二次函數(shù) 省賽獲獎

上杭五中林清華§22.1.1二次函數(shù)

學習目標

通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義．

學習重點

理解二次函數(shù)的定義．

基礎(chǔ)回顧什么叫函數(shù)?

在某變化過程中的兩個變量x、y，當變量x在某個范圍內(nèi)取一個確定的值，另一個變量y總有唯一的值與它對應。這樣的兩個變量之間的關(guān)系我們把它叫做函數(shù)關(guān)系。對于上述變量x

、y，我們把y叫x的函數(shù)。

x叫自變量，

y叫因變量。目前，我們已經(jīng)學習了那幾種類型的函數(shù)？一次函數(shù)正比例函數(shù)函數(shù)描述變量間關(guān)系的數(shù)學工具二次函數(shù)反比例函數(shù)九年級下冊第26章函數(shù)知多少？回顧舊知(1)y=2x+1(2)y=-x-4(5)y=-4x(6)y=ax+1(4)y=5x2其中，一次函數(shù)有___________________________,

一次函數(shù)的一般形式是____________________

觀察下列函數(shù)：y=kx+b（k≠0）（1）、（2）、（5）

問題1：正方體六個面是全等的正方形,設(shè)正方形棱長為x,表面積為

y,則y

關(guān)于x的關(guān)系式為＿＿＿＿.y=6x2

此式表示了正方體表面積y與正方體棱長x之間的關(guān)系，對于x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數(shù)。多邊形的對角線條數(shù)d

與邊數(shù)n

有什么關(guān)系？問題2:

n邊形有＿＿個頂點,從一個頂點出發(fā),連接與這點不相鄰的各頂點,可作＿＿＿條對角線.因此,n邊形的對角線總數(shù)

d=＿＿＿＿＿＿.n(n－3)即:

此式表示了多邊形的對角線條數(shù)d與邊數(shù)n之間的關(guān)系,對于n的每一值,d都有唯一的對應值,即d是n的函數(shù)。問題3:某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t,計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍,那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定,y與x之間的關(guān)系怎樣表示?這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20t,一年后的產(chǎn)量是

t,再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是

t,即兩年后的產(chǎn)量為:

.y=20(1+x)220(1+x)220(1+x)y=20x2+40x+20即:此式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系，對于x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數(shù)。y=6x2y=20x2+40x+20自變量函數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)ydxxn

認真觀察以上出現(xiàn)的三個函數(shù)解析式，分別說出自變量和函數(shù)．這些函數(shù)有什么共同點？這些函數(shù)自變量的最高次項都是二次的！

一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。(1)等號左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變量x的(3)等式的右邊最高次數(shù)為，可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項。注意：(2)a,b,c為常數(shù)，且(4)x的取值范圍是。整式a≠02任意實數(shù)二次函數(shù)的定義：(5)其中,x是自變量，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)

bx是一次項，b是一次項系數(shù)

c是常數(shù)項。二次函數(shù)的一般形式:

二次函數(shù)的特殊形式：當b＝0時，y＝ax2＋c當c＝0時，y＝ax2＋bx當b＝0，c＝0時，y＝ax2y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)當a、b、c為何值時函數(shù)y＝ax2＋bx＋c是一次函數(shù)？正比例函數(shù)？

二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一元二次方程ax２＋bx＋c＝0(a≠0)有什么聯(lián)系和區(qū)別？聯(lián)系：(1)等式一邊都是ax2＋bx＋c

且a≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函數(shù)

y=ax2＋bx＋c中y=0時得到的.區(qū)別:前者是函數(shù)，后者是方程.

等式另一邊前者是y,后者是0你知道嗎例1：下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?是不是是不是先化簡后判斷

y＝-x2＋x

y＝x2-2x+1-x2=-2x+1下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)注意：先化簡后判斷搶答例2：把函數(shù)y=(5x+7)(x-3)+2x-5

化成一般形式，寫出各項系數(shù)。

y=(5x+7)(x-3)+2x-5

=5x2-15x+7x-21+2x-5

=5x2-6x-26它是二次函數(shù),二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項分別是

5,-6,-26解：

指出下列函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是多少?(3)y=2(x-2)2+8x(1)y=-2-3x2-30-200208y=2x2+8搶答y=-3x2-2解（1）得：m=4或m=-1解（2）得：∴

m=4注意:二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為0

例3：若函數(shù)為二次函數(shù)，求m的值。解：因為該函數(shù)為二次函數(shù)，則(1)(2)1、當m為何值時，函數(shù)

y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函數(shù)。

m–2≠0

m2–2=22、y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，當m為何值時，y是x的二次函數(shù)？

m=2m≠2m=±2∴

m=-2練習思考

注意:當二次函數(shù)表示某個實際問題時,還必須

根據(jù)題意確定自變量的取值范圍.例如：圓的面積y(cm2)與圓的半徑

x（cm)的函

數(shù)關(guān)系是y=πx2其中自變量x能取哪些值呢？問題：是否任何情況下二次函數(shù)中的自變量的取值范圍都是任意實數(shù)呢？1．一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的

表面積S與半徑r之間的關(guān)系式．rr課堂練習(P29頁)r2．如圖，矩形綠地的長、寬各增加xcm，寫出擴充后的綠地的面積y與x的關(guān)系式．課堂練習(P29頁)3020xx

3、要用長20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃，設(shè)靠墻的一邊為x,矩形的面積為y.(1)寫出y關(guān)與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當x=3時,矩形的面積為多少?(0<x<10)xx20-2x24、某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子.(1)假設(shè)果園增種

x棵橙子樹,那么果園