13.1 軸對稱（解析版）

2023-2024學年八年級數學上冊同步配套教學講義與重難點突破（人教版）13.1軸對稱1.理解和掌握軸對稱和軸對稱圖形的概念；2.理解和掌握軸對稱的性質；3.理解和掌握線段垂直平分線的概念和性質。一、軸對稱1.軸對稱圖形(1)概念：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫作軸對稱圖形。這條直線叫作這個圖形的對稱軸?！纠斫馀c拓展】軸對稱圖形是對一個圖形而言，是一種具有特殊性質的圖形。它能被一條直線分割成兩部分，沿這條直線折疊時，其中一部分能與這個圖形的另一部分重合。(2)對稱軸：對稱軸是一條直線。有的軸對稱圖形只有一條對稱軸，而有些軸對稱圖形有幾條甚至無數條對稱軸。(3)軸對稱圖形的識別：判斷一個圖形是否是軸對稱圖形可以根據定義，把圖形沿某一條直線折疊，看直線兩旁的部分是否能夠重合。另外還可以觀察是否有對稱軸，能找到對稱軸也說明是軸對稱圖形。2.軸對稱(1)概念：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線(成軸)對稱。這條直線叫作對稱軸?！纠斫馀c拓展】軸對稱圖形是兩個圖形之間的關系，這兩個圖形沿一條直線折疊后能夠互相重合，即全等。(2)對稱點：折疊后重合的對應點叫對稱點，兩個圖形正是由無數個對稱點組合而成的，也正是無數個對稱點的重合構成了圖形的重合。(3)軸對稱的特點：圖形的軸對稱和平移一樣，都是圖形位置的變換，共同的特點是變化后圖形的大小、形狀都沒有改變，不同點是變換的方式不同，所以性質也不盡相同，判斷的方法是看變換方式。(4)軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別：軸對稱圖形：①軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言。②對稱軸不一定只有一條。軸對稱：①軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖②只有一條對稱軸。(5)軸對稱與軸對稱圖形的聯系軸對稱圖形：①沿對稱軸對折，兩部分重合。②如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱。軸對稱：①沿對稱軸翻折，兩個圖形重合。②如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。題型一軸對稱圖形的識別下面四個圖形分別是綠色食品、低碳、節(jié)能和節(jié)水標志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項B、C、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；選項A能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；故選：A．1．下列圖標中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．2．下列圖形是汽車的標識，其中不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據軸對稱圖形的定義，逐個進行判斷即可．軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：A、B、D都能找到一條直線，使圖形沿該直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，故A、B、D是軸對稱圖形，不符合題意；C不能找到一條直線，使圖形沿該直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，故C不是軸對稱圖形，符合題意；故選：C．題型二根據軸對稱圖形的特征進行判斷如圖，和關于直線對稱，下列結論中：①；②；③l垂直平分；④直線和的交點不一定在l上，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】對于①，由軸對稱的性質可知，關于某條直線對稱的兩個圖形全等，即可判斷正誤;對于②，由軸對稱的性質可知，對應角，據此不難判斷正誤；根據對應點、對應線段與對稱軸的關系，對③④的正誤進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：∵和關于直線對稱，∴，故①正確；又∵，∴，即，故②正確；∵和關于直線對稱，∴l(xiāng)垂直平分，故③正確；④應為：直線和的交點不一定在l上，故本小題錯誤，綜上所述，結論正確的是①②③共3個，故選：B．1．下列說法不正確的是（）A．兩個關于某直線對稱的圖形一定全等B．線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸C．成軸對稱的兩個圖形中，對稱軸是對稱點連線的垂直平分線D．平面上兩個全等的圖形一定關于某直線對稱【答案】D【分析】利用軸對稱圖形的對稱性作出判斷即可．【詳解】解：A、關于某條直線對稱的兩個圖形一定全等的說法正確，不符合題意；B、線段的對稱軸有兩條，其中一條是線段的垂直平分線，故說法正確，不符合題意；C、成軸對稱的兩個圖形中，對稱軸是對稱點連線的垂直平分線的說法正確，不符合題意；D、全等的圖形不一定對稱，原來的說法錯誤，符合題意．故選D2．如圖，已知，不一定能使的條件是（

）．A． B．C． D．點與點關于所在的直線對稱【答案】C【分析】根據全等三角形的判定方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：由題意和圖，可知：；A、，利用可證，不符合題意；B、，利用可證，不符合題意；C、，不能證明，符合題意；D、點與點關于所在的直線對稱，可知，利用可證，不符合題意；故選C．題型三折疊問題如圖，將一個直角三角形紙片，沿線段折疊，使點B落在處，若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據，求出即可解答．【詳解】解：，，，由翻折的性質可知：，，故選：A．1．將一張長方形紙片按圖2所示折疊后，再展開．如果，那么的度數為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】根據長方形兩直線平行得到的同旁內角，再根據折疊的性質得到和相等的角，然后計算即可．【詳解】解：由折疊的性質可知，，，，長方形的兩條長邊平行，，．故選：B．2．如圖，在四邊形中，，．點M，N分別在，上，將四邊形沿對折，得到，若，則（）A．35° B．70° C．95° D．125°【答案】C【分析】由平行的性質，推知，，由折疊導出，，根據三角形內角和定理求得，由多邊形內角定理求得．【詳解】解：∵，，∠A=100°，，∴，，∵將沿翻折，得，∴，，∴，∴．故選：C．二、線段的垂直平分線的性質1.線段的垂直平分線(1)概念：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。(2)性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。(3)判定：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。(4)線段的垂直平分線可以看作到線段兩端點距離相等的所有點的集合。這是線段垂直平分線的集合定義?！纠斫馀c拓展】①線段的垂直平分線必須同時具備兩個條件：過線段的中點和垂直于這條線段。②線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的一條對稱軸。③線段垂直平分線的性質是證明線段相等的一種方法，運用過程中可以省去證明三角形全等，使得過程更簡便。④線段垂直平分線的判定在運用時，要注意先得到兩個點在線段的平分線上，才能推出過這兩個點的直線是線段的垂直平分線。【理解與拓展】線段垂直平分線的畫法(1)折疊法：將線段兩端點對齊，沿線段折疊重合，折痕就是線段的垂直平分線。(2)尺規(guī)作圖法：如圖，①分別以A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧相交于C，②作直線CD。CD即為所求作的直線。題型四線段垂直平分線的性質如圖，在中，邊的中垂線，分別與、邊交于點、兩點，邊的中垂線，分別與、邊交于點、兩點，連接、．若的周長為，．則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據垂直平分線的性質可得，，進而根據周長公式，等量代換即可求解．【詳解】是線段的中垂線，是線段的中垂線，，，周長為，，，，，，，故選：B．1．如圖，在中，，，邊的垂直平分線分別交，于，兩點，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，再根據三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：是邊的垂直平分線，，的周長，，，的周長，故選：C．2．如圖，在中，，的垂直平分線交于，的垂直平分線交與，則的周長等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算．【詳解】解：的垂直平分線交于，的垂直平分線交與，，的周長，故選：C．題型五線段垂直平分線的判定如圖，，，邊上存在一點，使得．下列描述正確的是（

）A．是的垂直平分線與的交點 B．是的平分線與的交點C．是的垂直平分線與的交點 D．是的中點【答案】C【分析】由易得，根據線段垂直平分線定理的逆定理可得點在的垂直平分線上，即是的垂直平分線與的交點．【詳解】，，，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線與的交點；

故選：C．1．到三角形三個頂點距離相等的點是(

)的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點【答案】A【分析】根據“線段的垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”即可判斷．【詳解】解：∵到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，∴到三角形三個頂點的距離相等的點在三條邊的垂直平分線上，即到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，故選：A．2．如圖，將長方形紙片沿折疊后點B落在點E處，則下列關于線段與的關系描述正確的是（

）A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分【答案】D【分析】只要證明是線段的垂直平分線即可解決問題．【詳解】解：是由翻折得到，，，，平分，故選：D．題型六尺規(guī)作圖根據要求作圖并解答：（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）(1)如圖，在中，，，作邊的垂直平分線，交邊于點M，交邊于點N（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）；(2)圖中表示點B到直線的距離是線段的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）分別以為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點E，F，作直線，交邊于點M，交邊于點N；（2）根據點到直線的距離進行作答即可．【詳解】（1）如圖，直線即為所求；

（2）由圖得，圖中表示點B到直線的距離是線段的長度，故答案為：．1．如圖，已知鈍角三角形，其中是鈍角，求作邊上的中線和高．【分析】根據線段垂直平分線和過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作法解答即可．【詳解】解：邊上的中線和高如圖所示：

2．如圖，要在公路MN旁修建一個貨物中轉站P，分別向A、B兩個開發(fā)區(qū)運貨．若要求貨站到A、B兩個開發(fā)區(qū)的距離相等，那么貨站應建在那里？不寫作法，保留作圖痕跡．【分析】根據線段垂直平分線的性質，只需畫線段垂直平分線，與公路的交點即為中轉站P的位置．【詳解】解：如圖，點P即為所求．

一、單選題1．2022年北京冬奧會冰雪運動項目的圖標中，是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據軸對稱圖形的概念對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，符合題意；故選：D2．下列真命題中，其逆命題也為真命題的是（

）A．直角都相等B．若兩個圖形成軸對稱，則這兩個圖形全等C．鈍角三角形中有兩個銳角D．在直角三角形中，兩個銳角互余【答案】D【分析】找出各選項的逆命題，再對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、直角都相等的逆命題是相等的角都是直角，是假命題，故本選項不符合題意；B、兩個圖形成軸對稱，這兩個圖形全等的逆命題是全等的兩個圖形成軸對稱，是假命題，故本選項不符合題意；C、鈍角三角形中有兩個銳角的逆命題是有兩個銳角的三角形是鈍角三角形，是假命題，故本選項不符合題意；D、直角三角形的兩銳角互余的逆命題是兩個銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題，故本選項符合題意．故選：D．3．如圖，與關于直線l對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據軸對稱的性質即可解答．【詳解】解：∵與關于直線l對稱，∴，故選：D．4．如圖，在中，，，，垂足為D，與關于直線對稱，點B的對稱點是點，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據，得到，結合軸對稱即可得到，再根據三角形內外角關系直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∵與關于直線對稱，點B的對稱點是點，∴，∴，故選：A；5．如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】B【分析】根據題意，畫出圖形，由軸對稱的性質判定正確選項．【詳解】解：根據軸對稱的性質可知，臺球走過的路徑為：

該球最后落入2號袋．故選：B．6．如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點在上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可得，進而根據直角三角形的兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，∵，∴，故選：C．7．如圖，將一個長方形紙條折成如圖的形狀，若已知，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，由平行線的性質可求，進而可得，再由平行線的性質可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．8．在下面的圖形中，對稱軸條數最少的圖形是（

）A．圓 B．長方形 C．正三角形 D．正六邊形【答案】B【分析】根據軸對稱圖形的定義，分別找出題干中的圖形的所有對稱軸條數，即可進行判斷．【詳解】A、圓有無數條對稱軸，B、長方形有2條對稱軸，C、正三角形有3條對稱軸,D、正六邊形有6條對稱軸，所以最少的是長方形．故選：B．9．如圖，中，邊的垂直平分線分別交、于點、，，的周長為，則的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：是邊的垂直平分線，，，的周長為，，的周長，故選：A．10．如圖，已知，按照以下步驟作圖：①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點C，D；②分別以點C，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E；③連接，，，．下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本作圖可知，為的平分線，又，，可得出，從而可得出；由，，得出垂直平分，根據已知條件不能判斷，進而可以解決問題．【詳解】解：由作圖步驟可得：是的角平分線，則，故C選項正確，不合題意；又，，，，故A正確，不合題意；，，垂直平分，則，故D選項正確，不合題意；沒有條件能得出，故B選項錯誤，符合題意；故選：B．二、填空題11．如圖，在四邊形中，，將沿翻折，得到．若，，則度．【答案】85【分析】由平行線的性質得出，再由翻折變換的性質得出，，進而求出的度數，即可得出的度數．【詳解】解：∵，∴，∵將沿翻折得，∴，∴，∴，故答案為：85．12．如圖，把標有序號①、②、③、④、⑤、⑥中某個小正方形涂上陰影，使它與圖中陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，那么該小正方形的序號可以是（填一個即可）．【答案】②（③或④或⑤）【分析】根據軸對稱圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：把標號②或③或④或⑤涂上陰影，可以與圖中陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形．故答案為：②（③或④或⑤）．13．如圖，點P關于的對稱點是D，點P關于的對稱點是C，若，則的度數是．【答案】60°【分析】根據對稱性得到，，利用的度數得到和，相加可得．【詳解】解：連接，

，∵點P關于的對稱點是D，點P關于的對稱點是C，∴，，∴，又，∴．故答案為：．14．如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為，則的周長為．【答案】【分析】根據線段垂直平分線性質可得，，根據三角形的周長公式計算，即可得到答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，，∴，，∵的周長為，∴，∴，∴的周長，故答案為：．15．若點在線段的垂直平分線上，則、的關系是．【答案】【分析】根據線段垂直平分線的性質可直接得出答案．【詳解】解：點在線段的垂直平分線上，，故答案為：．16．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點，這兩條垂直平分線分別交于點、，已知的周長為，分別連接、、，若的周長為，則的長為．【答案】【分析】根據垂直平分線得到，，結合的周長為得到，再根據的周長為即可得到答案；【詳解】解：∵邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點，∴，，，，∵的周長為，∴，∵的周長為，∴，∴，故答案為：；三、解答題17．如圖，中，，分別為、的垂直平分線，E、G分別為垂足，若的周長為16，求的長．【答案】【分析】根據線段垂直平分線的性質可得，，結合三角形的周長公式等量代換即可得出答案．【詳解】解：∵，分別為、的垂直平分線，∴，，∵的周長為，∴．18．如圖，在中，，是的垂直平分線，交于點，交于點．已知，求的度數？【答案】【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，，再根據三角形內角和定理計算即可得到的度數．【詳解】解：如圖所示：

∵是的垂直平分線，∴，∴，又∵，，∴，即，所以．19．尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）(1)在上找一點P，使點P到和的距離相等；(2)在射線上找一點Q，使．【分析】（1）根據角平分線上的點到角兩邊距離相等作的角平分線交于一點即為所求點；（2）根據垂直平分線上點到線段兩個端點距離相等作的垂直平分線交于一點即為所求點即可得到答案；【詳解】（1）解：根據角平分線上的點到角兩邊距離相等作的角平分線交于一點即為P點，如圖所示，（2）解：根據垂直平分線上點到線段兩個端點距離相等作的垂直平分線交于一點即為Q點，如圖所示，20．如圖，和關于直線m對稱．(1)結合圖形指出對稱點．(2)和有什么關系？若，，求的度數．(3)分別連接，直線m與線段有什么關系？線段之間有什么關系？(4)延長線段AC與，它們的交點與直線m有怎樣的關系？其他對應線段（或其延長線