高一數(shù)學(xué)(必修2)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 課件

立交橋是伴隨高速公路應(yīng)運(yùn)而生的．城市的立交橋不僅大大方便了交通，而且成為城市建設(shè)的美麗風(fēng)景．為了車(chē)流暢通，并安全地通過(guò)交叉路口，1928年，美國(guó)首先在新澤西州的兩條道路交叉處修建了第一座苜蓿葉形公路交叉橋.1930年，芝加哥建起了一座立體交叉橋.1931年至1935年，瑞典陸續(xù)在一些城市修建起立體交叉橋．從此，城市交通開(kāi)始從平地走向立體．問(wèn)題1：在同一平面內(nèi)，兩直線有怎樣的位置關(guān)系？提示：平行或相交．問(wèn)題2：若把立交橋抽象成一直線，它們是否在同一平面內(nèi)？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行．問(wèn)題3：觀察一下，教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側(cè)所在直線，是否也具有類(lèi)似特征？提示：是．1．異面直線(1)定義：不同在

的兩條直線．(2)異面直線的畫(huà)法任何一個(gè)平面內(nèi)（3）異面直線的判定定理：平面的斜線與平面內(nèi)不過(guò)斜足的直線是異面直線。ba

例1如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對(duì)?

FAHGEDCBCDBAEFGH2.空間中的直線與直線之間有幾種位置關(guān)系？它們各有什么特點(diǎn)？

相交直線:平行直線:共面直線異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)

同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

1．在初中學(xué)過(guò)，在同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行．問(wèn)題1：在空間中，是否也有類(lèi)似規(guī)律？提示：是．問(wèn)題2：能否利用某一空間幾何體舉出符合這一規(guī)律的例子？提示：可以，例如教室墻面與墻面的交線之間．2．觀察下圖中的∠AOB與∠A′O′B′.問(wèn)題1：這兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位置關(guān)系？提示：分別對(duì)應(yīng)平行．問(wèn)題2：測(cè)量一下，這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何？提示：相等．平行平行線的傳遞性a∥c思考:在平面上，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角的大小有什么關(guān)系？

2．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)

，那么這兩個(gè)角

或

．

平行相等互補(bǔ)思考:

如圖,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四邊形，∠ADC與∠A′D′C′,∠ADC與∠B′A′D′的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何

?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'思考:如圖，在空間中AB//A′B′，AC//A′C′，你能證明∠BAC與∠B′A′C′相等嗎？BCAB′C′A′EE′DD′3：異面直線所成的角思考1:兩條相交直線、平行直線的相對(duì)位置關(guān)系，分別是通過(guò)什么幾何量來(lái)反映的？思考2:兩條異面直線之間有一個(gè)相對(duì)傾斜度，若將兩異面直線分別平行移動(dòng)，它們的相對(duì)傾斜度是否發(fā)生變化？

思考3:設(shè)想用一個(gè)角反映異面直線的相對(duì)傾斜度，但不能直接度量，你有什么辦法解決這個(gè)矛盾？

思考4：把兩條異面直線分別平移，使之在某處相交得到兩條相交直線，我們用這兩條相交直線所夾的銳角(或直角)來(lái)反映異面直線的相對(duì)傾斜程度，并稱(chēng)之為異面直線所成的角.你能給“異面直線所成的角”下個(gè)定義嗎？

abobˊb'a'αbao

對(duì)于兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)

思考5:若點(diǎn)O的位置不同，則直線a′與b′的夾角大小發(fā)生變化嗎？為什么？為了作圖方便，點(diǎn)O宜選在何處？

aba'

b'oa'b'o'O思考1:我們規(guī)定兩條平行直線的夾角為0°，那么兩條異面直線所成的角的取值范圍是什么？

思考2:如果兩條異面直線所成的角是90°，則稱(chēng)這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,有沒(méi)有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直線?BADCA'B'D'C'思考3：在平面幾何中，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，在空間中這個(gè)結(jié)論還成立嗎

?思考4：如果兩條平行直線中有一條與某一條直線垂直,那么另一條是否也與這條直線垂直？為什么？

AFEDCB

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點(diǎn),且已知AB=CD=3，,求異面直線AB和CD所成的角.M異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的

(或

)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．銳角直角(2)異面直線所成的角θ的取值范圍：

.(3)當(dāng)θ＝時(shí)，a與b互相垂直，記作

.0°＜α≤90°a⊥b[例1]

如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________.[思路點(diǎn)撥]

利用直線異面、平行、相交這三種不同關(guān)系的判斷方法，結(jié)合正方體圖形特點(diǎn)直觀判斷．[精解詳析]

直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在一個(gè)平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”．

[答案]①平行②異面③相交④異面1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是 (

)A．相交 B．異面C．平行

D．相交或異面解析：若兩直線不平行，則直線可能相交，也可能異面．答案：D2．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，與AA1異面的是 (

)A．AB B．BB1C．DD1 D．B1C1解析：由異面直線的定義知，與AA1異面的直線應(yīng)為B1C1.答案：D3．已知直線AB、CD是異面直線，求證：直線AC、BD是異面直線．證明：假設(shè)AC和BD不是異面直線，則AC和BD在同一平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)平面為α(如圖)．∵AC?α，BD?α，∴A、B、C、D四點(diǎn)都在α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與已知中AB和CD是異面直線矛盾，故假設(shè)不成立．∴直線AC和BD是異面直線．[例2]

已知E，E1分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.[思路點(diǎn)撥]欲證兩個(gè)角相等，可先證角的兩邊分別平行，然后再通過(guò)等角定理來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)角相等．[一點(diǎn)通]

空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，當(dāng)兩個(gè)角的兩邊方向都相同時(shí)或都相反時(shí)，兩個(gè)角相等，否則兩個(gè)角互補(bǔ)，因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，只說(shuō)明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的．4.如圖所示，在三棱錐S—MNP中，E、F、G、H分別是棱SN、SP、MN、MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是 (

)A．平行 B．相交C．異面

D．平行或異面解析：∵E、F分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.答案：A[例3]

(12分)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：(1)A1B與B1D1所成的角；(2)AC與BD1所成的角．

[思路點(diǎn)撥]利用正方體的圖形特點(diǎn)，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角后進(jìn)行求解．(2)連接BD交AC于點(diǎn)O，取DD1中點(diǎn)E，連接EO、EA、EC.∵O為BD的中點(diǎn)，∴OE∥BD1.(8分)∵∠EDA＝90°＝∠EDC，

ED＝ED，AD＝DC，∴△EDA≌△EDC.(9分)∴EA＝EC.在等腰△EAC中，∵O是AC的中點(diǎn)∴EO⊥AC.∴∠EOA＝90°.(10分)又∵∠EOA是異面直線AC與BD1所成的角，∴AC與BD1所成的角為90°.(12分)[一點(diǎn)通]

異面直線所成角的定義明確給出了異面直線所成角的范圍及求異面直線所成角的方法，即平移法作出異面角后轉(zhuǎn)化為解三角形求角，體現(xiàn)了空間角轉(zhuǎn)化為平面角求法的基本思想．6.過(guò)正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，

AD，AA1所成的角都相等，

這樣的直線l可以作(

)

A．1條 B．2條C．3條

D．4條解析：以AA1為棱補(bǔ)三個(gè)全等的正方體，則四個(gè)正方體各有一條符合條件的直線．答案：D7.如圖所示，空間四邊形ABCD中，

AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別

為BC、AD的中點(diǎn)，求EF和AB

所成的角．∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，