新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步83第課時(shí)圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積訓(xùn)練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.若某圓錐的高等于其底面直徑,則它的底面積與側(cè)面積之比為()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶5 D.3∶2解析設(shè)圓錐底面半徑為r,則高h(yuǎn)=2r,∴其母線長(zhǎng)l=5r.∴S側(cè)=πrl=5πr2,S底=πr2,S底∶S側(cè)=1∶5.答案C2.把半徑為R的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐,所得圓錐的體積是()A.324πR3 B.38πR3 C.524πR3 D.5解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則l=R,2πr=12·2πR,∴r=R2.∴圓錐的高h(yuǎn)=3∴圓錐的體積V=13·πr2·h=324πR答案A3.若軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐,則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.2倍解析設(shè)等邊圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,由已知得l=2r,故S側(cè)S底=πrl答案D4.已知圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm,AC為底面圓的直徑,母線BC=6cm,點(diǎn)P為母線BC上一點(diǎn),且PC=23BC,則一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離為(A.4+6πcm BC.35cm D.7cm解析圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示.∵圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm,∴AC=3cm.∵PC=23BC,∴PC=23×6=在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2,∴AP=32+42=5(cm)答案B5.已知圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍,母線長(zhǎng)為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84π,則圓臺(tái)較小底面的半徑為()A.7 B.6 C.5 D.3解析設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r,則另一底面半徑為3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.答案A6.若與球相切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r,R,則球的表面積為()A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πrR D.π(R+r)2解析如圖,作DE⊥BC,交BC于點(diǎn)E.設(shè)球的半徑為r1,則在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.由勾股定理得4r12=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=Rr,故球的表面積為S球=4πr12=答案C7.已知將一銅球放入底面半徑為16cm的圓柱形玻璃容器中,水面升高了9cm,則這個(gè)銅球的半徑為cm.

解析設(shè)銅球的半徑為Rcm,則有43πR3=π×162×9,解得R=12答案128.如圖,在底面半徑為2,母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為3的圓柱,則圓柱的表面積為.

解析如圖,設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,表面積為S.則R=OC=2,AC=4,l=OE=3,∴AO=42-22=23易知△AEB∽△AOC,∴AEAO=EBOC∴r=1,∴S=2πr(r+l)=2π×1×(1+3)=2(1+3)π.答案2(1+3)π9.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.解該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,該組合體的體積V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=10.已知一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,它的外徑是5.0cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm3,最后結(jié)果精確到0.1)解設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,由題意得7.94π3則x3=523-142×37.9×4π≈11.3∴2x≈4.5,即所求鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.能力提升1.已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形,側(cè)面積是162π,則圓錐的體積是()A.64π3 B.128π3 C.64π D解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,因?yàn)閳A錐的軸截面是等腰直角三角形,所以2r=2l,即l=2r.由題意得,側(cè)面積S側(cè)=πrl=2πr2=162π,解得r=4.所以l=42,高h(yuǎn)=422=4.所以圓錐的體積V=13Sh=13π×42×答案A2.若圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4,母線長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的表面積為()A.81π B.100π C.168π D.169π解析作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示.則它的母線長(zhǎng)l=h2+(r'-r∴r=2,r'=8.∴S側(cè)=π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π,S表=S側(cè)+πr2+πr'2=100π+4π+64π=168π.答案C3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)()A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸解析由題意可知,圓臺(tái)形天池盆上底面半徑為14寸,下底面半徑為6寸,高為18寸.因?yàn)榉e水深9寸,所以水面半徑為12×(14+6)=10(寸),所以盆中積水的體積為π3×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),又盆口面積為π×142=196π(平方寸),所以平地降雨量為588π196π答案B4.若圓錐的高等于其內(nèi)切球半徑的3倍,則圓錐的側(cè)面積與球的表面積之比是()A.32 B.23 C.12解析設(shè)球的半徑為r,圓錐底面半徑為R,母線長(zhǎng)為l.由題意可知,rR=2rl,又rR=l-R3r,所以R2=答案A5.若等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等,則它們的表面積的大小關(guān)系是()A.S球<S圓柱<S正方體 B.S正方體<S球<S圓柱C.S圓柱<S球<S正方體 D.S球<S正方體<S圓柱解析設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為r,球半徑為R,正方體棱長(zhǎng)為a,則πr2·2r=43πR3=a3,Rr3=32,ar3=2π,S圓柱=6πr2,S球=4πS球SS正方體S圓柱=6a答案A6.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示),則球的半徑是cm.

解析設(shè)球的半徑為rcm,放入3個(gè)球后,圓柱液面高度變?yōu)?rcm,則有πr2·6r=8πr2+3·43πr3,即2r=8,解得r=4答案47.如圖,把底面半徑為8cm的圓錐,放倒在平面內(nèi),使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng),當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí),圓錐本身滾動(dòng)了2.5周,則圓錐的母線長(zhǎng)為,表面積為.

解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為lcm,以S為圓心,SA為半徑的圓的面積為S=πl(wèi)2cm2.又圓錐的側(cè)面積S1=πRl=8πl(wèi)cm2,根據(jù)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí),圓錐本身滾動(dòng)了2.5周,得πl(wèi)2=2.5×8πl(wèi),解得l=20.故圓錐的表面積為S圓錐側(cè)+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).答案20cm224πcm28.已知一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球,在圓錐里又有一個(gè)內(nèi)切球.求:(1)圓錐的側(cè)面積.(2)圓錐內(nèi)切球的體積.解(1)如圖,作出軸截面,則等腰三角形SAB內(nèi)接于圓O,而圓O1內(nèi)切于△SAB.設(shè)圓O的半徑為R,則有43πR3=972π,所以R=9所以SE=2R=18.因?yàn)镾D=16,所以ED=2.連接AE,因?yàn)镾E是直徑,所以SA⊥AE,SA2=SD·S