第04講 二元一次方程組與一次函數(shù)、用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式(5類熱點題型講練)（解析版）

第04講二元一次方程組與一次函數(shù)、用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式(5類熱點題型講練)1.會把二元一次方程轉化成一次函數(shù)；培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想；2.會應用方程與函數(shù)的聯(lián)系解決實際問題；3.能根據一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的解.知識點01二元一次方程組與一次函數(shù)的關系1）一元一次方程可轉化為一般式：ax+b=02）一次函數(shù)為：y=kx+b的形式；當y=0時，一次函數(shù)x的值就是一元一次方程的解。y=0時，x的值，即一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標，就是對應一元一次方程的解3）每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.4）兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解，反之也成立.5）當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程組就無解.6）當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應的兩個一次函數(shù)在坐標系中重合，反之也成立.知識點02二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式（待定系數(shù)法）1)點+點:設函數(shù)的解析式為：y=kx+b，當已知兩點坐標，將這兩點分別代入（待定系數(shù)法），可得關于k、b的二元一次方程組，解方程得出k、b的值。2)圖形:觀察圖形，根據圖形的特點，找出2點的坐標，利用待定系數(shù)法求解解析式。題型01兩直線的交點與二元一次方程組的解例題：（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一次函數(shù)與的圖象交于點，則方程組的解是．【答案】【分析】方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標，據此求解．【詳解】解：關于的一次函數(shù)與的圖象交于點，方程組的解是．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標．【變式訓練】1．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀┮淮魏瘮?shù)的圖象和的圖象相交于點，則關于x，y的二元一次方程的解為．【答案】【分析】首先利用函數(shù)解析式計算出點坐標中的值，進而可得的坐標，然后可得二元一次方程組的解．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象和的圖象相交于點，，解得：，，二元一次方程組的解為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，關鍵是掌握兩函數(shù)交點坐標就是兩函數(shù)組成的方程組的解．2．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習）已知一次函數(shù)與（k是常數(shù)，）的圖象的交點坐標是，則方程組的解是．【答案】【分析】方程組的解即為其所對應的一次函數(shù)交點的橫縱坐標，據此即可解答．【詳解】解：方程組即為，∵一次函數(shù)與圖象的交點坐標是，∴方程組的解為：；故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的交點與對應的方程組的關系，明確方程組的解即為其所對應的一次函數(shù)交點的橫縱坐標是解題的關鍵．題型02圖象法解二元一次方程組例題：（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方程組的解是．

【答案】【分析】由交點坐標，先求出，再求出方程組的解即可．【詳解】解：∵的圖象經過，∴，解得，一次函數(shù)與的圖象相交于點，方程組的解是，故答案為．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象的交點與方程組的解的關系，解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．【變式訓練】1．（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)和的圖象交于點P，則二元一次方程組的解是．

【答案】【分析】圖象法解方程組即可．【詳解】解：由圖象可知，，∴二元一次方程組的解是故答案為：【點睛】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組．熟練掌握圖象法解方程組，是解題的關鍵．2．（2023秋·安徽淮北·八年級?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)與的圖像相交于點，則關于的二元一次方程組的解是

【答案】【分析】先利用確定點坐標，然后根據方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖像的交點坐標進行判斷．【詳解】解：把代入，得，解得，所以點坐標為，所以關于的二元一次方程組的解是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）的綜合應用，理解方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖像的交點坐標是解題關鍵．題型03已知兩直線求圍成的圖形面積例題：（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，求兩條直線：與直線：的交點的坐標是，與軸圍成的三角形的面積是．【答案】12【分析】聯(lián)立兩直線解析式解方程組即可得到交點坐標；求出兩直線與軸交點間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：聯(lián)立得，解得．所以，交點坐標為，令，則，解得，，解得，所以，兩直線與軸交點之間的距離為，所以，兩條直線和軸所圍成的三角形的面積．故答案為：，12．【點睛】本題考查了兩直線相交的問題，三角形的面積，第二問先求出兩直線與軸的交點間的距離是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·云南保山·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線與直線．

(1)求兩直線與軸的交點的坐標；(2)求的面積．【答案】(1)(2)2【分析】（1）把分別代入直線與直線，即可求解；（2）聯(lián)立，求出點C的坐標，再根據，求出的長度，最后根據三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）當時，，，∴；（2）聯(lián)立，解得，即，∵，∴，∴的面積．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與y軸的交點問題，直線的交點問題，直線與坐標軸圍成的三角形的面積，熟練掌握知識點并運用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．2．（2023春·四川成都·八年級成都外國語學校?？计谥校┤鐖D，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與x軸交于點C，與y軸交于點D，兩直線交于點E．

(1)求出A，E兩點的坐標；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)點A坐標為，點E坐標為(2)4【分析】（1）對于，當時求出x，即可得到點A的坐標，聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，求出方程組的解即可得出點E的坐標；（2）先求出點D、C的坐標，再利用面積的和差解答即可．【詳解】（1）對于，當時，，解得，∴點A坐標為，聯(lián)立，解得，∴點E坐標為；（2）對于，當時，，解得，∴點C坐標為，∴，當時，，∴點D坐標為，∴，∴．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點、兩個函數(shù)的交點等知識，熟練掌握一次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．題型04利用兩點求一次函數(shù)的解析式例題：（2023秋·廣西崇左·八年級?？茧A段練習）已知一次函數(shù)圖象經過兩點，求一次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．【詳解】解：設一次函數(shù)的解析式為，則，解得，∴一次函數(shù)的解析式為．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確掌握利用待定系數(shù)法求解析式的方法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┮阎骋淮魏瘮?shù)的圖像經過點，，求這個一次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】將，代入求出k、b的值，再將k、b的值反回代入中，即可得到一次函數(shù)的解析式．【詳解】將，代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為．【點睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學?？茧A段練習）已知是的一次函數(shù)，當時，；當時，；(1)求與的函數(shù)關系式？(2)若在（1）中函數(shù)圖象上，求的值？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式即可；（2）將代入一次函數(shù)關系式中，求出值即可．【詳解】（1）解：設與之間的函數(shù)關系式為，將時，；當時，代入，，解得：，與之間的函數(shù)關系式為．（2）解：∵在（1）中函數(shù)圖象上，∴當時，，解得．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式；（2）將代入一次函數(shù)關系式求出值．題型05圖形中求一次函數(shù)的解析式例題：（2023秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點B，過點A作直線l將分成周長相等的兩部分，則直線l的函數(shù)解析式為．

【答案】【分析】先利用確定，，則根據勾股定理計算出，直線l交于C點，設，由于直線l將分成周長相等的兩部分，所以，解方程求出t得到，然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式．【詳解】解：當時，，解得，∴，當時，，∴，∴，直線l交于C點，如圖，設，

∵直線l將分成周長相等的兩部分，∴，即，解得，∴，設直線l的解析式為，把，分別代入得，解得，∴直線l的解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質、勾股定理等知識，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·山西太原·山西實驗中學?？寄M預測）如圖，我國傳統(tǒng)計重工具桿秤的應用方便了人們的生活．某興趣小組為探究秤桿上秤砣到秤紐的水平距離厘米與秤鉤所掛物體質量y千克之間的關系，進行了6次稱重，下表為稱重時所記錄的一些數(shù)據．x41216242836y011.52.534根據表格中的數(shù)據，寫出y關于x的函數(shù)表達式：．【答案】【分析】觀察表中數(shù)據變化特征，設解析式，運用待定系數(shù)法、二元一次方程組求解．【詳解】解：由表格知，y隨x的增大而增大，設函數(shù)表達式為，則，解得∴，經檢驗，x，y其它組值也滿足解析式．故答案為：【點睛】本題考查確定函數(shù)解析式，理解待定系數(shù)法、運用方程的思維求解是解題的關鍵．2．（2023秋·江蘇泰州·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知直線與軸、軸分別交于點，．直線恰好將分成兩部分的面積比是，則．

【答案】或/或【分析】首先根據函數(shù)表達式求出，點的坐標，然后求出面積，然后根據的特點得知恒過點，然后根據題意可知與坐標軸或的交點坐標，進而可求的值．【詳解】解：∵直線與軸、軸分別交于點，，當時，得，∴，，當時，得，解得：，∴，，∴，∵直線，當時，得，∴函數(shù)圖像恒過點，∴，∵直線恰好將分成兩部分的面積比是，∴或，當時，則，∴，∴，∵在直線上，

∴，當時，設點的縱坐標為，則，∴，∵在直線上，∴，解得：，∴，∵在直線上，∴，解得：，綜上所述，或．故答案為：或．

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像與坐標軸的交點，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，兩條直線的交點問題，三角形的面積，運用了分類討論的思想．掌握函數(shù)圖像與坐標軸的交點坐標的確定方法是解題的關鍵．一、單選題1．（2023秋·甘肅武威·九年級統(tǒng)考開學考試）經過兩點的一次函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據待定系數(shù)法求解即可【詳解】設一次函數(shù)的解析式為,在直線上，，解得：，一次函數(shù)的解析式為故選擇：C【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．2．（2023秋·江蘇南通·九年級校考階段練習）直線與直線平行，下列說法不正確的是（

）A． B．直線與沒有交點C．方程組無解 D．方程組有無窮多個解【答案】D【分析】根據一次函數(shù)圖象的特征解答即可．【詳解】解：A．兩直線平行時，比例系數(shù)相等，，故正確，不符合題意；B．兩直線平行，沒有交點，故正確，不符合題意；C．兩直線平行，沒有交點，所以方程組無解，故正確，不符合題意；D．兩直線平行，沒有交點，所以方程組無解，故錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程的關系，掌握當兩直線平行時比例系數(shù)相等是解題關鍵．3．（2023春·山東聊城·八年級?？茧A段練習）已知直線：與直線：交于點，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據直線解析式求出點C坐標，根據兩函數(shù)交點坐標與方程組的解得關系即可求解．【詳解】將代入得：，解得：，∴方程組的解是，故選B．【點睛】本題考查兩函數(shù)的交點坐標與方程組的解的關系，掌握兩函數(shù)的交點坐標與方程組的解是解題關鍵．4．（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知一次函數(shù)和的圖像交于點，則根據圖像可得關于的二元一次方程組的解是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據兩直線的交點的特點即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)和的圖像交于點，∴點的橫縱坐標是關于的二元一次方程組的解，即二元一次方程組得解為，故選：．【點睛】本題主要考查兩條直線的交點與二元一次方程組的解的關系，理解圖示，掌握兩條直線的交點的特點是解題的關鍵．二、填空題5．（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┲本€關于y軸對稱的直線的函數(shù)表達式為．【答案】【分析】先在直線找出兩點：，，這兩個點關于y軸的對稱點是，，然后這兩個點在直線關于y軸對稱的直線的解析式：上，把，代入，解得：，，即可作答．【詳解】解：先從直線y＝2x＋1上找出兩點：，，這兩個點關于y軸的對稱點是，，那么這兩個點在直線關于y軸對稱的直線解析式：上，把，代入，得解得：，，則直線關于y軸對稱的直線解析式為上，故答案為：．【點睛】本題要注意利用一次函數(shù)的特點，解決本題的關鍵是找到所求直線解析式中的兩個點，這兩個點是原直線解析式上的關于相應的坐標軸對稱的點．6．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？茧A段練習）已知一次函數(shù)與的圖象都經過，且與y軸分別交于B，C，則的面積為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求得a、b的值，進而求得點B，C的坐標，再利用三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)與的圖象都經過，把代入得，，∴，∴一次函數(shù)解析式為，∴，把得，，∴，∴一次函數(shù)解析式為，∴，∴，∴，故答案為：6．

【點睛】本題考查兩直線的交點問題、一次函數(shù)的圖象上點的特征，通過已知點的坐標求函數(shù)解析式是解題的關鍵．7．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶市楊家坪中學校考期中）已知一次函數(shù)和的圖象交點坐標為，則二元一次方程組的解為．【答案】【分析】根據兩直線的交點即是方程組的解即可求解．【詳解】解：由題意得：的解為，即的解為：，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合，熟練掌握兩直線的交點就是方程組的解是解題的關鍵．8．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州大學附屬中學校考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，現(xiàn)將直線繞點按逆時針方向旋轉交軸于點，則點的坐標是．

【答案】【分析】過作軸于，過作，證明是等腰直角三角形，則有，再通過角度的和差，證明，根據性質得出點，最后通過待定求出直線的函數(shù)表達式即可．【詳解】解：如圖，過作軸于，過作，交直線于D，作軸于，

∵，，∴，，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，設直線的函數(shù)表達式為：，把，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為：，令，則，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題9．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線交于點C．(1)求點C的坐標；(2)在直線上是否存在點M，使得？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點C的坐標為(2)存在；點M的坐標為或【分析】（1）聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解方程組即可求解；（2）先求出，設，當M在x軸下方時的面積是面積的2倍，的面積等于的面積，；當M在x軸上方時的面積是面積的2倍，的面積等于的面積的3倍，；即可求解．【詳解】（1）解：聯(lián)立兩直線解析式成方程組，得：，解得：，∴點C的坐標為；（2）解：存在；當時，有，解得：，∴點A的坐標為，∴，∴，設，當M在x軸下方時，∵的面積是面積的2倍，∴的面積等于的面積，∴，解得：，∵點在直線上，∴，解得：，∴；當M在x軸上方時，∵的面積是面積的2倍，∴的面積等于的面積的3倍，∴，∴，∵點在直線上，∴，解得：，∴；綜上所述，點M的坐標為或．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質，面積的計算，解題的關鍵是要注意分類求解，避免遺漏．10．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）某次氣象探測活動中，在一廣場上同時釋放兩個探測氣球．1號探測氣球從距離地面5米處出發(fā)，以1米/分的速度上升，2號探測氣球距離地面的高度y（單位：米）與上升時間x（單位：分）滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．

(1)求y關于x的函數(shù)解析式；(2)探測氣球上升多長時間時，兩個氣球位于同一高度？此時它們距離地面多少米？【答案】(1)(2)探測氣球上升20分鐘時，兩個氣球位于同一高度，此時它們距離地面25米【分析】（1）設關于的函數(shù)解析式為，將點代入計算即可得；（2）先求出1號氣球上升分時，高度為米，再根據兩個氣球位于同一高度建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：由題意，設關于的函數(shù)解析式為，將點代入得：，解得，則關于的函數(shù)解析式為．（2）解：由題意可知，1號氣球上升分時，高度為米，則，解得，此時，答：探測氣球上升20分鐘時，兩個氣球位于同一高度，此時它們距離地面25米．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關鍵．11．（2023春·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期中）已知一次函數(shù)的圖像經過點，．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)求出該函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標.(3)通過計算判斷點在不在該函數(shù)的圖像上.【答案】(1)(2)該函數(shù)與軸的交點坐標為；該函數(shù)與軸的交點坐標為(3)不在該函數(shù)的圖像上，理由見解析【分析】（1）設這個一次函數(shù)的表達式為，將，代入，利用待定系數(shù)法求解；（2）分別令和即可；（3）將代入解析式，看函數(shù)值是否是6即可．【詳解】（1）解：設這個一次函數(shù)的表達式為，把點，代入得：，解得：，∴這個一次函數(shù)的表達式為：；（2）解：把代入得：，解得：，∴把代入得：，∴該函數(shù)與軸的交點坐標為，該函數(shù)與軸的交點坐標為；（3）解：當時，，∴不在該函數(shù)的圖像上．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖像和性質，能夠利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵．12．（2023秋·四川成都·九年級?？茧A段練習）如圖所示，直線的解析式為，且與x軸交于點D，直線經過點、，直線、交于點C．

(1)求點D的坐標和直線的解析式；(2)求的面積；(3)在直線上存在異于點C的另一點P，使得，請直接寫出點P的坐標．【答案】(1)，；(2)；(3)8或0；【分析】（1）把代入解答即可得到點D的坐標；利用待定系數(shù)法把點、，代入解答即可得到直線的解析式；（2）根據方程組解得點C的坐標，再根據三角形的面積公式，即可得到的面積；（3）根據直線的解析式求得，解方程組得到，設，根據列方程即可得到結論．【詳解】（1）解：當時，，解得：，∴D點坐標為，設直線的解析式為，把、代入得，解得，∴直線的解析式為；（2）解：解方程組得，∴C點坐標為，∴；（3）解：設，∵，∴，解得：或0，∴點P的坐標或；【點睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)焦點問題及面積問題，解題的關鍵是根據面積關系列等式．13．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線：與直線：相交于點，與軸分別交于，兩點．(1)求，的值，并結合圖像寫出關于，的方程組的解；(2)求的面積；(3)垂直于軸的直線與直線，分別交于點，，若線段的長為，直接寫出的值．【答案】(1)，，，的方程組的解為(2)的面積為(3)或【分析】（1）把點代入可求出的值，再代入可求出的值，最后解方程組即可求解；（2）由（1）求出，兩條直線的解析式，由此及求出的長，的高，由此即可求解；（3）求出點為與點為，可求出，根據，結合絕對值的性質即可求解．【詳解】（1）解：把點代入，得，，把點代入，得，∴，∵直線：與直線：相交于點，∴方程組的解為．（2）解：∵：，：，∴，，，設到軸的距離為，且，∴．（3）解：直線與直線的交點為與直線的交點為．∵，∴，即，∴或，∴或．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖形的性質，兩條直線相交的圖形變換，與坐標軸的交點的綜合，掌握一次函數(shù)的特點，解二元一次方程組是解題的關鍵，14．（2023