專題11 勾股定理及逆定理之十大考點(解析版)

專題11勾股定理及逆定理之十大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一用勾股定理解三角形】 1【考點二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】 3【考點三勾股定理與網(wǎng)格問題】 5【考點四勾股定理與折疊問題】 7【考點五勾股定理的證明方法】 10【考點六勾股樹(數(shù))問題】 15【考點七判斷三邊能否構成直角三角形】 16【考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 18【考點九利用勾股定理的逆定理求解】 20【考點十勾股定理逆定理的實際應用】 23【過關檢測】 27【典型例題】【考點一用勾股定理解三角形】例題：（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，長方形中，，，，則______．

【答案】4.8【分析】利用長方形的性質(zhì)得到，利用勾股定理計算出，利用面積法計算出即可．【詳解】解：∵四邊形長方形，∴，在中，，∵，∴．故答案為：4.8．【點睛】本題主要考查了勾股定理，等積法求直角三角形的高，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理求出．【變式訓練】1.（2023春·湖南郴州·八年級校考期中）如圖，在中，，，，求BC邊上的高AD的長．

【答案】12【分析】為高，那么題中有兩個直角三角形．在這兩個直角三角形中，設為未知數(shù)，可利用勾股定理都表示出長．求得長，再根據(jù)勾股定理求得長即可．【詳解】解：設，則，在中，，在中，，∴，，解得，在中，．【點睛】本題考查了勾股定理，解決本題的關鍵在于利用兩個直角三角形的公共邊找到突破點．主要利用了勾股定理進行解答．2.（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）如圖，在中，，，，于．求：

(1)的長和的面積；(2)的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的長；利用三角形的面積公式可求出的面積；（2）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得即可．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，，．【點睛】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵．【考點二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面積分別為6，18，則正方形A的面積是（

）

A． B． C．12 D．24【答案】D【分析】由正方形的面積得，，再由勾股定理得，即可得出結論．【詳解】解：如圖，

正方形，的面積分別為6，18，，，，，正方形的面積，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理以及正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2022秋·廣東茂名·八年級校考期中）如圖，中，，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分別是，，，且，，則（

）

A．20 B．12 C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，∴；故選A．【點睛】本題考查勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．2.（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，字母B所代表的正方形的面積是（

）

A．12 B．15 C．144 D．306【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出字母B所代表的正方形的邊長，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出面積答案．【詳解】解：如圖，

在中，由勾股定理得，，字母代表的正方形的邊長為，字母B所代表的正方形的面積為：．故選C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用、正方形的面積，熟知如果直角三角形的兩條直角邊長分別是和，斜邊長為，那么是解決問題的關鍵．【考點三勾股定理與網(wǎng)格問題】例題：（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）如圖，點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，則邊上的高為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】運用等積法求解即可．【詳解】解：由正方形網(wǎng)格圖可知，，，邊上的高為2，∴根據(jù)三角形面積公式可得，邊上的高．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理的知識，解題的關鍵是利用勾股定理求出的長．【變式訓練】1.（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，由單位長度為1的4個小正方形拼成的一個大正方形網(wǎng)格，連接三個小格點，可得，則邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設邊上的高為，由題意知，，則，即，計算求解即可．【詳解】解：設邊上的高為，由題意知，，∴，即，解得，∴邊上的高為，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格．解題的關鍵在于熟練掌握割補法求面積以及等面積法．2.（2023春·全國·八年級期中）如圖，在的方格中，小正方形的邊長是1，點A、B、C都在格點上，求：(1)的長；(2)邊上的高．【答案】(1)(2)【分析】(1)運用勾股定理計算即可．(2)運用三角形面積不變性列式計算即可．【詳解】（1）由圖可得，，即的長為．（2）由圖可得，，設邊上的高為x，則，即，解得，即邊上的高為．【點睛】本題考查了網(wǎng)格上的勾股定理與圖形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【考點四勾股定理與折疊問題】例題：（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校?？寄M預測）如圖，一張直角三角形紙片ABC中，，將它沿折痕折疊，使點A與點B重合，則___________．

【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)得出，設，則．在中運用勾股定理列方程，解方程即可求出的長．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，設，則．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運用．解題時，設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．【變式訓練】1.（2023春·全國·八年級階段練習）如圖所示，把矩形紙條沿，同時折疊，，兩點恰好落在邊的點處，若的度數(shù)恰好為，，，則矩形的邊的長為_____．【答案】12【分析】利用折疊的性質(zhì)得到，，再利用勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：矩形紙條沿，同時折疊，，兩點恰好落在邊的點處，，，，，，故答案為：12．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)和勾股定理，解題的關鍵是利用勾股定理和折疊的性質(zhì)求出，，．2.（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長是____________________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進一步求出，設，則，由勾股定理得，解得，則．【詳解】解：在中，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，設，則，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，正確利用勾股定理結合方程的思想求解是解題的關鍵．【考點五勾股定理的證明方法】例題：（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；在推得這個公式的過程中，主要運用了A．分類討論思想

B．整體思想

C．數(shù)形結合思想

D．轉化思想（2）如圖2，，，且在同一直線上．求證：；（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你嘗試該證明過程．

【答案】（1）；；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用大正方形面積等于兩個小正方形面積與兩矩形面積之和得出即可，利用數(shù)形結合得出答案；（2）利用，得出，進而得出，即可得出答案；（3）利用圖形面積即可證出勾股定理．【詳解】解：（1）利用大正方形面積等于兩個小正方形面積與兩矩形面積之和得出：；利用數(shù)形結合得出：在推得這個公式的過程中，主要運用了數(shù)形結合思想；故答案為：；；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即．

（3）∵，∴，∴，即．【點睛】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積由數(shù)形結合思想得出等式是解題關鍵．【變式訓練】1.（2023秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點表示出（+），結合勾股定理，即可得到答案．【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個圖形中面積關系滿足的有3個故答案為：3；（3）關系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結合（1）的結論：∴．【點睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．【考點六勾股樹(數(shù))問題】例題：（2022秋·廣東清遠·八年級期末）下列各組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14【答案】D【分析】分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，看看是否相等即可．【詳解】解：A．，，，即3，4，5是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；B．，，，即7，24，25是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；C．，，，即8，15，17是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；D．，，，即10，12，14不是勾股數(shù)，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，如果兩數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，那么這三個數(shù)叫勾股數(shù)．【變式訓練】1.（2023春·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）以下四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A.，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；B.，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；C.，是勾股數(shù)，故本選項符合題意；D.，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】考查了勾股數(shù)，理解勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)．2.（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)考開學考試）下列是勾股數(shù)的一組數(shù)是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)逐一判斷即可．【詳解】解：A．、、不是整數(shù)，此數(shù)組不是勾股數(shù)，不合題意；B．，此數(shù)組是勾股數(shù)，符合題意；C．，此數(shù)組不是勾股數(shù)，不合題意；D．，此數(shù)組不是勾股數(shù)，不合題意．故選：B．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的知識，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．【考點七判斷三邊能否構成直角三角形】例題：（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）滿足下列條件的是直角三角形的是（

）A．8，10，7 B．2，3，4 C．5，12，14 D．1，，2【答案】D【分析】驗證選項中每組數(shù)據(jù)，看兩條較短邊的平方和是否等于最長邊的平方，若等于則為直角三角形，否則就不是直角三角形．【詳解】解：選項A：兩條較短邊平方和為：，不是直角三角形，故選項A不合題意；選項B：兩條較短邊平方和為：，不是直角三角形，故選項B不合題意；選項C：兩條較短邊平方和為：，不是直角三角形，故選項C不合題意選項D：兩條較短邊平方和為：，是直角三角形，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，如果兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方，則此三角形為直角三角形．【變式訓練】1.（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┫铝懈鹘M數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，， D．13，14，15【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定即可；如果有這種關系，就是直角三角形，沒有這種關系，就不是直角三角形，分析得出即可；【詳解】A、，此三角形是直角三角形，不符合題意；B、，此三角形是直角三角形，不符合題意；C、，此三角形是直角三角形，不符合題意；D、，此三角形是直角三角形，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．2.（2023春·廣東珠海·八年級珠海市前山中學?？计谥校┫铝懈鹘M數(shù)中，不能構成直角三角形三邊的一組是（

）A．1，1， B．1，2， C．3，5，7 D．3，4，5【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：A、∵，∴能構成直角三角形，故此選項不符合題意；B、∵，∴能構成直角三角形，故此選項不符合題意；C、∵，∴不能構成直角三角形，故此選項符合題意；D、∵，∴能構成直角三角形，故此選項不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．【考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：（2023春·廣東湛江·八年級校考階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則的度數(shù)為_________．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到，，的長度，再判斷是等腰直角三角形，進而得出結論．【詳解】解：如圖，連接，

由題意，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出是等腰直角三角形是解決本題的關鍵．【變式訓練】1.（2021秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中小方格邊長為1，A，B，C都是小正方形的頂點，請你根據(jù)所學的知識解決下面問題．（1）求的周長；（2）判斷是不是直角三角形，并說明理由.【答案】（1）△ABC的周長為；（2）△ABC不是直角三角形，理由見解析．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的長，然后可求周長；（2）利用勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：（1）如圖，根據(jù)題意由勾股定理，得，，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=，（2）△ABC不是直角三角形，理由是：∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，即AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是直角三角形.【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．2.如圖，方格中小正方形的邊長為1，的三個頂點都在小正方形的格點上，求：(1)的周長；(2)請判斷是否是直角三角形，并說明理由．【答案】(1)(2)不是直角三角形．見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的三條邊長后，再求該三角形的周長；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可．【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理知，，，，故的周長；（2）不是直角三角形．理由：由（1）可知，，，，，，即，∴不是直角三角形．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．【考點九利用勾股定理的逆定理求解】例題：（2022秋·陜西西安·八年級校考階段練習）已知，如圖，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．(1)求BD的長．(2)判斷△BCD是什么三角形，并說明理由？【答案】(1)5(2)直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）如圖，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，∴由勾股定理得，即BD=5（2）△BCD是直角三角形．理由如下：在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，∴，，∴，∴△BCD是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．【變式訓練】1.（2023春·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點D，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求點D到的距離之和．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)己知數(shù)據(jù)利用勾股定理的逆定理即可證明．（2）根據(jù)（1）中求得的長度，再利用等面積法求出點D到的距離，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，在中，，即，∴；在中，，即，∴，∵∴，∴是直角三角形；（2）解：過點D作，，垂足分別為點E、F，

，，即，∴，，即，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理和三角形高的問題，熟練運用勾股定理逆定理和等面積法求高是解題的關鍵．2.（2023春·安徽六安·八年級校聯(lián)考階段練習）已知：如圖，四邊形中，，，，且．試求：

(1)四邊形的面積．（結果保留根號）(2)的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由勾股定理求出的值，結合勾股定理逆定理可推出，然后根據(jù)進行求解，即可得到答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，

，，，，，，即，，；（2）解：，

，．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．【考點十勾股定理逆定理的實際應用】例題：（2023春·廣西欽州·八年級浦北中學?？茧A段練習）為弘揚勞動精神，讓同學們在實踐中體驗勞動、認識勞動，從而培養(yǎng)尊重勞動、熱愛勞動、尊重勞動人民的品質(zhì)，學校準備在校園的一角開墾一塊如圖所示的四邊形土地．經(jīng)測量，，，，，，請計算該四邊形土地的面積．【答案】該四邊形土地的面積為【分析】連接，則為直角三角形，為斜邊，通過勾股定理求，根據(jù)判定為直角三角形，根據(jù)直角三角形面積計算可以計算該菜地的面積．【詳解】解：連接∵∴在中∴∵，

∴∴是直角三角形，且答：該四邊形土地的面積為.【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形面積計算，本題中正確的根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）為響應政府“公園城市建設”的號召，某小區(qū)進行小范圍綠化，要在一塊如圖所示的四邊形空地進行綠化改造，測得，，，，．

(1)若要在B，D兩點間鋪一條鵝卵石路，鋪設成本為120元/m，求鋪設這條鵝卵石路的最低花費．(2)如果種植草皮的費用是200元，那么在整塊空地上種植草皮共需投入多少元？【答案】(1)鋪設這條鵝卵石路的最低花費為元．(2)整塊空地上種植草皮共需投入元．【分析】（1）如圖，連接，再利用勾股定理先求解，從而可得答案；（2）先利用勾股定理的逆定理證明，可得整塊空地的面積為：，再計算總費用即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵，，，∴，∵鋪設成本為120元/m，∴鋪設這條鵝卵石路的最低花費為（元）．（2）∵，，．∴，∴，∴整塊空地的面積為：，∵種植草皮的費用是200元，∴整塊空地上種植草皮共需投入（元）．【點睛】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的實際應用，理解題意，確定勾股定理與勾股定理的逆定理是使用情境是解本題的關鍵．2.（2023春·廣東汕頭·八年級校考期中）如圖，在一條東西走向河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H，（A，H，B在一條直線上），并修一條路．測得千米，千米，千米．

(1)問是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．(2)求原來的路線的長．【答案】(1)是，見解析(2)千米【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理證得是直角三角形，然后根據(jù)點到直線的距離中，垂線段最短即可解答；（2）設，則AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）∵，∴∴∴是從村莊C到河邊的最近路（2），則在中∴解得：∴原來的路線的長為千米【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，點到直線的最短距離，靈活應用勾股定理的逆定理和定理是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習）若直角三角形兩邊長為12和5，則第三邊長為（

）A．13 B．13或 C．13或15 D．15【答案】B【分析】分長為12的邊是斜邊還是直角邊兩種情況討論解題．【詳解】當長為12的邊是斜邊時，則第三邊是另一直角邊，其長為．當長為12的邊是直角邊時，則第三邊是斜邊，其長為．所以第三邊的長為13或．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理與計算，在直角三角形中，斜邊是最大的邊，故本題中長5的邊只能為直角邊，二邊長為12的邊可能是斜邊，也可能是直角邊，因此分兩種情況討論．2．（2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小肖同學有4根長度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一個直角三角形的是（

）

A．4cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，8cm【答案】B【分析】由勾股定理的逆定理可判斷A，B，由三角形的三邊關系可判斷C，D不能組成三角形，從而可得答案．【詳解】解：∵，故A不符合題意；∵，故B符合題意；∵，不能組成三角形，故C不符合題意；∵，不能組成三角形，故D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是三角形三邊的關系，勾股定理的逆定理的應用，熟記三角形的三邊關系與勾股定理的逆定理是解本題的關鍵．3．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足，則這個三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定【答案】B【分析】將原式整理為，即可判斷.【詳解】解：∵，∴，∴，∴這個三角形是直角三角形；故選：B.【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出是解題的關鍵.4．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，將折疊，使點C與的中點D重合，折痕交于點M，交于點N，則線段的長為（）

A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先求出，由折疊的性質(zhì)可得，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵D是中點，，∴，∵將折疊，使點C與的中點D重合，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，正確理解題意利用方程的思想求解是解題的關鍵．5．（2023春·廣東珠海·八年級珠海市第九中學?？计谥校┫铝杏扇龡l線段、、構成的三角形：①，，；②，，；③；④，，（為大于1的整數(shù)）；其中能構成直角三角形的是（

）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一作出判斷即可．【詳解】解：①，，故能構成直角三角形，符合題意；②，，故能構成直角三角形，符合題意；③，令，，，，、、不能構成直角三角形，不符合題意；④，，，，故能構成直角三角形，符合題意；綜上所述：①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應用，在應用時注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方．二、填空題6．（2023春·吉林·八年級期中）如圖，在中，，以和為邊向兩邊分別作正方形，面積分別為和，已知，則的長為______．

【答案】5【分析】利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∵，∴，∵在中，，∴，∴（負值已舍去）．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理．正確的識圖，熟練掌握勾股定理，是解題的關鍵．7．（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上則邊上的高為___________．

【答案】2【分析】根據(jù)勾股定理逆定理證明是直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴是直角三角形，且；過點A作于點D，如圖，

∴，∴，即邊上的高為2．故答案為：2．【點睛】此題考查了勾股定理以及逆定理，熟記勾股定理及逆定理是解題的關鍵．8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，垂足為D，，，則______．【答案】/【分析】根據(jù)作出輔助線，證明全等三角形，將轉化為，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】在上取一點，使得，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設，則，∴在中，,即，解得，∴．故答案為：【點睛】此題考查勾股定理，解題關鍵是作出輔助線，根據(jù)勾股定理列方程求解．9．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考二模）如圖，三角形紙片中，，，．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與的交點為E，則的長是______．【答案】【分析】根據(jù)折疊，可知，，，，然后證明，設，在中，根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】根據(jù)折疊，可知，，，設，，在中，即解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理等知識，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．10．（2023春·河北滄州·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C，D都在小正方形的頂點上．

（1）線段的長為______；（2）若，則三條線段首尾順次相接______（填“能”或“不能”）構成直角三角形．【答案】能【分析】（1）直接利用勾股定理得出的長；（2）直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．【詳解】解：（1）線段的長是：；故答案為：；（2）三條線段首尾順次相接能構成直角三角形．理由：∵，∴，∴三條線段首尾順次相接能構成直角三角形．故答案為：能．【點睛】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是會用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．三、解答題11．（2023春·湖北十堰·八年級校聯(lián)考期中）已知的三邊長分別為a，b，c，且a，b，c滿足，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】直角三角形，見解析【分析】利用絕對值以及偶次方的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)得出a，b，c的值進而求出即可．【詳解】解：是直角三角形，理由：∵，∴，∴，∴是直角三角形．【點睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理及非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出a，b，c的值是解題關鍵．12．（2023春·黑龍江大慶·七年級?？茧A段練習）如圖，折疊長方形紙片的一邊，使點D落在邊的處，是折痕．已知，，求的長．【答案】cm【分析】證明，，由是由折疊得到，可得，，再利用勾股定理可得，設，則，再建立方程即可．【詳解】∵四邊形為長方形，∴，，又∵是由折疊得到，∴，，在中，，∴，設，則，在中，，即，解得，即．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，勾股定理的應用，熟練的利用軸對稱的性質(zhì)再利用勾股定理建立方程是解本題的關鍵．13．（2023春·廣東廣州·八年級期中）如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且．

(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可得到答案；（2）設，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，，即為直角三角形；（2）解：設，是等腰三角形，．為直角三角形，為直角三角形，，即，解得：，故的長為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．14．（2022春·八年級單元測試）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是，四邊形的頂點都在格點上（格點：小正方形的頂點）．(1)四邊形的邊的長；(2)連接，試判斷的形狀．【答案】(1)；(2)是直角三角形．【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理求得，，的值，再利用勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖，∵，，，∴，∴是直角三角形．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理．熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．15．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點A與點B重合，求的長；(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點C落在邊上G點處，請直接寫出的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）設x，則，在中用勾股定理求解即可；（2）設x，則，先根據(jù)勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵直線是對稱軸，∴，∵，設，則在中，，∴，∴，解得，∴（2）解：∵直線是對稱軸，∴，，∵，設，則，∴在中，，，∴，在中，，∴，∴，解得，∴．【點睛】本題考查了折疊與三角形的問題，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關鍵．16．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，動點P從點B出發(fā)沿射線以的速度移動，設運動的時間為t秒．

(1)用含t的代數(shù)式表示①當點P在線段上時，________．②當點P在線段的延長線上時，________．(2)當為直角三角形時，求t的值；【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長度，然后再根據(jù)圖形求解即可；（2）當為直角三角形時，分兩種情況：①當為直角時，②當為直角時，分別求出此時的t值即可．【詳解】（1）∵，，，∴．∵動點P從點B出發(fā)沿射線以的速