新高考數學一輪復習10.6 三定問題及最值（精練）（基礎版）（解析版）

10.6三定問題及最值（精練）（基礎版）題組一定點1．（2022·煙臺模擬）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，其左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0面積的最大值為1.題組一定點（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）已知SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又當SKIPIF1<0位于上頂點或者下頂點時，SKIPIF1<0面積最大，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0（2）解：由題知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，所以設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為直徑的圓為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.①因為SKIPIF1<0，令①中的SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點SKIPIF1<0.2．（2022·莆田三模）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程．（2）若直線l與橢圓C相切于點D，且與直線SKIPIF1<0交于點E．試問在x軸上是否存在定點P，使得點P在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上？若存在，求出P點的坐標；若不存在．請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由題意得SKIPIF1<0，所以橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0.（2）解：由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設切線方程的切點為SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0，下面證明：聯立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，及直線SKIPIF1<0與橢圓只有一個公共點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓相切，所以橢圓上切點為SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0.切線方程SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯立得SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡整理得SKIPIF1<0，由題意可知，此式恒成立，故當SKIPIF1<0滿足題意.此時SKIPIF1<0.故存在定點P，使得點P在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上.3（2022·河南模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，C的四個頂點圍成的四邊形面積為SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）已知點SKIPIF1<0，若不過點Q的動直線l與C交于A，B兩點，且SKIPIF1<0，證明：l過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由離心率為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①C的四個頂點圍成的四邊形面積為SKIPIF1<0．②由①②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C的方程為SKIPIF1<0．（2）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為Q不在l上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不是零向量，故SKIPIF1<0，由題意可知l的斜率一定存在．設l的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯立方程組得SKIPIF1<0，消去y并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，此時直線l的方程為SKIPIF1<0，所以直線l過定點SKIPIF1<0．題組二題組二定值1．（2022·安徽模擬）點SKIPIF1<0為坐標原點，過點SKIPIF1<0的直線與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0.（1）求拋物線的方程；（2）動點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線在第一象限內兩點，且直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，求證：SKIPIF1<0是定值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析【解析】（1）解：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，所以拋物線的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：設點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；因為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，由題設得SKIPIF1<0；不妨設SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0點，SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0點；即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是定值.2．（2022·安徽三模）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其右焦點為F，左頂點為A，點P是橢圓C上異于點A的一個動點，且當SKIPIF1<0軸時，△APF的面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線AP交直線l：SKIPIF1<0于點Q，直線l與x軸交于點T，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析【解析】（1）解：設SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入橢圓方程，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0．（2）證明：易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線AP的方程是SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以點Q的坐標為SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0軸時，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當PF與x軸不垂直時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3．（2022·延慶模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，其中左頂點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：SKIPIF1<0為定值.【答案】見解析【解析】（1）解：由已知得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（2）證明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<04．（2022·臨沂模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的左頂點，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若動直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的橫坐標之積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：易知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：分以下兩種情況討論：①當直線SKIPIF1<0軸時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的橫坐標之積為SKIPIF1<0；②當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由題意可知直線SKIPIF1<0不與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線平行或重合，即SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交點，聯立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0.綜上所述，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的橫坐標之積為定值.5．（2022·青州模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的右頂點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）動直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為坐標原點．求證：SKIPIF1<0的面積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：不妨設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0故由SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所以雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為：SKIPIF1<0（2）解：設直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0點，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0由于動直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0，當動直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當動直線SKIPIF1<0的斜率存在時，且斜率SKIPIF1<0，不妨設直線SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0SKIPIF1<0依題意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0，同理可求，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因為原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積是為定值，定值為SKIPIF1<06．（2022·平江模擬）在平面直角坐標系中，橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點SKIPIF1<0，與橢圓相交于點SKIPIF1<0；（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程，（2）在SKIPIF1<0軸上是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值？若存在，請求出點SKIPIF1<0的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0（2）解：設SKIPIF1<0（ⅰ）當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合時，設SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，無論SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0的值恒為2，得點SKIPIF1<0，（ⅱ）當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0=2由i和ii得，在SKIPIF1<0軸上是存在兩點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0題組三題組三最值1．（2022·唐山二模）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，橢圓SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的離心率；（2）如圖：直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于A，D兩點，交橢圓E于B，C兩點．①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：橢圓SKIPIF1<0的標準方程為：SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0（2）證明：對于①，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯立整理得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的中點坐標SKIPIF1<0同理可知SKIPIF1<0的中點坐標SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中點重合，故SKIPIF1<0.對于②，由①知，直線SKIPIF1<0被橢圓截得弦長為SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的面積最大值是SKIPIF1<0.2．（2022·棗莊模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的實軸長為2．點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的準線與C的一個交點．（1）求雙曲線C和拋物線E的方程；（2）過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A，B．求SKIPIF1<0面積的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）解：由題，SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在雙曲線上，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故雙曲線方程為SKIPIF1<0；又點SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0的準線，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）解：顯然直線SKIPIF1<0斜率存在，故設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0