拓展01 三角形翻折問(wèn)題的分類訓(xùn)練（6種類型）（解析版）

拓展01三角形翻折分類訓(xùn)練（6種類型）類型一頂點(diǎn)落在內(nèi)部1．如圖，把一張三角形紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部時(shí)，∠A、∠1、∠2之間的關(guān)系是()A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝∠1＋∠2 D．4∠A＝∠1＋∠2【答案】B【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．需要注意的是弄清圖中角與角之間的關(guān)系列出方程以及三角形內(nèi)角和為180°來(lái)求解．【詳解】解：∵在△ADE中：∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠A=180°－∠ADE－∠AED，由折疊的性質(zhì)得：∠1+2∠ADE=180°，∠2+2∠AED=180°，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=360°，∴∠1+∠2=360°－2∠ADE－2∠AED=2（180°－∠ADE－∠AED）=2∠A，∴2∠A=∠1+∠2．即當(dāng)△ABC的紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)部時(shí)2∠A=∠1+∠2這種數(shù)量關(guān)系始終保持不變．故選B．【點(diǎn)睛】本題需要認(rèn)真讀圖，找出圖中的各角之間的關(guān)系列出等式即可求解．注意弄清折疊后∠1+2∠ADE=180°，∠2+2∠AED=180°的關(guān)系，解答此題時(shí)要注意∠A落在四邊形BCED內(nèi)部時(shí)這種關(guān)系才能存在．2．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACBA．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【分析】連接AA'，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC，再根據(jù)∠1=∠DAA'+∠D【詳解】解：如圖，連接AA∵∠BA∴∠A∵BA'平分∠ABC，CA∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°-140°=40°，∵∠1=∠DAA'+∠D∵∠DAA'=∠D∴∠1+∠2=2∠BAC=80°，∴BA'平分∠ABC，CA∴AA'平分∴∠DAA∵∠1=40°，∴∠ADE=180°-∠1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．3．如圖，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】如圖延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C′，連接CC′．首先證明∠1+∠2=2∠AC′B，求出∠AC′B即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C′,連接CC′.在△ABC′中,∠AC′B=180°?65°?75°=40°，∵∠ECF=∠AC′B=40°,∠1=∠ECC′+∠EC′C,∠2=∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2=∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C=2∠AC′B=80°，∵∠1=20°，∴∠2=60°，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理.能通過(guò)三角形的外角定理得到∠1+∠2=2∠AC′B是解決此題的關(guān)鍵.4．如圖所示，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若∠A=70°，則A．140 B．130 C．110 D．70【答案】A【分析】利用∠1所在平角∠AEC上與∠2所在平角∠ADB上出發(fā)，利用兩個(gè)平角的和減去多余的角，就能得到∠1+∠2的和，多余的角需要可以看作2∠AED+2∠ADE，因?yàn)椤螦=70°所以∠AED+∠ADE=180°-70°=110°，所以∠1+∠2=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-220°=140°【詳解】∠AED+∠ADE=180°-70°=110°,∠1+∠2=∠AEC+∠ADB-2∠AED-2∠ADE=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-220°=140°【點(diǎn)睛】本題主要考查角度之間的轉(zhuǎn)化，將需要求的角與已知聯(lián)系起來(lái)類型二頂點(diǎn)落在邊上5．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的E處．若∠A=23°，則∠BDC等于（）A．46° B．60° C．68° D．77°【答案】C【分析】由翻折可知CD平分∠ACB，進(jìn)而得出∠ACD=45°，然后利用三角形的外角定理求解即可；【詳解】解：由題可知：△CED≌△CBD∴∠BCD=∠ACD=1在△ACD中∠BDC=∠A+∠ACD=23°+45°=68°故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的翻折、三角形的外角定理；掌握翻折的特點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠ACB=88°，∠A=32°，D是AB上一點(diǎn)，將△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B'處，則∠ADA．40° B．28° C．55° D．38°【答案】B【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)求出∠CB'D的度數(shù)，最后利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出【詳解】解：在△ABC中，∵∠ACB=88°，∠A=32°，∴∠B=180°-∠ACB-∠A=60°．∵△ABC沿CD折疊，B點(diǎn)落在AC邊上的B'∴△BCD?△B′CD．∴∠CB'∵∠CB'D∴∠ADB'=∠CB=60°-32°=28°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及其推論、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”“折疊前后的兩個(gè)圖形全等”是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處．若∠A=22°，則∠EDA等于(

)A．46° B．56° C．36° D．77°【答案】A【分析】由ΔABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)可得：∠CED=∠B=68°，由三角形外角的性質(zhì)，可求得∠EDA的度數(shù)．【詳解】解：ΔABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°-∠A=68°，由折疊的性質(zhì)可得：∠CED=∠B=68°，∴∠EDA=∠CED-∠A=46°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，將△BDC沿CD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，若∠ADB′＝20°，則∠A的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．40°【答案】C【分析】利用翻折不變性得∠CB'D=∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠B=90°，再利用三角形外角的性質(zhì)∠CB'D=∠A+∠ADB'=∠A+20°即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵△CDB'是由△CDB翻折得到，∴∠CB'D=∠B，∵∠CB'D=∠A+∠ADB'=∠A+20°，∴∠A+∠A+20°=90°，解得∠A=35°.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．類型三頂點(diǎn)落在外部9．如圖，∠BAC＝32°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在∠BAC外部的點(diǎn)A'處，若∠1＝106°，則∠2的度數(shù)為（

）A．34° B．37° C．40° D．42°【答案】D【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠A'DA=74°，再由折疊的性質(zhì)求出∠ADE=37°，利用三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE【詳解】解：∵∠1=106°，∴∠A由折疊的性質(zhì)可得∠A'DE=∠ADE∴∠A∵∠BAC=32°，∴∠CED=∠BAC+∠ADE=69°，∴∠A∴∠2=∠A故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時(shí)，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A=∠A'，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到∠1=∠DOA+∠A【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠A=∠A在△AOD中，∠1=∠DOA+∠A，在△A'OE∴∠1=∠A'+∠2+∠A故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)把角與角之間聯(lián)系起來(lái)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDAA．θ=2α+γ B．θ+α+γ=180°C．90°+γ2=β【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',【詳解】解：如圖，由折疊得，∠A=∠∵∠BD又∠A=α,∠CE∴∠BDA'=θ=α+α+β=2α+β,無(wú)法得到θ+α+γ=180°，故選項(xiàng)B符合題意；由折疊得，∠AED=∠又∠A∴∠DEF=∠DEA∵∠AED+∠DEF=180°∴β+β-γ=180°,∴90°+γ2=β由折疊得，∠ADE=∠EDF=∵∠A+∠ADE+∠AED=180°∴α+90°-θ∴α+β=90°+θ2，故選項(xiàng)故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)的，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．12．如圖，把紙△ABC的∠A沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形CBDE外，則∠1,∠2與∠A的關(guān)系是（

）A．∠2-∠1=2∠A B．∠2-∠A=2∠1C．∠1+∠2=2∠A D．∠1+∠A=2∠2【答案】A【分析】如圖，分別延長(zhǎng)CE、BD交于A'點(diǎn)，然后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可以得到∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，而根據(jù)折疊可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，然后利用等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖：分別延長(zhǎng)CE、BD交于A'點(diǎn)，∴∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，而根據(jù)折疊可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，∴∠2﹣∠1=2（∠EAA'﹣∠DAA'）=2∠EAD．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊與拼接，同時(shí)考查了三角形外角的性質(zhì)等幾何基本知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)分別對(duì)每一個(gè)圖形進(jìn)行仔細(xì)分析，難度不大．類型四多個(gè)角翻折落于一點(diǎn)13．如圖，E是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，D、F分別是AC、BC上一點(diǎn)，將△ABC分別沿DE、EF翻折，頂點(diǎn)A、B均落在點(diǎn)

【答案】38°/38度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DOE=∠DAE，∠EOF=∠EBF，根據(jù)已知條件可得【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得∠DOE=∠DAE，∵∠DOF=142°，∴∠DOE+∠EOF=142°，∴∠DAE+∠EBF=142°，∴∠DAE+∠EBF=142°，∴∠C=180°-∠DAE-∠EBF=38°，故答案為：38°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知圖形折疊前后對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，將△ABC沿DE，HG，EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，若∠1=131°，則∠2的度數(shù)為．

【答案】49°/49度【分析】根據(jù)翻折變換前后對(duì)應(yīng)角不變，可得∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DOE+∠HOG+∠EOF=180°，然后即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：由折疊得：∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∴∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+∠C=180°，∴∠2=360°-∠1-∠HOG+∠EOF+∠DOE故答案為：49°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)已知得出∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+∠C=180°是解題的關(guān)鍵．15．如圖，將△ABC沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，若∠1=129°，則∠2的度數(shù)為．【答案】51°或51度【分析】根據(jù)翻折變換前后對(duì)應(yīng)角不變，故∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，進(jìn)而求出∠1+∠2，再由【詳解】解：∵將△ABC三個(gè)角分別沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，∵∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝∴∠1+∠2＝360°﹣180°＝180°，∵∠1=129°，∴∠1=51°．故答案為：51°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)已知得出∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°16．如圖，將△ABC沿DE,EF翻折，頂點(diǎn)A、B均落在O處，且EA與EB重合于線段EO，測(cè)得∠C=42°，則∠CDO+∠CFO=【答案】96【分析】延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)G．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠A+∠B=138°．由翻折的性質(zhì)可知∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，即得出∠DOF=138°，從而可求出∠DOG=42°．由三角形外角性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出∠CDO+∠DOG+∠CFG+∠C=180°，從而可求出【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)G．∵∠C=42°，∴∠A+∠B=180°-∠C=138°．由翻折可知∠A=∠DOE，∴∠DOE+∠EOF=138°，即∠DOF=138°，∴∠DOG=180°-138°=42°．∵∠CGF=∠CDO+∠DOG，∠CGF+∠CFG+∠C=180°，∴∠CDO+∠DOG+∠CFG+∠C=180°，即∠CDO+42°+∠CFO+42°=180°，∴∠CDO+∠CFO=96°．故答案為：96．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，翻折的性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．類型五三角形整體翻折17．如圖，△ABE和△ACD是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折形成的，若∠BAC＝135°，則∠EFC的度數(shù)是．【答案】90【分析】根據(jù)∠BAC=135°，可得出∠ABC+∠ACB=45°,又由外角的性質(zhì)，得到∠EFC=∠FBC+∠FCB,【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC=∴∠ABC+∠ACB=又∵∠EFC是△BCF外角∴∠EFC=∠FBC+∠FCB∵折疊∴∠FBC=2∠ABC,∠FCB=2∠ACB∴∠FBC=2(∠ABC+∠ACB)=2×故答案為：90【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形折疊中的角度計(jì)算等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)定理內(nèi)容解題是關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，∠A＝42°，點(diǎn)D是邊A上的一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于點(diǎn)E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝度．【答案】111【分析】設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，列出關(guān)于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．【詳解】解：設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，∵B′D∥AC，∴∠B'DC+∠ACD=180°，由對(duì)稱性知∠BDC=∠B'DC，∴180°-（α+β）+180°-42°-（α+β）=180°，∴α+β=69°，∴∠BDC=180°-69°=111°，故答案為111．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對(duì)稱變換，具有對(duì)稱性，平行線的三個(gè)基本性質(zhì)要牢記于心．19．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，則∠α的度數(shù)為°．【答案】108【分析】由翻折的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可以得到答案．【詳解】解：如圖，設(shè)AD與BE相交于H，∵∠1：∠2：∠3=7：2：1，∴由比例的性質(zhì)可以得到：∠1=126°再由翻折的性質(zhì)可以得到∠D=∠ABE=∠2=36°∴∠BAD=360°-2×126°=108°∴∠DHG=∠BHA=180°-∠EBA-∠DAB=180°-36°-108°=36°∴∠α=∠HGD=180°-∠D-∠DHG=180°-36°-36°=108°，故答案為108．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的應(yīng)用，靈活應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理和圖形翻折的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．20．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的．DC的延長(zhǎng)線交AE于點(diǎn)O，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若∠BCA:∠ABC:∠BAC=28:5:3，，則∠EFC的度數(shù)為.【答案】30°【分析】根據(jù)∠BCA:∠ABC:∠BAC=28:5:3,三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠BCA,∠ABC,∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠D、∠DAE、∠BEA的度數(shù)，在△AOD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOD的度數(shù)，繼而可求得∠EOF的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角定理求出∠EFC的度數(shù).【詳解】∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，∴設(shè)∠BCA為28x，∠ABC為5x，∠BAC為3x，則28x+5x+3x=180°，解得：x=5°，則∠BCA=140°，∠ABC=25°，∠BAC=15°，由折疊的性質(zhì)可得：∠D=25°，∠DAE=3∠BAC=45°，∠BEA=140°，在△AOD中，∠AOD=180°-∠DAE-∠D=110°，∴∠EOF=∠AOD=110°，∴∠EFC=∠BEA-∠EOF=140°-110°=30°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、外角和定理，熟練掌握三角形的定理是解題關(guān)鍵.類型六翻折的綜合訓(xùn)練（壓軸題）21．如圖1，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．(1)若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求∠A的度數(shù)；(2)若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P．求證：∠MCP=90°-1(3)在（2）的條件下，將△MBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q（如圖2）．直按寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)60°(2)證明見(jiàn)解析(3)∠BQC=90°+【分析】（1）利用外角的性質(zhì)，即可得解；（2）利用外角的性質(zhì)，以及角平分線的定義，和直角三角形兩銳角互余，即可得證；（3）根據(jù)角平分線和三角形的內(nèi)角和定理，得到：∠BQC=90°+12∠N【詳解】（1）解：∵∠A:∠ABC=3:4，設(shè)∠A=3k,∠ABC=4k，∵∠ACD=∠A+∠ABC=3k+4k=140°，∴k=20°，∴∠A=3×20°=60°；（2）證明：∵∠MCD是△MBC的外角，∴∠M=∠MCD-∠MBC．同理可得：∠A=∠ACD-∠ABC．∵M(jìn)C、MB分別平分∠ACD、∠ABC∴∠MCD=12∠ACD∴∠M=∠MCD-∠MBC=1∵CP⊥BM，∴∠MCP=90°-∠M=90°-1（3）解：∵∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC=1∴∠BQC=180°-∠QBC-∠QCB=180°-=80°-=90°+1∵將△MBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△NBC，∴∠N=∠M，由（2）知：∠M=1∴∠N=1∴∠BQC=90°+1【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及折疊的性質(zhì)．熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，以及三角形的內(nèi)角和為180°和折疊后，對(duì)應(yīng)角相等，是解題的關(guān)鍵．本題考查了燕尾型圖，要善于記憶燕尾型圖的相關(guān)結(jié)論，便于快速解題．22．折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，∠A＝80°，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進(jìn)行求解即可；（2）利用翻折的性質(zhì)得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結(jié)合圖形，由平角及各角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可‘（3）連接AA'．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出（4）設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°．（4）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．23．（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，試探索∠1+∠2與∠A

（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度數(shù)；

（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與

【答案】（1）∠1+∠2=2∠BAC，證明見(jiàn)解析；（2）∠BIC=122.5°；（3）∠BHC=180°-【分析】（1）連接AA'，如圖，則由折疊的性質(zhì)可得（2）由（1）的結(jié)論可得∠A=65°，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（3）由四邊形的內(nèi)角和是360°可得∠BHC=180°-∠A，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案．【詳解】（1）∠1+∠2=2∠BAC；證明：連接AA則由折疊的性質(zhì)可得∠BAC=∠DA∵∠1=∠DAA∴∠1+∠2=∠DAA∴∠1+∠2與∠A的關(guān)系是∠1+∠2=2∠BAC；

（2）∵∠1+∠2=130°，則由（1）知：∠1+∠2=2∠BAC=130°，∴∠A=65°；∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC=1∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-1∴∠BIC=90°+1（3）∵BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，∴∠AGC=90°,∠AFB=90°，∴∠A+∠GHF=180°，∵∠BHC=∠GHF，∴∠BHC=180°-∠A，由（1）知：∠1+∠2=2∠BAC，即∠A=1∴∠BHC=180°-1

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．將△ABC紙片的一角∠CAB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P的位置，折痕為DE．（1）如圖1，點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的位置．①若PE//AC，那么PD與AB有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖2，∠1、∠2與∠A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；③連接CP、BP，已知CP、BP恰好