江西省宜春市宜豐縣重點中學2023-2024學年高二上學期12月月考數學試題（含答案）

江西省宜豐重點中學2023-2024（上）創(chuàng)新部高二12月考試數學試卷一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．橢圓：的左右焦點分別是，，P在橢圓上，且，則（

）A．7 B．6 C．5 D．42．直線平分圓C：，則（

）A． B．1 C．-1 D．-33．從由1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的兩位數中任取一個，則這個兩位數大于40的個數是（

）A．6 B．8 C．10 D．124．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過點，則C的方程為（

）A． B． C． D．5．在四面體中，點E滿足F為BE的中點，且則實數λ=（

）ABCDEA． B． C． D．6．如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，則復合這些要求的不同著色的方法共有（

）A．500種 B．520種 C．540種 D．560種7．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．如圖，在棱長為3的正方體中，為線段上的動點，則下列結論錯誤的是（

）

A．當時，B．當時，點到平面的距離為1C．直線與所成的角可能是D．若二面角的平面角的正弦值為，則或二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選0分)9．已知方程表示的曲線為C，則下列四個結論中正確的是（

）A．當時，曲線C是橢圓 B．當或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則10．給出下列命題，其中正確的是（

）A．若空間向量，，且，則實數B．若，則存在唯一的實數，使得C．若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是D．點關于平面對稱的點的坐標是11．校園師生安全重于泰山，越來越多的學校紛紛引進各類急救設備.福清融城中學準備引進5個不同顏色的自動體外除顫器（簡稱AED），則下面正確的是（

）A．從5個AED中隨機取出3個，共有10種不同的取法B．從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓使用，每人1個，共有60種選法C．把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地方，共有129種方法D．把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地方，每個地方至少放一個，共有150種方法12．小明同學在完成教材橢圓和雙曲線的相關內容學習后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點距離之積為常數的點的軌跡是什么呢？又具備哪些性質呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”．在老師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設、是平面直角坐標系xOy內的兩個定點，滿足的動點P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個結論，其中正確結論的為（

）A．曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 B．動點P的橫坐標的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的面積的最大值為三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知點在圓的外部，則k的取值范圍是.14．的展開式的第4項為．15．設常數．如圖在矩形中，平面．若線段上存在點，使得，則的取值范圍是．16．在空間直角坐標系中，若一條直線經過點，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示.已知直線l的方程為，則到直線l的距離為.四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18~22每題12分，共70分)17．已知直線.（1）若直線過點，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.18．如圖，在直三棱柱中，，AB=BC=BB1=2，，分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．19．已知拋物線的焦點為，拋物線上一點橫坐標為3，且點到焦點的距離為4.(1)求拋物線的方程；(2)過點作直線交拋物線于點，求面積的最小值（其中為坐標原點）.20．（1）現有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數為多少？（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？（3）要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數為多少？（4）某醫(yī)院有內科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生.現選派6名去甲、乙兩地參加賑災醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結果都用數字作答）21．在直角梯形中，，，，如圖①把沿翻折，使得平面平面（如圖②）．(1)求證：；(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．22．已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)設為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.江西省宜豐重點中學2023-2024（上）創(chuàng)新部高二12月考試數學參考答案1．D【詳解】由題意知橢圓：的長軸長為，又P在橢圓上，，故，2．D【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.3．B【詳解】這個兩位數大于40的個數為2×4=8．故選：B．4．B【詳解】因為雙曲線C的漸近線方程為，所以可設C的方程為，把點的坐標代入得，所以C的方程為，即.故選：B.5．D【詳解】由F為BE的中點，得又所以，由得即所以故選：D

6．C【詳解】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法由分步乘法計數原理可知，復合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝5407．B【詳解】連接、、，則，，由切線長定理可知，，又因為，，所以，，所以，，則，設點，則，且，所以，，所以，，故，故選：B.8．C【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示，

則，對于A，因為，所以，所以，故，故A說法正確；對于B，，因為，由選項A知，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，故，所以點到平面的距離為，故B說法正確；對于C，假設直線與所成的角可能是，則設，則，所以，又，所以，整理得，解得，矛盾，所以直線與所成的角不可能是，故C說法錯誤；對于D，，由選項知，設平面，平面的一個法向量分別為，所以，，即，，分別令，則，故，設二面角的平面角為，則，故，故由，解得或，即或，故D說法正確.故選：C.9．BCD【詳解】A選項，曲線是橢圓等價于，解得且，故A錯誤；B選項，曲線是雙曲線等價于，解得或，故B正確；C選項，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；D選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.10．AC【詳解】對于A，可知，即A正確；對于B，顯然時，恒成立，此時不唯一或者不存在，故B錯誤；對于C，向量在向量上的投影向量，故C正確；對于D，易知點關于平面對稱的點的坐標是，故D錯誤.11．ABD【詳解】從5個AED中隨機取出3個，共有種不同的取法，故A正確；從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓使用，每人1個，共有種選法，故B正確；把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地方，則每個AED都有3種安放方法，故共有種方法，故C錯誤；把5個AED安放在宿舍、教學樓、體育館三個不同的地方，每個地方至少放一個，可先將5個AED分成3組，每組至少1個，再把這3組AED放在宿舍、教學樓、體育館三個地方，每個地方放1組，故共有方法，故D正確.故選：ABD12．ABD【詳解】令，則，所以，則，將、、代入上述方程后，均有，所以曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；令，則，對于，對稱軸為，所以在上遞增，要使在上有解，只需，所以，即，可得，正確；由，由中，，所以，其中負值舍去，綜上，，又，即，所以，則，錯誤；由，僅當時等號成立，的面積，而，所以，所以的面積的最大值為，正確.故選：.13．【詳解】由題意圓滿足，點在圓的外部，得，即的取值范圍是故答案為：14．【詳解】的展開式的第4項為15．【詳解】

因為在矩形中，平面，所以以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，，其中或不符題意，則，，，則有，,由，得即，若線段上存在點，即方程在有解，設函數為，，對稱軸為，則方程在有解需滿足，又因為，所以.故答案為：16．【詳解】直線l的方程標準化：，直線l過點，方向向量為.，，，M到直線l的距離.故答案為：【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為.因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.18．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，∵直三棱柱中，為的中點，所以，且，因為，分別，的中點，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，故平面.（2）∵在直三棱柱中又有，∴，，兩兩垂直，分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設是平面的法向量，則，取，則設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的余弦為．19．【詳解】（1）由題意知,所以.（2）由(1)知,拋物線,直線過,可設直線的方程為,聯(lián)立設,不妨設，∴，當且僅當，即時取等號，∴面積最小值為.20．（1）兩個女生相鄰捆綁處理，有A2（2）將8個體育生名額排成一列，在形成的中間7個空隙中插入4塊隔板，所以不同的放法種數為C7（3）第1步，先排4個朗誦節(jié)目共A44種；第2步，排說唱節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下4個空中選3個插空共有A43種，所以一共有（4）先分類:外科女醫(yī)生必選，則一組內科4男選1，外科4男選1；另一組內科3女中選1女，外科3男選2，共有C41C41C321．【詳解】（1）由題設，若為中點，連接，則，由面面，面面，面，則面，而面，故，又，，則，且，所以，故，所以，，面，則面，又面，所以.（2）過作，由（