專(zhuān)題7.8 期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之基本平面圖形十六大必考點(diǎn)（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專(zhuān)題7.8基本平面圖形十六大考點(diǎn)【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的條數(shù)】 1【考點(diǎn)2雙中點(diǎn)線(xiàn)段問(wèn)題】 4【考點(diǎn)3線(xiàn)段的等分點(diǎn)問(wèn)題】 7【考點(diǎn)4線(xiàn)段動(dòng)點(diǎn)的定值計(jì)算】 12【考點(diǎn)5線(xiàn)段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問(wèn)題】 20【考點(diǎn)6剪繩子(端點(diǎn)重合)問(wèn)題】 27【考點(diǎn)7動(dòng)點(diǎn)中線(xiàn)段和差問(wèn)題】 32【考點(diǎn)8線(xiàn)段的長(zhǎng)短比較】 39【考點(diǎn)9時(shí)針和分針重合次數(shù)與時(shí)間】 41【考點(diǎn)10兩定角、雙角平分線(xiàn)與角度關(guān)系】 45【考點(diǎn)11線(xiàn)段、角的規(guī)律問(wèn)題】 55【考點(diǎn)12角度的翻折問(wèn)題】 58【考點(diǎn)13兩塊三角板旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 62【考點(diǎn)14射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】 68【考點(diǎn)15多邊形及其對(duì)角線(xiàn)】 78【考點(diǎn)16扇形及其圓心角】 81【考點(diǎn)1直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的條數(shù)】【例1】（2022·遼寧錦州·七年級(jí)期末）如圖，C，D是線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，若AB=8，CD=2，則圖中以C為端點(diǎn)的所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為_(kāi)_____．【答案】10【分析】先根據(jù)線(xiàn)段的定義表示出以C為端點(diǎn)的所有線(xiàn)段，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：以C為端點(diǎn)的所有線(xiàn)段分別是AC、CD、CB共3條，∵AB=8，CD=2，∴AC+CD+CB=（AC+CB）+CD=AB+CD=8+2=10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，找線(xiàn)段時(shí)要按照一定的順序做的不重不漏，求和時(shí)把相加等于AB的長(zhǎng)度的兩條線(xiàn)段結(jié)合成一組可以使運(yùn)算更簡(jiǎn)便．【變式1-1】（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級(jí)期末）閱讀并填空：?jiǎn)栴}：在一條直線(xiàn)上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)上總共有多少條線(xiàn)段？要解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以這樣考慮，以A為端點(diǎn)的線(xiàn)段有AB，AC，AD3條，同樣以B為端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)，以D為端點(diǎn)的線(xiàn)段也各有3條，這樣共有4個(gè)3，即4×3＝12（條），但AB和BA是同一條線(xiàn)段，即每一條線(xiàn)段重復(fù)一次，所以一共有______條線(xiàn)段．那么，若在一條直線(xiàn)上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線(xiàn)上共有______條線(xiàn)段；若在一條直線(xiàn)上有n個(gè)點(diǎn)，則這條直線(xiàn)上共有______條線(xiàn)段．知識(shí)遷移：若在一個(gè)銳角∠AOB內(nèi)部畫(huà)2條射線(xiàn)OC，OD，則這個(gè)圖形中總共有______個(gè)角；若在∠AOB內(nèi)部畫(huà)n條射線(xiàn)，則總共有______個(gè)角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個(gè)火車(chē)站，若一列火車(chē)往返過(guò)程中，必須?？棵總€(gè)車(chē)站，則鐵路局需為這段線(xiàn)路準(zhǔn)備______種不同的車(chē)票．【答案】6，10，nn-12，6，n+2【分析】問(wèn)題：根據(jù)線(xiàn)段的定義解答；知識(shí)遷移：根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計(jì)算出線(xiàn)段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車(chē)票解答．【詳解】解：?jiǎn)栴}：根據(jù)題意，則4×325×42nn-1知識(shí)遷移：在∠AOB內(nèi)部畫(huà)2條射線(xiàn)OC，OD，則圖中有6個(gè)不同的角，在∠AOB內(nèi)部畫(huà)n條射線(xiàn)OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)n+2學(xué)以致用：5個(gè)火車(chē)站代表的所有線(xiàn)段的條數(shù)12×5×4=10需要車(chē)票的種數(shù)：10×2=20（種）．故答案為：6，10，nn-12，6，n+2n+1【點(diǎn)睛】此題主要考查了線(xiàn)段的計(jì)數(shù)問(wèn)題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類(lèi)題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．【變式1-2】（2022·北京通州·七年級(jí)期末）如圖，棋盤(pán)上有黑、白兩色棋子若干，若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)3枚顏色相同的棋子，則這樣的直線(xiàn)共有_____條．【答案】3【分析】根據(jù)直線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)畫(huà)圖解答.【詳解】如圖，有3條.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的應(yīng)用.直線(xiàn)：直線(xiàn)向兩方無(wú)限延伸，無(wú)法度量長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，而兩條直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn).【變式1-3】（2022·黑龍江·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)七年級(jí)期末）平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線(xiàn)，若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線(xiàn)，則n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線(xiàn)；不同三點(diǎn)最多可確定3條直線(xiàn)；不同4點(diǎn)最多可確定（1+2+3）條直線(xiàn)，不同5點(diǎn)最多可確定（1+2+3+4）條直線(xiàn)，因?yàn)?+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線(xiàn)．故選：C．【考點(diǎn)2雙中點(diǎn)線(xiàn)段問(wèn)題】【例2】（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）在一條直線(xiàn)上依次有E、F、G、H四點(diǎn)．若點(diǎn)F是線(xiàn)段EG的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段EH的中點(diǎn)，則有（）A．EF=GH B．EG>GH C．GH>2FG D．FG=【答案】D【分析】依據(jù)點(diǎn)F是線(xiàn)段EG的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段EH的中點(diǎn)，即可得到EF＝FG，EG＝GH，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：∵點(diǎn)F是線(xiàn)段EG的中點(diǎn)，∴EF＝FG，∵點(diǎn)G是線(xiàn)段EH的中點(diǎn)，∴EG＝GH，∴FG＝12GH故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由圖判斷線(xiàn)段關(guān)系，涉及線(xiàn)段的中點(diǎn)概念：把一條線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn)，讀懂圖形中各個(gè)線(xiàn)段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東東營(yíng)·期末）如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)．(1)若線(xiàn)段AB＝a，CE＝b且(a-16)2+|2b-8|=0，求a，(2)在（1）的條件下，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可推出a、b的值；（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出AB和CE的長(zhǎng)度，根據(jù)圖形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的長(zhǎng)度，由D為AE的中點(diǎn)，即可推出DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系可求出CD的長(zhǎng)度．（1）解：∵(a-16)2∴a-16=0，2b-8=0，∴a=16，b=4；（2）解：∵點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AB=16，CE=4，∴AC=12AB=8∴AE=AC+CE=12，∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，∴DE=12AE=6∴CD=DE-CE=6-4=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線(xiàn)段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于正確的進(jìn)行計(jì)算，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2-2】（2022·山東濰坊·七年級(jí)期末）已知點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)．(1)如圖所示，若C在線(xiàn)段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求線(xiàn)段BC，MN的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足AC-BC=a厘米，請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)圖，并求MN的長(zhǎng)度（結(jié)果用含a的式子表示）．【答案】(1)BC=7cm；(2)作圖見(jiàn)解析，MN=12【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)”，先求出MC的長(zhǎng)度，再利用BC=MB-MC，CN=12BC，MN=CM+CN即可求出線(xiàn)段BC，MN的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)題意，M點(diǎn)的位置分兩種情況：先畫(huà)圖，再根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義得MC=12AC，NC=12BC，然后利用【詳解】（1）解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MC=1∴BC=MB-MC=7cm又N為BC的中點(diǎn)，∴CN=1∴MN=MC+NC=6.5cm（2）解：根據(jù)題意，M點(diǎn)的位置分兩種情況：①M(fèi)點(diǎn)的位置在B點(diǎn)左側(cè)，如圖所示：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴CM=1∵N是BC的中點(diǎn)，∴CN=1∴MN=CM-CN=12AC-②M點(diǎn)的位置在B點(diǎn)右側(cè)，如圖所示：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴CM=1∵N是BC的中點(diǎn)，∴CN=1∴MN=CM-CN=12AC-【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線(xiàn)段的中點(diǎn)定義，理解線(xiàn)段的中點(diǎn)把線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級(jí)期末）一條直線(xiàn)上有A，B，C三點(diǎn)，AB=8cm，AC=18cm，點(diǎn)P，Q分別是AB，AC的中點(diǎn)，則PQ=【答案】13cm或【分析】因?yàn)橹本€(xiàn)上三點(diǎn)A、B、C的位置不明確，所以要分B在A，C兩點(diǎn)之間和A在C、B兩點(diǎn)之間兩種情況，分別結(jié)合圖形并根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意由兩種情況①若B在A，C兩點(diǎn)之間，如圖：則PQ=AQ-AP=12∵AB=8cm∴PQ=12②若C在A，B兩點(diǎn)之間，如圖：則PQ=AP+AQ=∵AB=8cm∴PQ=12故答案為：13cm或5cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)定義、線(xiàn)段的和差等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意正確畫(huà)出符合題意的圖形是解答本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)3線(xiàn)段的等分點(diǎn)問(wèn)題】【例3】（2022·吉林白城·七年級(jí)期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為－10，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，解答下列問(wèn)題．（1）數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)和點(diǎn)Q表示的數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，求t的值；（3）點(diǎn)P追上點(diǎn)Q時(shí)，求t的值；（4）若點(diǎn)B恰好是線(xiàn)段PQ的3等分點(diǎn)時(shí)，t的值為．【答案】（1）-10+4t，2+2t；（2）t=43；（3）t=6；（4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，在結(jié)合路程=速度×?xí)r間，即可解答（2）根據(jù)相反數(shù)的定義，在結(jié)合（1）的結(jié)論列方程即可（3）根據(jù)題意列方程求解即可（4）根據(jù)題意列方程求解即可【詳解】解：（1）數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為：-10+4t；點(diǎn)Q表示的數(shù)為：2+2t

（2）由題意得-10+4t解得t=即t=43時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)和點(diǎn)（3）由題意得4t=2t+2+解得t=6即當(dāng)點(diǎn)P追上點(diǎn)Q時(shí)，t=6（4）由題意得：2--10+4t=解得：t=1.5或t=2.4【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適等量關(guān)系流出方程，在求解．【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線(xiàn)段BD的四等分點(diǎn)．若CB=2，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】16【分析】根據(jù)中點(diǎn)和四等分點(diǎn)的性質(zhì)可得AD=BD=12AB，BC=14【詳解】解：∵點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線(xiàn)段BD的四等分點(diǎn)∴AD=BD=12AB∴BC=1∵CB=2，∴AB=16故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，n等分點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖，已知線(xiàn)段AB，延長(zhǎng)線(xiàn)段BA至C，使CB＝43AB（1）請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫(xiě)出ACAB＝_______（2）設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線(xiàn)AB向左運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)，求ADCE②在點(diǎn)D，E沿直線(xiàn)AB向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，M，N分別是線(xiàn)段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線(xiàn)段BD的三等分點(diǎn)時(shí)，求MN的長(zhǎng)．【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm或24cm【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，表示出線(xiàn)段長(zhǎng)即可得到結(jié)論；②分BD=3CD和BD=3CB兩種情況，根據(jù)三等分點(diǎn)求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出MD、NB的長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝43AB∴CA＝BC-AB=1ACAB故答案為：13（2）①AB＝9cm，由（1）得，CA=13AB=3（cm）DA=(9-3t)cm，CE=(3-t)cm，ADCE②當(dāng)BD=3CD時(shí)，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=2CD=12cm，∴CD=6cm，BD=3CD=18cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：18÷3=6（秒），則AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD-BE=3cm，∵M(jìn)，N分別是線(xiàn)段DE、AB的中點(diǎn)．∴DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD-DM-BN=12cm，當(dāng)BD=3CB時(shí)，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=12cm，∴BD=3CB=36cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：36÷3=12（秒），則AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD-BE=15cm，∵M(jìn)，N分別是線(xiàn)段DE、AB的中點(diǎn)．∴DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD-DM-BN=24cm，綜上，MN的長(zhǎng)是12cm或24cm．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的計(jì)算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練表示出線(xiàn)段長(zhǎng)．【變式3-3】（2022·遼寧錦州·七年級(jí)期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=1n【答案】(1)6(2)①12a；②MN=2【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+CN（2）①由M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故②由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23③由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，即得MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1n（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=12AC=4，CN=12BC∴MN=CM+CN=6；故答案為：6；（2）解：①∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=1∵AB=a，∴MN=12a故答案為：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=2∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n-1nAC，CN=n-1n∴MN=CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1∵AB=a，∴MN=n-1na故答案為：n-1na【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的中點(diǎn)、線(xiàn)段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的定義及線(xiàn)段和差運(yùn)算．【考點(diǎn)4線(xiàn)段動(dòng)點(diǎn)的定值計(jì)算】【例4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級(jí)期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿(mǎn)足a+1+(1)如圖1，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程2x+1=12x-2的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使PA+PB=BC(3)如圖2，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，PA的中點(diǎn)為M，N為PB靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①PM-2BN的值不變；②PM-2【答案】(1)4(2)存在，當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為-1.5或3.5時(shí)，PA+PB=BC；理由見(jiàn)解析(3)結(jié)論①正確，PM-2BN=2【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出AB的長(zhǎng)；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，由PA+PB=BC確定出P位置，即可做出判斷；（3）設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，就有PA=n+1，PB=n-3，根據(jù)條件就可以表示出PM=n+12，BN=n-34，再分別代入①PM-2BN和②(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，∴AB=|-1-3|=4．答：AB的長(zhǎng)為4；(2)解：存在，∵2x+1=1∴x=-2，∴BC=-2-3=5．設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，∵PA+PB=BC，∴|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．①當(dāng)m≤-1時(shí)，-m-1+3-m=5，m=-1.5；②當(dāng)-1＜m≤3時(shí)，m+1+3-m=5，（舍去）；③當(dāng)m＞3時(shí)，m+1+m-3=5，m=3.5．∴當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為-1.5或3.5時(shí)，PA+PB=BC；(3)解：設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴PA=n+1，PB=n-3．∵PA的中點(diǎn)為M，∴PM=12PA=n+1∵N為PB的四等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴BN=14PB=n-3∴①PM-2BN=n+12-2×n-34②PM+23BN=n+12+23×n-34=∴正確的結(jié)論為①，且PM-2BN=2．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的運(yùn)用，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，去絕對(duì)值的運(yùn)用，一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式．【變式4-1】（2022·湖北孝感·七年級(jí)期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為9，點(diǎn)B表示的數(shù)為-6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tt>0(1)數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為_(kāi)_________（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AP=2BP？(3)若M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)9-5t.(2)t=2或t=6(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列一元一次方程，解方程求解即可；（3）分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，分別計(jì)算MN，即可求解．(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為9，以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tt>0則數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為9-5t故答案為：9-5t(2)AP=5t，BP=9-5t+6∵AP=2BP，∴5t=2×15-5t，∴5t=30-10t或5t=10t-30解得t=2或t=6，∴當(dāng)t=2或t=6時(shí)，AP=2BP；(3)①當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，如圖1所示.MN=②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖2所示.MN=綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度為定值152【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一元一次方程的應(yīng)用，線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（衢州華茂外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，AC=nAB時(shí)，我們稱(chēng)n為點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上的“點(diǎn)值”，記作dAC例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即AC=12AB反之，當(dāng)dACAB=因此，我們可以這樣理解：“dACAB=n”與“【理解與應(yīng)用】(1)如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上．若AC=3，AB=4，則dACAB若dACAB=23【拓展與延伸】(2)已知線(xiàn)段AB=10cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，m?dAPAB+dAQAB②t為何值時(shí)，dAQ【答案】(1)34，(2)①3；②2或6【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)值”的定義即可得出答案；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，再根據(jù)m?dAPAB+d②分點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種情況加以分析即可（1）解：∵AC=3，AB=4，∴AC=∴dAC∵dAC∴AC=（2）解：①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，AQ=10-3t，則dAPAB∵m?dAP∴m?t∴m=3②當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵d∴10-3t∴t=2當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵d∴3t∴t=6∴t的值為2或6【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知線(xiàn)段AB＝m，CD＝n，線(xiàn)段CD在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿(mǎn)足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線(xiàn)段CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，若M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；②P是直線(xiàn)AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線(xiàn)段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①M(fèi)N=8，②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，即可得到答案；②設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進(jìn)行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)∴AM=CM=12AC，DN=BN=1∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+1=12AC+12CD+12=12(AC+CD+BD)+1=12=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：a+8解得：a=2在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)∴CE=BE=12BC=2+tⅠ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時(shí)F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時(shí)FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時(shí)FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，線(xiàn)段的和差倍分的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，絕對(duì)值的非負(fù)性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段的中點(diǎn)定義進(jìn)行解題，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行分析．【考點(diǎn)5線(xiàn)段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問(wèn)題】【例5】（2022·浙江舟山·七年級(jí)期末）已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線(xiàn)段DE在線(xiàn)段AB上移動(dòng)，①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C是線(xiàn)段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）若AB＝2DE，線(xiàn)段DE在直線(xiàn)上移動(dòng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式AD+ECBE=32，則CDAB【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）17【分析】（1）根據(jù)已知條件得到BC＝6，AC＝12，①由線(xiàn)段中點(diǎn)的定義得到CE＝3，求得CD＝5，由線(xiàn)段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②當(dāng)點(diǎn)C線(xiàn)段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，可求得CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，則CD＝（2）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC之間時(shí)，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，設(shè)CE＝y(tǒng)，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，求得DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，得到y(tǒng)＝4x【詳解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E為BC中點(diǎn)，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵點(diǎn)C是線(xiàn)段DE的三等分點(diǎn)，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE∴CD＝163或CD＝8∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83（2）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC之間時(shí)，如圖，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵AD+ECBE∴0.5x+y+yx-y∴y＝27x∴CD＝1.5x﹣27x＝1714∴CDAB當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x，∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝∴y-0.5x+yx+y∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴CDAB當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上及點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，無(wú)解，綜上所述CDAB的值為1742或故答案為：1742或11【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)、線(xiàn)段的和差、準(zhǔn)確識(shí)圖分類(lèi)討論DE的位置是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·廣西河池·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)M位于數(shù)軸原點(diǎn)，C點(diǎn)從M點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示的數(shù)為7，當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)A，B分別表示-2，6，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．(3)若AM=14AB，N是數(shù)軸上的一點(diǎn)，且AN-BN=MN【答案】(1)CD=3(2)當(dāng)t=65時(shí)點(diǎn)D是線(xiàn)段(3)MNAB=【分析】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間可以計(jì)算出C、D運(yùn)行的路程，進(jìn)而求出MD的值，根據(jù)CD=CM+MD可求；（2）先表示出BD和CD，再根據(jù)點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，列方程求解；（3）分N在線(xiàn)段AB上和點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，分別求解．（1）解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，又∵點(diǎn)A表示-3，點(diǎn)B表示7，∴AM=3，BM=7∴MD=BM-BD=7-6=1∴CD=CM+MD=2+1=3．（2）解：∵點(diǎn)A，B分別表示-2，6，所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6-3t，CD=MD+MC=t+6-3t當(dāng)D是BC的中點(diǎn)時(shí)CD=BD，即t+6-3t=3t，t=∴當(dāng)t=65時(shí)點(diǎn)D是線(xiàn)段（3）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN∴BN=AM，又∵AM=∴MN=12②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB∴MN=AB，即MN綜上所述MNAB=1【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的和差和中點(diǎn)，及兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程，解題分關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)路程與線(xiàn)段的關(guān)系．【變式5-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線(xiàn)BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線(xiàn)段AM上，D在線(xiàn)段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【答案】(1)7(2)1(3)13或【分析】（1）計(jì)算出CM和BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC結(jié)合（1）問(wèn)便可解答；（3）由AN＞BN，分兩種情況討論：①點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上時(shí)，②點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)；結(jié)合圖形計(jì)算出線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系即可求解；（1）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s時(shí)，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13故答案為：13（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14AB①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝14AB∴MN＝12AB，即2MN3AB②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴MNAB=1,即2MN3AB綜上所述2MN3AB＝1【點(diǎn)睛】本題考查求線(xiàn)段長(zhǎng)短的知識(shí)，關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，根據(jù)條件理清線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系再解答．【變式5-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖1，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線(xiàn)BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線(xiàn)段AM上，D在線(xiàn)段BM上）（1）若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，此時(shí)AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，求AC+MD的值．（3）若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）（4）在（3）的條件下，N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【答案】（1）2，4；（2）6cm；（3）4；（4）MNAB=1【分析】（1）先求出CM、BD的長(zhǎng)，再根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB＝2AM，然后根據(jù)AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上和點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，再分別根據(jù)線(xiàn)段的和差倍分即可得．【詳解】（1）根據(jù)題意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案為：2cm，4cm；（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；（3）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD＝2MC，∵M(jìn)D＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB＝4故答案為：4；（4）①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴MNAB②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴MNAB綜上所述MNAB=故答案為MNAB=1【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線(xiàn)段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)6剪繩子(端點(diǎn)重合)問(wèn)題】【例6】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）把根繩子對(duì)折成一條線(xiàn)段AB，在線(xiàn)段AB取一點(diǎn)P，使AP=13PB，從P處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為24A．32cm B．64cm C．32cm或64cm D【答案】C【分析】由于題目中的對(duì)折沒(méi)有明確對(duì)折點(diǎn)，所以要分A為對(duì)折點(diǎn)與B為對(duì)折點(diǎn)兩種情況討論，討論中抓住最長(zhǎng)線(xiàn)段即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖∵AP=1∴2AP=23PB①若繩子是關(guān)于A點(diǎn)對(duì)折，∵2AP＜PB∴剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為PB=30cm，∴繩子全長(zhǎng)=2PB+2AP=24×2+23×24=64cm②若繩子是關(guān)于B點(diǎn)對(duì)折，∵AP＜2PB∴剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×13∴繩子全長(zhǎng)=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段的對(duì)折與長(zhǎng)度比較，解題中滲透了分類(lèi)討論的思想，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性，在今后解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．【變式6-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一段72cm長(zhǎng)的繩子，從一端開(kāi)始每3cm作一記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，然后從有記號(hào)的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【分析】先求出每3厘米作一個(gè)記號(hào)，可以作幾個(gè)記號(hào)；再求出每4厘米作一個(gè)記號(hào)，可以作幾個(gè)記號(hào)；因?yàn)?和4的最小公倍數(shù)是12，所以每12厘米處的記號(hào)重合，由此即可求出繩子被剪出的段數(shù)．【詳解】解：∵繩子長(zhǎng)72cm，∴每3cm作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72÷3＝24（段），可以做24?1＝23個(gè)記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72÷4＝18（段），可以做18?1＝17個(gè)記號(hào)，∵3和4的最小公倍數(shù)是12，所以重合的記號(hào)有：72÷12?1＝5（個(gè)），∴有記號(hào)的地方共有23＋17?5＝35，∴這段繩子共被剪成的段數(shù)為35＋1＝36（段）．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線(xiàn)段，關(guān)鍵是正確理解每3厘米、4厘米作一個(gè)記號(hào)，可以作幾個(gè)記號(hào)，有多少的記號(hào)重合．【變式6-2】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖，將一股標(biāo)有0～60均勻刻度的繩子鋪平后折疊(繩子無(wú)彈性)，使繩子自身的一部分重疊，然后在重疊部分某處剪斷，將繩于分為A，B，C三段若這三段的長(zhǎng)度的比為3：2：1，則折痕對(duì)應(yīng)的刻度是__________．【答案】20【分析】設(shè)折痕對(duì)應(yīng)的刻度為x，根據(jù)折疊的性質(zhì)和A，B，C三段的長(zhǎng)度的比為3：2：1，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)折痕對(duì)應(yīng)的刻度為x，由A，B，C三段長(zhǎng)度的比為3：2：1，可得三段長(zhǎng)度分別是30、20、10，依題意得：x＝202＋10＝20故答案為：20．【點(diǎn)睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用和圖形的剪拼，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．【變式6-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，將一段長(zhǎng)為60厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無(wú)彈性，折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'①如圖2，若A',B'恰好重合于點(diǎn)O處，②如圖3，若點(diǎn)A'落在B'的左側(cè)，且A'B③若A'B'=ncm，求MN（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，直接寫(xiě)出【答案】（1）①30，②40cm，③30+n2cm或30-n2cm；（2）25cm或27.5cm或【分析】（1）①根據(jù)MN=MO+NO=12AO+12BO=1②根據(jù)M、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，得出AM=12AA'，BN=12BB'，再由③根據(jù)M、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，得出AM=12AA'，BN=12BB'，然后分兩種情況點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)，點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)，根據(jù)（2）根據(jù)三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，得出繩子被剪分為15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情況討論，根據(jù)AN=AP+12P【詳解】解：（1）①M(fèi)N=MO+NO=12AO+12BO=1②因?yàn)锳B=60cm，A′B′=20cm，所以AA′+BB′=AB-A′B′=60-20=40cm．根據(jù)題意得，M、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，所以AM=12AA'，BN=AM+BN=12AA'+12BB'=1所以MN=AB–（AM+BN）=60-20=40cm．③因?yàn)镸、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，所以AM=12AA'，BN=（?。┤鐖D，若點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)，AA′+BB′=AB-A′B′=(60–n)cm．AM+BN=12AA'=12AA'+BB'=1所以MN=AB–（AM+BN）=60-30-n（ⅱ）如圖，若點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)，

AA′+BB′=AB+A′B′=(60+n)cm．AM+BN=12AA'=12AA'+BB'=1所以MN=AB–（AM+BN）=60-30+n2=綜上，MN的長(zhǎng)度為30+n2cm或30-（2）如圖，∵三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，∴60×33+4+5=15，故繩子被剪分為15cm，20cm，25cm三段當(dāng)B'P'=15，PPAN=AP+12PP'=25+當(dāng)B'P'=15，PPAN=AP+12PP'=20+當(dāng)B'P'=20，PPAN=AP+12PP'=25+當(dāng)B'P'=20，PPAN=AP+12PP'=15+當(dāng)B'P'=25，PPAN=AP+12PP'=15+當(dāng)B'P'=25，PPAN=AP+12PP'=20+綜上AN所有可能的長(zhǎng)度為：25cm或27．5cm或32．5cm或35cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段的計(jì)算、線(xiàn)段的折疊問(wèn)題、線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，注意審題及分類(lèi)討論思想．【考點(diǎn)7動(dòng)點(diǎn)中線(xiàn)段和差問(wèn)題】【例7】（2022·全國(guó)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式(a+10)x3+20x2-5x+3是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，且二次項(xiàng)系數(shù)為(1)a=___________，b=___________，線(xiàn)段AB=___________；(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，使得AC=32BC，點(diǎn)M為(3)有一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，以56個(gè)單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＜30），點(diǎn)D為線(xiàn)段GB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段DH的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段GB上且GE=13GB【答案】(1)-10，20，30；(2)3或75；(3)252【分析】（1）由題意直接可求解；（2）①當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí)，如圖1，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖2，分別計(jì)算AC和AM的長(zhǎng)，相減可得結(jié)論；（3）本題有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)G和H，根據(jù)速度和時(shí)間可得點(diǎn)G表示的數(shù)為：-10+t，點(diǎn)H表示的數(shù)為：20+56t，根據(jù)中點(diǎn)的定義得點(diǎn)D和F表示的數(shù)，由EG=13BG【詳解】（1）解：由題意知：a+10=0∴a=∴AB的距離為20故答案為：-10，20，30（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí)，如圖1，∵AC=32∴AC=18∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AM=15∴CM=18②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖2，∵AC=32∴AC=90∵AM=15∴CM=90綜上，CM的長(zhǎng)是3或75；（3）由題意得：點(diǎn)G表示的數(shù)為：：-10+t，點(diǎn)H表示的數(shù)為：∵t<30，AB∴點(diǎn)G在線(xiàn)段AB之間，∵D為BG的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為：20+(-10+t)2∵F是DH的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F表示的數(shù)為：5+1∵BG=20∵EG=∴EG=30-t3∴點(diǎn)E表示的數(shù)為：-10+t+10-13∴DE+DF=(5+12【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式和數(shù)軸；與中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分情況列出合適的方程，進(jìn)行求解是關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直線(xiàn)AB上，線(xiàn)段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PM=10時(shí)，PN=；(2)若點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PM=2PN時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)PN=2(2)8或24(3)PN-PM=1【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計(jì)算即可求解；（2）分點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)和線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論，從而求解；（3）先將PM和PN表示出來(lái)，再求出線(xiàn)段AB、PM、PN之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，PM=10，∴AP=20，∵線(xiàn)段AB=24，N為BP的中點(diǎn)，∴PN=24-20故答案是：2；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，PM=2PN時(shí)，如圖，∵PM=AM=12AP=t∴t=212-t，解得：t=8②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PM=2PN時(shí)，如圖，∵PM=AM=12AP=t∴t=2t-12，解得：t=24綜上所述，當(dāng)PM=2PN時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為8或24．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，PN-PM=1∵PM=AM=12AP∴PN-PM=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線(xiàn)段之間的關(guān)系，熟練掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·福建·廈門(mén)市松柏中學(xué)七年級(jí)期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為9，動(dòng)點(diǎn)B，C在數(shù)軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)），總保持BC=n（n大于0且小于4.5），設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為m．(1)如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B，C在線(xiàn)段OA上移動(dòng)時(shí)，①若n=2，且B為OA中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)B表示的數(shù)為_(kāi)_________，點(diǎn)C表示的數(shù)為_(kāi)_________；②若AC=OB，求多項(xiàng)式6m+3n-40的值；(2)當(dāng)線(xiàn)段BC在射線(xiàn)AO上移動(dòng)時(shí)，且AC-OB=12AB，求m【答案】(1)①4.5，6.5；②-13；(2)m=3-23n或m【分析】（1）①由點(diǎn)A表示的數(shù)得到OA=9，根據(jù)B為OA中點(diǎn)，得到OB=4.5，可知點(diǎn)B表示的數(shù)；由BC=n=2，點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，即可得到點(diǎn)C表示的數(shù)；②根據(jù)AC=OB，BC=n，點(diǎn)B表示的數(shù)為m，得到2m+n=9，代入計(jì)算即可；（2）分別用n、m表示出AC、OB、AB，進(jìn)一步利用AC-OB=1(1)解：①∵點(diǎn)A表示的數(shù)為9，∴OA=9，∵B為OA中點(diǎn)，∴OB=4.5，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為4.5；∵BC=n=2，點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，∴4.5+2=6.5，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為6.5；故答案為：4.5，6.5；②∵AC=OB，BC=n，點(diǎn)B表示的數(shù)為m．∴2m+n=9，∴6m+3n-40=3(2m+n)-40=3×9-40=-13；(2)解：①當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，AC=9-(m+n)=9-m-n，OB=m，AB=9-m，9-m-n-m=1解得m=3-2②當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AC=9-(m+n)=9-m-n，OB=-m，AB=9-m，9-m-n+m=1解得m=2n-9；綜上，m=3-23n或m=2【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，考查了數(shù)軸與兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，根據(jù)數(shù)軸確定出線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線(xiàn)l上有A，B兩點(diǎn)，AB＝12cm，點(diǎn)O是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），且滿(mǎn)足AC＝CO+CB，求CO的長(zhǎng)；（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2cm/s．點(diǎn)Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線(xiàn)l看作以O(shè)為原點(diǎn)，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時(shí)，2OP﹣OQ＝4（cm）．【答案】（1）8，4；（2）43cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8【分析】（1）由于AB＝12cm，點(diǎn)O是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB，則OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根據(jù)圖形可知，點(diǎn)C是線(xiàn)段AO上的一點(diǎn)，可設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，分兩種情況：①點(diǎn)C在線(xiàn)段OA上時(shí)；②點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上時(shí)，根據(jù)AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求解；②分兩種情況：0＜t＜4（P在O的左側(cè)）；4≤t≤12（P在O的右側(cè)）；進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案為：8，4；（2）設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，分兩種情況：①點(diǎn)C在線(xiàn)段OA上時(shí)，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣43②點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上時(shí)，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合題意，舍）．故CO的長(zhǎng)是43cm（3）①t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣8+2t；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為4+t．故答案為：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左側(cè)），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右側(cè)），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．綜上所述，t＝1.6或8時(shí)，2OP﹣OQ＝4cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，數(shù)軸上點(diǎn)的表示，比較復(fù)雜，要認(rèn)真理清題意，并注意數(shù)軸上的點(diǎn)，原點(diǎn)左邊表示負(fù)數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離等于任意兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對(duì)值．【考點(diǎn)8線(xiàn)段的長(zhǎng)短比較】【例8】（2022·陜西·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一條線(xiàn)段EF，使EF的長(zhǎng)等于a+b，并比較線(xiàn)段EF與線(xiàn)段AB的長(zhǎng)短．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【詳解】試題分析：直接利用圓規(guī)連續(xù)截取兩條線(xiàn)段分別等于a，b進(jìn)而得出答案；試題解析：如圖所示：EF即為所求，EF＞AB.【變式8-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為比較兩條線(xiàn)段AB與CD的大小，小明將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合使兩條線(xiàn)段在一條直線(xiàn)上，點(diǎn)B在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則(

)A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能【答案】B【詳解】解：由點(diǎn)A與點(diǎn)C重合使兩條線(xiàn)段在一條直線(xiàn)上，點(diǎn)B在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，得AB＞CD．故選B．【變式8-2】（2022·浙江·衢州華茂外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，已知AC=BD，則AB與CD之間的大小關(guān)系是()A．AB>CD. B．AB=CD. C．AB<CD. D．無(wú)法確定.【答案】B【分析】根據(jù)AC=BD,將等量線(xiàn)段都減去BC即可解答此題.【詳解】∵AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD,故選B.【點(diǎn)睛】此題考察線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，利用AC=BD,將等量線(xiàn)段都減去BC即可解答此題.【變式8-3】（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．(1)若AB=CD．①比較線(xiàn)段的大?。篈C________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC=34AC，且AC=16cm，則AD(2)若線(xiàn)段AD被點(diǎn)B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是18cm，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)①=；②20(2)27cm【分析】（1）①根據(jù)等式的性質(zhì)，得出答案；②求出BC的值，在求出AB、CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)線(xiàn)段的比，線(xiàn)段中點(diǎn)的意義，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可．(1)解：①∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即，AC=BD，故答案為：=；②∵BC=34AC∴BC=3∴AB=CD=AC-BC=16-12=4(cm)，∴AD=AC+CD=16+4=20(cm)，故答案為：20；(2)解：如圖所示，設(shè)每份為x，則AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵M(jìn)N=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段及其中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解線(xiàn)段中點(diǎn)的意義．【考點(diǎn)9時(shí)針和分針重合次數(shù)與時(shí)間】【例9】（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?，如果時(shí)間從下午2點(diǎn)整到下午4點(diǎn)整，鐘面角為90°的情況有（

）A．有一種 B．有二種 C．有三種 D．有四種【答案】D【詳解】試題解析：設(shè)n=分，m=點(diǎn)，則鐘面角為{5.5°×n-30°×m將m=2代入上式，得n1=27311，n2=60-5511=54將m=3代入上式，得n3=32811，n4=04：00時(shí)，鐘面角為30°×4=120°≠90°．故選D．考點(diǎn)：鐘面角．【變式9-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成題目：

（1）一個(gè)角的余角與補(bǔ)角的和是這個(gè)角的補(bǔ)角與余角的差的兩倍，求這個(gè)角．

（2）從兩點(diǎn)三十分時(shí)開(kāi)始算起，鐘表上的時(shí)針與分針經(jīng)過(guò)多久第一次重合？【答案】（1）這個(gè)角是45°；（2）經(jīng)過(guò)51011【分析】（1）設(shè)這個(gè)角是x°，則余角是（90-x）°，補(bǔ)角是（180-x）°，然后根據(jù)余角與補(bǔ)角的和是這個(gè)角的補(bǔ)角與余角的差的兩倍，即可列方程求解；（2）根據(jù)分針與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度結(jié)合夾角為90°，得出等式求出即可.【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)角是x°，則余角是（90﹣x）°，補(bǔ)角是（180﹣x）°根據(jù)題意得：（90﹣x）+（180﹣x）=2（解得：x=45．則這個(gè)角是45°.（2）解：兩點(diǎn)三十分時(shí)時(shí)針和分針的夾角是：105°，設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，時(shí)針和分針第一次重合，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°．則6x﹣0.5x=360﹣105，解得：x=51011則經(jīng)過(guò)51011分鐘，時(shí)針和分針第一次重合【點(diǎn)睛】本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角．在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系以及利用時(shí)針和分針的位置關(guān)系得出等式.【變式9-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）時(shí)鐘上的分針和時(shí)針像兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員，繞著它們的跑道晝夜不停地運(yùn)轉(zhuǎn)．以下請(qǐng)你解答有關(guān)時(shí)鐘的問(wèn)題：(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？(2)中午12時(shí)整后再經(jīng)過(guò)幾分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于121°？(3)在(2)中所述分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角等于121°后，再經(jīng)過(guò)幾分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于121°？【答案】(1)6°(2)22(3)236【分析】（1）根據(jù)分針一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈即360°，用360°除以60計(jì)算即得；（2）根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差是121°，列方程解答即可；（3）相對(duì)于12時(shí)整第二次所成的鈍角第二次等于121°時(shí)，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差超過(guò)180°，這個(gè)差與121°之和是360°．【詳解】（1）解：∵分針一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈即360°,∴分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是：360°÷60=6°,答：分針每分鐘轉(zhuǎn)了6度；（2）設(shè)中午12時(shí)整后再經(jīng)過(guò)x分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于121°，∵時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為：360°÷12=30°，時(shí)分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是：30°÷60=0.5°；∵分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于121°，∴時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差是121°，∴6x-0.5x=121，解得：x=22，答：中午12時(shí)整后再經(jīng)過(guò)22分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于121°；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)y分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于121°，則從12時(shí)算起經(jīng)過(guò)(y+22)分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于121°，因?yàn)闀r(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差超過(guò)180°，這個(gè)差與121°之和是360°，故列得方程：6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得：6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得：y=236答：經(jīng)過(guò)23611分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于121°【點(diǎn)睛】本題通過(guò)鐘面角考查一元一次方程，掌握時(shí)針?lè)轴樀霓D(zhuǎn)動(dòng)情況，會(huì)根據(jù)已知條件列方程是解題的關(guān)鍵．選擇合適的初始時(shí)刻會(huì)簡(jiǎn)化理解和運(yùn)算難度，起到事半功倍的效果．【變式9-3】（2022·江蘇·射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）探究實(shí)驗(yàn)：《鐘面上的數(shù)字》實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r(shí)針與分針在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想．實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：機(jī)械鐘（手表）一只實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟：觀察與思考：（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)__°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)__°．（2）若時(shí)間為8：30，則鐘面角為_(kāi)_°，（鐘面角是時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵┎僮髋c探究：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，使時(shí)針與分針重合在12點(diǎn)處．再次轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，算一算，什么時(shí)刻時(shí)針與分針再次重合？一天24小時(shí)中，時(shí)針與分針重合多少次？（一天中起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻時(shí)針與分針重合次數(shù)只算一次，下同）（2）轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，使時(shí)針與分針重合在12點(diǎn)處，再次轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，算一算，什么時(shí)刻鐘面角第一次為90°？一天24小時(shí)中，鐘面角為90°多少次？拓展延伸：一天24小時(shí)中，鐘面角為180°__次，鐘面角為n°（0＜n＜180）____次．（直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】觀察與思考：（1）0.5，6，（2）75；操作與探究：（1）1211，22；（2）311

，44；拓展延伸：22，【詳解】解析:試題分析：觀察與思考：(1)鐘表12個(gè)數(shù)字,每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°即可得出答案;(2)鐘表上8:30,時(shí)針指向8和9的中間,分針指向6,即可得出答案,時(shí)針和分針相隔2.5個(gè)格;操作與探究：(1)①設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)時(shí)針與分針再次重合，根據(jù)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度=時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度+360°列出方程即可得出答案；②設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)時(shí)針與分針再次重合，根據(jù)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度=時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度+90°列出方程即可得出答案；拓展延伸：根據(jù)一天時(shí)針與分針重合的次數(shù)，結(jié)合每重合一次都會(huì)出此案兩次n的角可得到答案.解：觀察與思考：（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；（2）30°×2.5=75°操作與探究：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)時(shí)針與分針再次重合．360x=30x+360解得：x=1211∵時(shí)針與分針每經(jīng)過(guò)x=1211∴24÷1211=22答：1211時(shí)時(shí)針與分針再次重合．一天24小時(shí)中，時(shí)針與分針重合22（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y小時(shí)鐘面角第一次為90°．360y=30y+90，解得：y=311∵每經(jīng)過(guò)x=1211時(shí)針與分針重合一次，而鐘面角為90°∴24÷1211×2=44答：12311時(shí)鐘面角第一次為90°．一天24小時(shí)中，鐘面角為90°44拓展延伸：由2可得：一天24小時(shí)中，鐘面角為180°有22次，鐘面角為n°（0＜n＜180）44次．故答案為22；44．點(diǎn)睛：本題考查了鐘面角的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)時(shí)針與分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和時(shí)針與分針?biāo)纬傻膴A角列方程求解.【考點(diǎn)10兩定角、雙角平分線(xiàn)與角度關(guān)系】【例10】（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）已知∠AOB和三條射線(xiàn)OE、OC、OF在同一個(gè)平面內(nèi)，其中OE平分角(1)如圖，若∠BOC=70°,∠AOC=50°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖，若∠BOC=α,∠AOC=β，直接用α、β表示∠EOF；(3)若∠BOC、∠AOC在同一平面內(nèi)，且∠BOC=α,∠AOC=β，OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，直接寫(xiě)出用α、β表示∠EOF．【答案】(1)∠EOF=60°(2)∠EOF=1(3)∠EOF=12α+12【分析】(1)首先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得∠COF，同理求得∠EOC，然后根據(jù)∠EOF=∠COF+∠EOC求解；(2)根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可以得到∠COF=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，直接用(3)分三種情況討論，一種情況如圖所示∠AOC和∠BOC相鄰，還有一種情況是當(dāng)∠BOC在∠AOC內(nèi)部時(shí)，還有一種情況是當(dāng)∠AOC在∠BOC在內(nèi)部時(shí)．【詳解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=1∴∠EOF=∠COF+∠EOC=60（2）解：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∵∠EOF=∠COF+∠EOC，∴∠EOF=1∵∠BOC=α,∠AOC=β，∵∠EOF=1（3）解：當(dāng)∠AOC和∠BOC相鄰時(shí)，由（2）可知∠EOF=1當(dāng)∠BOC在∠AOC內(nèi)部時(shí)，如圖：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∴∠EOF=∠COF-∠EOC=1即∠EOF=1當(dāng)∠AOC在∠BOC內(nèi)部時(shí)，如圖所示：∵OF平分∠AOC，∴∠COF=1同理∠EOC=1∴∠EOF=∠EOC-∠COF=即∠EOF=1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，以及角度的計(jì)算，分類(lèi)討論的思想，正確理解角平分線(xiàn)的定義是關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·廣東·正德中學(xué)七年級(jí)期末）多多對(duì)幾何中角平分線(xiàn)等興趣濃厚，請(qǐng)你和多多一起探究下面問(wèn)題吧．已知∠AOB=100°，射線(xiàn)OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線(xiàn)．(1)如圖1，若射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；(3)若射線(xiàn)OC在∠AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究∠EOF的大小，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EOF的度數(shù)（不寫(xiě)探究過(guò)程）．【答案】(1)50°(2)50°(3)50°或130°【分析】（1）先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠COE=12∠AOC=15°，再根據(jù)角的和差、角平分線(xiàn)的定義可得∠COF=（2）先根據(jù)角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=（3）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，再分①射線(xiàn)OC在∠AOD的內(nèi)部，②射線(xiàn)OC在∠DOM的內(nèi)部，（1）解：∵OE是∠AOC的平分線(xiàn)，∠AOC=30°，∴∠COE=1∵∠AOB=100°，∴∠COB=∠AOB-∠AOC=70°，∵OF是∠COB的平分線(xiàn)，∴∠COF=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=15°+35°=50°；（2）∵∠AOB=100°，∴∠AOC+∠COB=100°，∵OE是∠AOC的平分線(xiàn)，OF是∠COB的平分線(xiàn)，∴∠COE=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=故答案為：50°（3）∵OE是∠AOC的平分線(xiàn)，OF是∠COB的平分線(xiàn)，∴∠COE=1由題意，分以下三種情況：①如圖，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOD的內(nèi)部時(shí)，∵∠AOB=100°，∴∠COB-∠AOC=100°，∴∠EOF=∠COF-∠COE=1②如圖，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)M，當(dāng)射線(xiàn)OC在∠DOM的內(nèi)部時(shí)，∵∠AOB=100°，∴∠COB+∠AOC=360°-∠AOB=260°，∴∠EOF=∠COF+∠COE=1③如圖，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)M，當(dāng)射線(xiàn)OC在∠BOM的內(nèi)部時(shí)，∵∠AOB=100°，∴∠AOC-∠COB=100°，∴∠EOF=∠COE-∠COF=1綜上，∠EOF的度數(shù)為50°或130°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義、角的和差等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）【定義】如圖1，OM平分∠AOB，則稱(chēng)射線(xiàn)OB,OA關(guān)于OM(1)【理解題意】如圖1，射線(xiàn)OB,OA關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)且∠AOB=45°，則(2)【應(yīng)用實(shí)際】如圖2，若∠AOB=45°,OP在∠AOB內(nèi)部，OP,OP1關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，OP,O(3)如圖3,若∠AOB=45°,OP在∠AOB外部，且0°<∠AOP<(4)【拓展提升】如圖4，若∠AOB=45°,OP,OP1關(guān)于∠AOB的OB【答案】(1)22.5(2)∠P1OP2=90°(3)∠P1OP2=90°(4)∠AOP=30°或54°【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，得到∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，求得∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（4）①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，②當(dāng)OP在∠AOB外部，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．(1)∵射線(xiàn)OB，OA關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)且∠AOB＝45°，∴∠AOM＝12∠AOB＝12×45°＝故答案為：22.5；(2)∵OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；(3)∵OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，(4)①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，∵OP，OP1關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，∴∠BOP＝∠BOP1，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，∴∠BOP1＝15°，∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，∴∠AOP＝30°，②當(dāng)OP在∠AOB外部，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴射線(xiàn)OP在射線(xiàn)OB的上面，如圖5，∵OP，OP1關(guān)于∠AOB的OB邊對(duì)稱(chēng)，∴∠BOP＝∠BOP1，∵∠AOP1＝4∠BOP1，∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，∴∠BOP1＝9°，∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，∴∠AOP＝45°＋9°＝54°綜上所述，∠AOP＝30°或54°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，角的和差，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·湖北黃石·七年級(jí)期末）將一副直角三角板ABC，AED，按如圖1放置，其中B與E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．(1)如圖1，點(diǎn)F在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，求∠FAD的度數(shù)；(2)將三角板AED從圖1位置開(kāi)始繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線(xiàn)．①如圖2，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的內(nèi)部時(shí)，求∠MAN的度數(shù)；②當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部時(shí)，直接寫(xiě)出∠MAN的度數(shù)．【答案】(1)165°；(2)①37.5°；②37.5°或142.5°．【解析】(1)解：如圖1∵∠BAC=45°，∠BAD=30°，∴∠DAC=45°-30°=15°，∴∠FAD=180°-15°=165°．(2)解：①如圖2∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線(xiàn)，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC+∠CAE=====37.5°；②如圖3，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部，且∠BAE＜180°時(shí)，∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線(xiàn)，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC-∠CAE=====37.5°；如圖4，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部，且180°＜∠BAE＜210°時(shí)，∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線(xiàn)，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAD-∠DAE=====142.5°；如圖5，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部，且∠BAE＞210°時(shí)，∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線(xiàn)，∴∠MAB=12∠BAE∴∠MAN=∠MAB+∠NAD-∠DAB=====37.5°．綜上所述：∠MAN的值為37.5°或142.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了含角平分線(xiàn)的角的計(jì)算，難度較大，理解題意，根據(jù)題意畫(huà)出圖形并準(zhǔn)確進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)11線(xiàn)段、角的規(guī)律問(wèn)題】【例11】（2022·重慶忠縣·七年級(jí)期末）如圖中∠AOB＝60°，圖①中∠AOC1＝∠C1OB，圖②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，圖③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此規(guī)律排列下去，前④個(gè)圖形中的∠AOC1之和為(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【答案】C【分析】根據(jù)前三個(gè)圖形可知圖①中OC1為2等分線(xiàn)，圖②中OC1為3等分線(xiàn)，圖③中OC1為4等分線(xiàn)，依次類(lèi)推，可得第【詳解】解：根據(jù)題意可得，圖①中，∠AOC圖②中，∠AOC圖③中，∠AOC依次類(lèi)推，第④個(gè)圖中，∠AOC∴前④個(gè)圖形中的∠AOC1之和為故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，根據(jù)題意找出角度變化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，3條直線(xiàn)兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線(xiàn)兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線(xiàn)兩兩相交最多有______個(gè)交點(diǎn)【答案】190【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出n條直線(xiàn)相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：12【詳解】解：2條直線(xiàn)相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線(xiàn)相交最多有1+2=3=14條直線(xiàn)相交最多有1+2+3=6=15條直線(xiàn)相交最多有1+2+3+4=10=1…20條直線(xiàn)相交最多有12故答案為：190．【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線(xiàn)相交的交點(diǎn)問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線(xiàn)相交最多有12【變式11-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫(huà)一條射線(xiàn)時(shí)，則圖中共有3個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫(huà)兩條射線(xiàn)時(shí)，則圖中共有6個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫(huà)三條射線(xiàn)時(shí)，則圖中共有10個(gè)角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫(huà)20條射線(xiàn)時(shí)，則圖中角的個(gè)數(shù)是（

）A．190 B．380 C．231 D．462【答案】C【分析】根據(jù)畫(huà)一條、兩條、三條射線(xiàn)時(shí)可以得出的角的個(gè)數(shù)整理出當(dāng)畫(huà)n條射線(xiàn)可以得出的角的個(gè)數(shù)，然后進(jìn)一步求解即可.【詳解】∵在∠MON內(nèi)畫(huà)一條射線(xiàn)時(shí)，則圖中共有1+2=3個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫(huà)兩條射線(xiàn)時(shí)，則圖中共有1+2+3=6個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫(huà)三條射線(xiàn)時(shí)，則圖中