版函數(shù)的最大(小)值

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值第一章

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會(huì)借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的最大(小)值在下圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少？1為什么不是最小值？答案答案最大的函數(shù)值為4，最小的函數(shù)值為2.1沒(méi)有A中的元素與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)值.一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮.如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱(chēng)M是函數(shù)y＝f(x)的最大值.如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱(chēng)M是函數(shù)y＝f(x)的最小值.梳理答案x＝±1時(shí)，y有最大值1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是圖象中的最高點(diǎn)，x＝0時(shí)，y有最小值0，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圖象中的最低點(diǎn).思考

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最大(小)值的幾何意義函數(shù)y＝x2，x∈[－1,1]的圖象如下：試指出函數(shù)的最大值、最小值和相應(yīng)的x的值.

答案梳理一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖象中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè).題型探究例1

已知函數(shù)f(x)＝

(x>0)，求函數(shù)的最大值和最小值.解答類(lèi)型一借助單調(diào)性求最值解設(shè)x1，x2是區(qū)間(0，＋∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，當(dāng)x1<x2≤1時(shí)，x2－x1>0，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增；當(dāng)1≤x1<x2時(shí)，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減.(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a).(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b).(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決出最大(小).函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)最大(小)的.(4)如果函數(shù)定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢(shì).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

已知函數(shù)f(x)＝

(x∈[2,6])，求函數(shù)的最大值和最小值.解答解設(shè)x1，x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).例2

(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f(x)的最值；類(lèi)型二求二次函數(shù)的最值解答解∵函數(shù)f(x)＝x2－2x－3開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x＝1，∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，且f(0)＝f(2).∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值；解答解∵對(duì)稱(chēng)軸x＝1，①當(dāng)1≥t＋2即t≤－1時(shí)，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.④當(dāng)1<t，即t>1時(shí)，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為φ(t)，

(3)已知函數(shù)f(x)＝x－2－3，求函數(shù)f(x)的最值；解答由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增.∴當(dāng)t＝1即x＝1時(shí)，f(x)min＝－4，無(wú)最大值.(4)“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度hm與時(shí)間ts之間的關(guān)系為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少？(精確到1m)解答解作出函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.由二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約為29m.(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)，求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素.(2)圖象直觀，便于分析、理解；配方法說(shuō)理更嚴(yán)謹(jǐn)，一般用于解答題.反思與感悟解設(shè)x2＝t(t≥0)，則x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增.∴當(dāng)t＝1即x＝±1時(shí)，f(x)min＝－4，無(wú)最大值.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知函數(shù)f(x)＝x4－2x2－3，求函數(shù)f(x)的最值；解答解∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝a，∴當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在[2,4]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.當(dāng)a>4時(shí)，f(x)在[2,4]上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2.(2)求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；解答(3)如圖，某地要修建一個(gè)圓形的噴水池，水流在各個(gè)方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系.那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關(guān)系式為h＝－x2＋2x＋

，x∈[0，

].求水流噴出的高度h的最大值是多少？解答例3

已知x2－x＋a>0對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.類(lèi)型三函數(shù)最值的應(yīng)用解答解方法一令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a>0對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立，方法二x2－x＋a>0可化為a>－x2＋x.要使a>－x2＋x對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，引申探究把例3中“x∈(0，＋∞)”改為“x∈(，＋∞)”，再求a的取值范圍.解答恒成立的不等式問(wèn)題，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題：f(x)min>a來(lái)解決.任意x∈D，f(x)<a恒成立?f(x)max<a.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

已知ax2＋x≤1對(duì)任意x∈(0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答∴a≤0.∴a的取值范圍是(－∞，0].當(dāng)堂訓(xùn)練√答案234512.函數(shù)f(x)＝

在[1，＋∞)上A.有最大值無(wú)最小值B.有最小值無(wú)最大值C.有最大值也有最小值D.無(wú)最大值也無(wú)最小值答案√234513.函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分別為A.4,1 B.4,0C.1,0 D.以上都不對(duì)答案√23451A.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不對(duì)答案√23451√答案23451規(guī)律與方法1.函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系(1)對(duì)一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y＝

.如果有最值，則最值一定是值域中的一個(gè)元素.(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)