頓算符為，加上微擾后，求第一激發(fā)態(tài)的一級能量修正。[中國科學院2006研]【解題思路】在量子力學中，諧振子模型是可解模型之一，也是在不同物理科研領域應用最廣的模型，對于各向同性的三維諧振子，可以利用定態(tài)薛定諤方程求解本征波函數(shù)和本征值，加上微擾，分析微擾的表達式，可知x，y，z三個方向是等效的，因此在求解能量修正時，可以利用積分函數(shù)的對稱性來簡化相關計算?！窘馕觥繉τ诟飨蛲缘娜S諧振子，利用定態(tài)薛定諤方程可得求解可得本征波函數(shù)為本征值為其中并且，因此，各向同性的三維諧振子的第一激發(fā)態(tài)為或者或者所以第一激發(fā)態(tài)是三重簡并的，相應的波函數(shù)為當加上微擾可以利用定態(tài)簡并微擾理論久期方程為對應的矩陣形式為利用積分函數(shù)的對稱性可得求解可得第一激發(fā)態(tài)的一級修正為【知識儲備】①一維線性諧振子勢能滿足方程本征值振子的基態(tài)（n＝0）能量，零點能本征函數(shù)其中②簡并定態(tài)微擾能級的一級修正由久期方程給出，即有fk個實根，記為，α＝1，2，…，fk。分別把每一個根代入方程即可求得相應的解，記為aαv。于是可得出新的零級波函數(shù)相應的能量為上面所求解的一級修正能量如果都不相同，則簡并完全消除；如果有部分相同，則還需要求解更高階的修正?！就卣拱l(fā)散】改變微擾哈密頓量形式為，或者把微擾哈密頓量變成不對稱的形式，增加計算難度。26計算一維諧振子基態(tài)中的不確定度乘積＝？[中國科學技術大學2012研]【解題思路】對于坐標和動量算符力學量的漲落，可以通過升降算符的方式，比較簡單的求解它們的平均值?！窘馕觥繉τ谝痪S諧振子，設能量的本征態(tài)為，相應的能量本征值為。算符，與升降算符之間的關系為其中對于體系基態(tài)，相關的平均值為：所以最終得到【知識儲備】升算符（也稱產生算符）降算符（也稱湮滅算符）它們滿足下列關系粒子湮滅算符滿足粒子產生算符滿足27自旋為1/2，磁矩為μ，電荷為零的粒子置于磁場中，t＝0時磁場為，粒子處在的本征值為-1的本征態(tài)，設在t＞0時，再加上弱磁場，求t＞0時的波函數(shù)，以及測到自旋反轉的概率。[中國科學院2006研]【解題思路】在原置于磁場中的零電荷的粒子上，加載一個恒定的弱磁場，可以利用含時微擾理論，求解粒子自旋狀態(tài)的反轉概率?！窘馕觥吭趖＝0時，粒子在磁場中的哈密頓量為粒子的處在本征態(tài)上，則相應的能量為在t＞0時，粒子受到弱磁場的微擾，其相應的微擾哈密頓量為粒子的初態(tài)為，粒子狀態(tài)反轉，其末態(tài)為。根據(jù)含時微擾理論可得相應的躍遷概率為其中其中體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為相應的矩陣元為并且因此所以自旋反轉的概率為【知識儲備】①自旋為1/2粒子在磁場中的作用勢為，其中為磁矩。②含時微擾理論含時微擾體系哈密頓量（t）＝0＋′（t）體系波函數(shù)ψ所滿足的薛定諤方程為將ψ按0的本征函數(shù)fn展開得則在t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于fm態(tài)的概率是|am（t）|2。若體系在t＝0時處于0的本征態(tài)fk，則體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為相應的躍遷概率為【拓展發(fā)散】粒子帶上電荷，改變微擾的形式，在原有磁場的基礎上加一個周期性脈沖的磁場，形成類似拉比震蕩的模式。28粒子