13.4 最短路徑問題（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步配套教學(xué)講義與重難點(diǎn)突破（人教版）13.4最短路徑問題理解和掌握最短路徑的作圖方法，能夠運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求得最短路徑；1.求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求。如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA+CB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)。2.求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求。如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA+CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',則點(diǎn)C是直線l與A為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C',連接AC',B證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B'關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB因?yàn)辄c(diǎn)C與C'在直線l上，所以在△AB'C'中，AB'<A如圖，在中，，是的一條角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，若，，那么線段的最小值是（

）A． B．5 C．4 D．6【答案】A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，此時(shí)，即的最小值，利用面積法可求出的值，即的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，

，是的一條角平分線，點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，，，此時(shí)的最小值，，，，，，的最小值為．故選A．1．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的和最小時(shí)，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，則的長(zhǎng)度即為與和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，與交于點(diǎn)P，∵是等邊三角形，，∴，∴，即就是的最小值，∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．2．如圖，中，，，平分，如果、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，進(jìn)而得到，利用面積法求出，由此得到的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，∴，∴，∵中，，，，∵，∴，∴，即的最小值是故選D．一、單選題1．如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)，直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接，，則的周長(zhǎng)的最小值是（

）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】連接，由得到是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)及的面積為12得到，，由直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，由是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)得到，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值等于為的長(zhǎng)，即可得到的周長(zhǎng)最小值為【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴是等腰三角形，∵，于點(diǎn)D，的面積為12，∴，,∴，∵直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∵是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值等于為的長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)為，即的周長(zhǎng)的最小值是7．故選：B．2．如圖，在中，的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)、，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是以下哪條線段的長(zhǎng)度（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到當(dāng)時(shí)，的值最小，即的值最小，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，是線段的垂直平分線，，，的最小值的最小值，，當(dāng)時(shí)，的值最小，即的值最小，的最小值是線段的長(zhǎng)度，故選：C．

3．如圖，邊長(zhǎng)為的等邊中，是上中線且，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進(jìn)而作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于E，此時(shí)的值最小，最后依據(jù)周長(zhǎng)的最小值求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，

∵都是等邊三角形，∴∴∴∴∵∴∴點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)()，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于，此時(shí)的值最小，∵∴是等邊三角形，∴∵∴∴周長(zhǎng)的最小值．故選：B．4．如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點(diǎn)E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點(diǎn)F．點(diǎn)P是線段CF上一動(dòng)點(diǎn)，則EP＋AP的最小值為（）A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值是，問題得解．【詳解】解：連接，平分交于點(diǎn)，，，，，且，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值是，，的最小值為7．故選：

5．如圖，在中，，，是的兩條中線，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于最小值的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出Q、M、C共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖連接

，是的兩條中線，Q、M、C共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)度故選D．6．如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，即可得出，即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，∴，，∴，，則即為的周長(zhǎng)最小值，，，，，，，，故選：D．7．如圖，，，分別是邊，上的定點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．8．如圖，點(diǎn)在等邊的邊上，，射線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的值最小，利用所對(duì)直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，∴，,∴，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．二、填空題9．如圖，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，證明即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，

，，，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故答案為：．10．如圖，，點(diǎn)M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積最小值為．【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，的面積最小，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，

，且，，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：．11．如圖，在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的最小值等于．【答案】3【分析】根據(jù)是的平分線確定出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)作于交于，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)即為使最小的點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，利用三角形的面積求出，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得，從而得解．【詳解】解：如圖，過作于交于，

則，是的平分線，，，，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，過點(diǎn)作于交于，由軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)即為使最小的點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，，，，解得，是的平分線，與關(guān)于對(duì)稱，，是等腰三角形，，即的最小值是3．故答案為：3．12．如圖，在中，，，，點(diǎn)D為斜邊上任意一點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）的最小值為．【答案】3【分析】（1）先由直角三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可求得，從而求得，然后由軸對(duì)稱的性質(zhì)可求解；（2）點(diǎn)D在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是以C為圓，長(zhǎng)為半徑的半圓弧，所以當(dāng)點(diǎn)在與半圓的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最小，由可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，如圖，∵在中，，，∴，，∵∴，∴，∴，∵點(diǎn)B關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)∴，故答案為：3；（2）點(diǎn)D在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是以C為圓，長(zhǎng)為半徑的半圓弧，所以當(dāng)點(diǎn)在與半圓的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最小，∴，故答案為：三、解答題13．如圖，欲在河邊上建一個(gè)水泵站，使到張莊、李莊所用水管最短．試用尺規(guī)作圖法確定水泵站的修建位置（不寫作法，但須保留清晰的作圖痕跡）【分析】作點(diǎn)關(guān)于小河的對(duì)稱點(diǎn)，連接與小河的交點(diǎn)，即為所求．【詳解】解：如圖所示：14．如圖，在中，，，，，是的平分線，若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】【分析】在上截取，連接，，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及最短路徑結(jié)合面積法即可得出答案．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，

是的平分線，在與中點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，連接，與交于點(diǎn)，連接，此時(shí)，是動(dòng)點(diǎn)，也是動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與垂直時(shí)，最小，即最?。藭r(shí)，由面積法得．15．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．(1)作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；(2)點(diǎn)P在直線上，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，僅用無(wú)刻度的直尺在直線上作出點(diǎn)P的位置．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；（2）連接交直線于點(diǎn)，即可使周長(zhǎng)最?。驹斀狻浚?）解：如圖，即為所求；

（2）∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)最?。c(diǎn)即為所求．16．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)．(1)在圖中作出關(guān)于直線的對(duì)稱圖形．(2)求的面積．(3)在直線上找一點(diǎn)P，使得的值最?。敬鸢浮?1)見解析(2)(3)畫圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出、的對(duì)稱點(diǎn)即可；（2）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形三角形的面積去計(jì)算的面積；（3）連接交于點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得到此時(shí)的值最小，然后利用勾股定理計(jì)算出得到這個(gè)最小值．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

（2）的面積；（3）如圖，點(diǎn)為所作，，此時(shí)的值最?。?7．如圖，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，在上取點(diǎn)，使得，結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)推出，確定三點(diǎn)共線且垂直于時(shí)，取得最小值，結(jié)合面積進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線，且時(shí)，取得最小值，此時(shí)，如圖所示，

由對(duì)稱的性質(zhì)，，∵取得最小值時(shí)，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當(dāng)時(shí)，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，．18．如