四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

瀘縣四中2023年秋期高二期中考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把直線方程化為斜截式后可得斜率．【詳解】直線方程的斜截式為：，斜率為．故選：D．2.已知圓的圓心為，且過點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)代入求得，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，解得，所以圓的方程為.故選：D.3.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩數(shù)，則所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出基本事件的總數(shù)以及所取兩數(shù)均為偶數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】從中抽取兩個(gè)數(shù)基本事件有：共種，所取的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的有，共種，所以所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率為，故選：A.4.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值為A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.【詳解】已知兩直線平行，可得a?a（a+2）=0，即a2a2=0，解得a=2或1．經(jīng)過驗(yàn)證可得：a=2時(shí)兩條直線重合，舍去．∴a=1．故選D【點(diǎn)睛】對(duì)于直線若直線5.若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A6.已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓外離，把兩個(gè)圓的方程相減可得對(duì)稱軸的方程.【詳解】∵兩圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，且兩圓的圓心距為，∴兩圓外離，將兩個(gè)圓方程相減可得，即.故直線的方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)，把兩個(gè)圓的方程相減可得此直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.7.若過橢圓內(nèi)一點(diǎn)弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出端點(diǎn)，代入橢圓，兩式作差，變形，即可得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線即可．【詳解】設(shè)弦兩端點(diǎn)為，則①②得即直線為化簡(jiǎn)得故選C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓中弦的中點(diǎn)求弦所在的直線，解決本類題的思路是點(diǎn)差法：設(shè)點(diǎn)作差變形，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所在直線的的斜率，即可寫出直線，屬于基礎(chǔ)題．8.已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.[,]C. D.）【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），因?yàn)閮汕芯€，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，則：，即點(diǎn)P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.直線過定點(diǎn)（0，－2），直線方程即，只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即：，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是）.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求解與應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，平面內(nèi)的小方格均為邊長(zhǎng)是1的正方形，A，B，C，D，E，F(xiàn)均為正方形的頂點(diǎn)，P為平面外一點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】在平面內(nèi)選取兩個(gè)互相垂直的單位向量且，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，，再次利用空間向量的線性運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】在平面內(nèi)選取兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，則，，，則，.所以，.，.故選：ABD.10.已知橢圓M：（）的左?右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓M與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，且從，，A，B，C，D這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則下列選項(xiàng)中可以是橢圓M的離心率的有（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)所有可能的等邊三角形分類討論，得的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】不妨設(shè)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，為短軸端點(diǎn)，已知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，相應(yīng)的三角形只取其中一個(gè)即可；首先可能是等邊三角形，因?yàn)?，所以，此時(shí)不可能是等邊三角形，不合題意；若為等邊三角形，則，所以選項(xiàng)B有可能;若為等邊三角形，則,所以選項(xiàng)A有可能;若為等邊三角形，則；綜上可知，可以是橢圓M的離心率的有選項(xiàng)A和B.故選：AB.11.人民日?qǐng)?bào)智慧媒體研究院在2020智慧媒體高峰論壇上發(fā)布重磅智能產(chǎn)品—人民日?qǐng)?bào)創(chuàng)作大腦，在AI算法的驅(qū)動(dòng)下，無論是圖文編輯?視頻編輯，還是素材制作，所有的優(yōu)質(zhì)內(nèi)容創(chuàng)作都變得更加容易.已知某數(shù)據(jù)庫(kù)有視頻a個(gè)?圖片b張，從中隨機(jī)選出一個(gè)視頻和一張圖片，記“視頻甲和圖片乙入選”為事件A，“視頻甲入選”為事件B，“圖片乙入選”為事件C，則下列判斷中正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由相互獨(dú)立事件的概率的乘法計(jì)算公式，可得A錯(cuò)誤，B正確；事件包含“視頻甲未入選，圖片乙入選”、“視頻甲入選，圖片乙未入選”、“視頻甲?圖片乙都未入選”三種情況，所以，則，所以C正確；由題可知，，，因?yàn)閍，，，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選:BC.12.若實(shí)數(shù)滿足曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為C.直線與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)D.曲線C上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ABC【解析】【分析】畫出曲線的圖象，結(jié)合圖象對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】曲線，則，，所以曲線表示圓心是，半徑為的圓的上半部分.由圖可知，A正確表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，最小值為，B正確.直線過定點(diǎn)，，當(dāng)直線與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，由圖可知，的取值范圍是，C正確.設(shè)直線與直線的距離為，或.畫出直線和的圖象，結(jié)合圖象可知D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由于方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：14.在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用得余弦，進(jìn)而得正弦.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，則，，所以與所成角的正弦值為.故答案為：.15.已知點(diǎn)和點(diǎn)，P是直線上的一點(diǎn)，則的最小值是__________．【答案】3【解析】【分析】由題意可得兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值為【詳解】如圖，可得兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以的最小值為，因?yàn)?，直線為，所以，所以，所以的最小值是3故答案為：316.已知圓，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為弦上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為銳角，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，在以為圓心，以2為半徑的圓上，把在圓上運(yùn)動(dòng)恒為銳角轉(zhuǎn)化為以為圓心，以2為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓外離求解.【詳解】圓的半徑為為弦的中點(diǎn)，，的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，設(shè)中點(diǎn)為，，且當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為銳角，則以為圓心以2為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓外離，則，即，解得或，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．（2）利用兩直線平行的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得，由此求得得m的值．【詳解】（1）∵直線l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，可得1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．（2）由題意可知m不等于0,由l1∥l2可得，解得m＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行、垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．18.為了紀(jì)念2017年在德國(guó)波恩舉行的聯(lián)合國(guó)氣候大會(huì)，某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問答比賽》活動(dòng)．某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是．若各家庭回答是否正確互不影響．（1）求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，根據(jù)獨(dú)立事件概率的求法計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率的求法分別求出有0個(gè)、1個(gè)家庭回答正確的概率，利用間接法即可求出不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．【小問1詳解】記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則，，，即，，所以，．所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率為和.【小問2詳解】有0個(gè)家庭回答正確的概率，有1個(gè)家庭回答正確的概率，所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．19.如圖，三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面為菱形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，連接，，，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得平面；再證明，得到平面，推出，，從而可得線面垂直；（2）先由（1）可得，，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，分別以，為軸和軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和的法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，連接，，，如圖所示．由為的中點(diǎn)可得，又平面平面，平面平面，故平面．又為的中點(diǎn)．所以且．又且，所以且，因此四邊形為平行四邊形，所以且，所以平面，故，又四邊形為菱形，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，分別以，為軸和軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即可取，由（1）可知，為平面的一個(gè)法向量，所以．所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓C與直線相切于原點(diǎn)O．（1）求圓C的方程．（2）試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到定點(diǎn)的距離等于線段OF的長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在點(diǎn)，使Q到定點(diǎn)的距離等于線段OF的長(zhǎng).【解析】【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)圓和直線相切于原點(diǎn)及圓的半徑，列出滿足的條件，可求值；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)為根據(jù)點(diǎn)在圓上和到點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)，列方程組求解.【20題詳解】設(shè)圓的圓心為，則圓的方程為：.∵直線與圓相切于原點(diǎn)，∴點(diǎn)在圓上，且垂直于直線，于是有，解得：或.由于在第二象限，故，，故.∴圓的方程為：.【21題詳解】存在，這是因?yàn)椋涸O(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則：，解得：或（舍去），∴圓存在點(diǎn)，使到定點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng).21.已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的基本量的關(guān)系求解即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，，可得韋達(dá)定理，從而得到的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)垂直直線的斜率之積為1列式求解即可【小問1詳解】依題意有解得，.∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】假設(shè)在線段的中垂線上，聯(lián)立消去y得.設(shè)，，則，.∴.∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.∴，∴，即，解得.∴存在時(shí)，點(diǎn)在線段的中垂線上.22.已知圓O：x2＋y2＝16，點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)T（2，0），過點(diǎn)T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點(diǎn)．（i）過點(diǎn)T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點(diǎn)，求四