新教材高中數(shù)第章概率3頻率的穩(wěn)定性案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-10.3頻率與概率10.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)結(jié)合實例，會用頻率估計概率．(重點、難點)1．通過對頻率和概率聯(lián)系和區(qū)別的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用隨機事件的頻率估計其概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．小剛拋擲一枚硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上48次．問題：(1)你能計算出正面朝上的頻率嗎？(2)拋擲一枚硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率是多少？知識點頻率的穩(wěn)定性1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？[提示]區(qū)別：(1)在相同的條件下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率是度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的量．(3)頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率是一個定值，是某事件的固有屬性．聯(lián)系：對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨機事件的頻率和概率不可能相等． ()(2)隨機事件的頻率和概率都隨著試驗次數(shù)的變化而變化． ()(3)概率能反映隨機事件發(fā)生可能性的大小，而頻率則不能． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的()A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8B[做n次隨機試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)．如果多次進行試驗，事件A發(fā)生的頻率總在某個常數(shù)附近擺動，那么這個常數(shù)才是事件A的概率，故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事件A的頻率．]3．每道選擇題有4個選項，其中只有1個選項是正確的，某次考試共12道選擇題，某同學(xué)說：“每個選項正確的概率是eq\f(1,4)，若每題都選擇第一個選項，則一定有3道題的選擇結(jié)果正確”．這句話()A．正確 B．錯誤C．有一定道理 D．無法解釋B[從四個選項中正確選擇選項是一個隨機事件，eq\f(1,4)是指這個事件發(fā)生的概率，實際上，做12道選擇題相當(dāng)于做12次試驗，每次試驗的結(jié)果是隨機的，因此每題都選擇第一個選項可能沒有一個正確，也可能有1個，2個，3個，…，12個正確．因此該同學(xué)的說法是錯誤的．]4．經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場上食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場上的食用油大約有80個品牌，則不合格的食用油品牌大約有________個．16[由題意得80×(1－80%)＝80×20%＝16個．]類型1頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系【例1】下列說法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩個小孩，則一定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1D[一對夫婦生兩個小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張、五張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．]理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個方面(1)概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質(zhì)屬性，隨機事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由頻率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．“某彩票的中獎概率為eq\f(1,100)”意味著()A．買100張彩票就一定能中獎B．買100張彩票能中一次獎C．買100張彩票一次獎也不中D．購買彩票中獎的可能性為eq\f(1,100)D[某彩票的中獎率為eq\f(1,100)，意味著中獎的可能性為eq\f(1,100)，可能中獎，也可能不中獎．]類型2用隨機事件的頻率估計其概率【例2】某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：分組[0，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管使用壽命不足1500小時的概率．[解](1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0．165,0.042．(2)樣本中使用壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600．所以樣本中使用壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，即燈管使用壽命不足1500小時的概率約為0.6．1．頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻率本身是隨機變量，當(dāng)n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法，對投保的車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12，由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27．(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24．類型3游戲的公平性【例3】(對接教材P253例2)某校高二年級(1)、(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進行，每個節(jié)目開始時，兩班各派一人先進行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎品，負(fù)者表演一個節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計了一種游戲方案：兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對雙方是否公平？為什么？1．判斷某種游戲規(guī)則是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是什么？[提示]如果參加比賽的雙方獲勝(或失敗)的概率是一樣的，那么就說明這個游戲規(guī)則是公平的；否則就是不公平的．2．小明和小紅通過抓鬮決定誰代表班級參加學(xué)校舉行的演講比賽，規(guī)則如下：在一個不透明的盒子里有三個質(zhì)地完全相同的小卡片，上面分別寫有“參加”“不參加”“謝謝參與”，小明和小紅分別從中摸取一個小卡片，摸到“參加”者代表班級參加學(xué)校舉行的演講比賽．這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．[提示]公平．因為每個人摸到“參加”的概率都是eq\f(1,3)．[解]該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公平的．1．在例3中，若把游戲規(guī)則改為：兩人各自轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，兩個指針指向的兩個數(shù)字相乘，如果是偶數(shù)，那么(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．游戲規(guī)則公平嗎？為什么？[解]不公平．因為乘積出現(xiàn)奇數(shù)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，而出現(xiàn)偶數(shù)的概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)．2．若在例3中，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．游戲規(guī)則如下：兩個人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．請回答下列問題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會選哪種猜數(shù)方案？(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？[解](1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B．猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因為“不是4的整數(shù)倍”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B．(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A，這是因為方案A是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該游戲的公平性．游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．(2)具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)寫出甲、乙抽到牌的所有情況；(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？為什么？[解](1)分別用2,3,4,4′表示紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4，則甲、乙抽到牌的所有情況為(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12種不同的情況．(2)甲抽到紅桃3，乙抽到的只能是紅桃2，紅桃4，方片4，因此乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是eq\f(2,3)．(3)甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種情況，因此甲勝的概率為eq\f(5,12)，乙勝的概率為eq\f(7,12)．因為eq\f(5,12)＜eq\f(7,12)，所以此游戲不公平．1．下列說法正確的是()A．任何事件的概率總是在(0,1)之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)C．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定C[必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，所以任何事件發(fā)生的概率總在[0,1]之間，故A錯，B，D混淆了頻率與概率的概念，故B，D錯．]2．給出下列3種說法：①設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq\f(3,7)；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率．其中正確說法的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3A[由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，①②③均不正確．]3．設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為()A．160B．7840C．7998D．7800B[次品率為2%，故次品約8000×2%＝160(件)，故合格品的件數(shù)可能為7840．]4．在一次拋硬幣的試驗中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了45次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為()A．0.45,0.45 B．0.5,0.5C．0.5,0.45 D．0.45,0.