專題15 銳角三角函數(shù)-解析版

專題15銳角三角函數(shù)★知識點(diǎn)1：正弦的概念和求正弦值如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：sinA=，這個比叫做∠A的正弦.1,不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角的余角相等可得，在三個直角三角形中由正弦函數(shù)的定義即可確定答案．【詳解】，，，，；故正確的是B選項(xiàng)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義，同角的余角相等，掌握正弦函數(shù)的定義是關(guān)鍵．【例2】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦的定義即可得到答案．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦，解題的關(guān)鍵是熟知：在直角三角形中，任意一銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作．【即學(xué)即練】1．（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，是斜邊上的高，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由勾股定理求出，再證出，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】解：在中，，∴，，∵是斜邊上的高，∴，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是證明∠ACD＝∠B．2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，為直角三角形，且，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義，熟知在一個三角形中，如果兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，那么這個三角形是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)2：已知正弦值求邊長根據(jù)三角函數(shù)的概念和特殊三角函數(shù)值，結(jié)合已知的條件求出邊長即可。典例分析【例1】（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，交的延長線于點(diǎn)，已知，，則的長為(

)

A． B． C． D．無法計(jì)算【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及已知條件，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，等角對等邊，正弦的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【例2】（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，設(shè)，則，可得，再利用銳角的三角函數(shù)的定義逐一求解即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，，，；∴A，B，C不符合題意，D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是求解銳角的三角函數(shù)值，熟記銳角的三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的定義，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，則（

）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，∴，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)和勾股定理是正確解答的前提．★知識點(diǎn)3：余弦的概念和求余弦值cosA=，這個比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山東青島·九年級?？计谀┰谥?，、、對邊分別為、、，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得出，，即可得出答案.【詳解】解：由題知，，∴，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題是對三角函數(shù)知識的考查，熟練掌握銳角三家函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.【例2】（2022秋·九年級單元測試）如圖，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明這兩個三角形相似，再求的值即可.【詳解】解：∵，∴這兩個三角形相似，∴∠α=∠β，∴=，故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)，三角函數(shù)證明這兩個三角形相似時解決問題的關(guān)鍵.即學(xué)即練1．（2021秋·廣西百色·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，下列各式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】正弦是對邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對邊比鄰邊，據(jù)此可判斷.【詳解】因?yàn)椤螩=90°，所以c為斜邊，根據(jù)正弦概念可得，故A錯誤；根據(jù)余弦概念可得，故B錯誤；根據(jù)正切概念可得，故C錯誤，D正確.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到是直角三角形，從而求解.【詳解】解：連接，如圖所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時判斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)4已知余弦值求邊長典例分析【例1】（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在中，，則的長為（

）

A．4.5 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，再把的長代入可以計(jì)算出的長，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦．【例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，則的長是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義直接求解即可．【詳解】解：在中，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，的垂直平分線交于點(diǎn)，可得，根據(jù)，可求出，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，解得，，∴，在中，由勾股定理可得，，∴的長為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的綜合，掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵．2.（2022秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)余弦定義求解即可．【詳解】解：∵中，，，，∴，∴AC==2．故選B．【點(diǎn)睛】在Rt△ABC中，若∠C=90°，則∠A的正弦等于∠A的對邊比斜邊，∠A的余弦等于∠A的鄰邊比斜邊，∠A的正切等于∠A的對邊比鄰邊．★知識點(diǎn)5正切的概念和求正切值tanA=，這個比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切的定義即可求解．在直角三角形中，銳角的正切值等于這個銳角的對邊比鄰邊．【詳解】解：∵在中，，，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，設(shè)，，所對的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意可得：，，，∴，，，，故A選項(xiàng)成立，B，C，D不成立，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在中，如果各邊長度均擴(kuò)大3倍，則銳角A的正切值（

）A．不變化 B．?dāng)U大兩倍 C．縮小一半 D．以上都不對【答案】A【分析】銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正切值為對邊和鄰邊的比值．一個角的銳角三角函數(shù)值只和角的大小有關(guān)，與角的邊的長短無關(guān)．【詳解】∵銳角的正切值為對邊和鄰邊的比值，∴各邊長度都擴(kuò)大倍，銳角的正切值不變.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.在Rt△ABC中，，，．2．（2022秋·山東淄博·九年級校考期中）已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的定義可知，可設(shè)，由勾股定理求出，然后根據(jù)正切的定義代入求值即可．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，則，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦定義：對邊與斜邊的比值；正切的定義：對邊與鄰邊的比值；是解本題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)6已知正切值求邊長典例分析【例1】（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在中，，那么邊的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，將代入即可求得．【詳解】如圖所示：在中，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，明確銳角三角函數(shù)的定義求得是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，對角線與交于點(diǎn)O，若，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，則的長為（

）A．5 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用正切的定義求得，再根據(jù)中點(diǎn)的意義即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，掌握“正切函數(shù)是直角三角形中，對邊與鄰邊的比值”是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接．若，，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個正切值求出、，即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵，，，∴，，∵，∴，，∴，故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正切求線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個角的正切值等于對邊比鄰邊．★知識點(diǎn)7求特殊角的三角函數(shù)值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)30°45°60°1正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時，tan隨的增大而增大1.函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.典例分析【例1】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·天津·九年級專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023春·天津北辰·九年級?？茧A段練習(xí)）的值等于（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）的值等于(

)A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)8特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀典例分析【例1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，若，，則這個三角形一定是（

）．A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴是鈍角三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，三角形分類，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌特殊角三角函數(shù)值求角度是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形【答案】D【分析】．【詳解】解：∵在中，都是銳角，，∴，∴，∴是銳角三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，熟知等特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）若的內(nèi)角滿足，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．三角不全相等的銳角三角形【答案】A【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出和的度數(shù)，然后可判定的形狀．【詳解】解：由題意得：，，即，，∴，∴，即的形狀是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）若，則ABC的形狀是（

）A．含有60°直角三角形 B．等邊三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解∶∵，∴，解得：，∴，∴∠C=90°，∴ABC是含有60°直角三角形．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值，絕對值和平方的非負(fù)性，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)9已知角度比較三角函數(shù)值的大小典例分析【例1】（2022春·九年級單元測試）若，則的正切值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)隨角增大而減小解答即可．【詳解】解：∵，且一個角的正切值隨角的增大而增大，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【例2】．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）已知，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)合三角函數(shù)的增減性求解即可．【詳解】解：由，得，故①正確；∵，，∴，∴，故②錯誤；當(dāng)時，，故③錯誤；，故④正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，記住特殊角的三角函數(shù)值和掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022秋·九年級單元測試）三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)間關(guān)系，得出，再根據(jù)余弦值隨著角度的增大而減小進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，又，余弦值隨著角度的增大而減小，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)間關(guān)系，得出．2．（2023春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）如果，那么與的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【答案】B【分析】，再根據(jù)正弦函數(shù)隨著角的增大而增大進(jìn)行分析即可．【詳解】∵，正弦函數(shù)隨著角的增大而增大，∴當(dāng)時，，，即，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正弦函數(shù)值隨著角的增大而增大．★知識點(diǎn)10利用同角三角函數(shù)求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)一個角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：是銳角，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即．【例2】（2022秋·山東聊城·九年級臨清市京華中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，，，則值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用同角三角恒等式計(jì)算出，然后根據(jù)求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系．即學(xué)即練1．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知是斜邊邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直角三角形的邊角間關(guān)系，計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：∵是斜邊邊上的高，∴都是直角三角形．在中，∵，故選項(xiàng)B不正確；在中，∵，故選項(xiàng)A、C不正確．在中，∵，∴．∴，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)sin2A+cos2A＝1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)值的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握sin2A+cos2A＝1．★知識點(diǎn)11根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍典例分析【例1】（2022秋·九年級單元測試）若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得到，然后利用銳角的余弦值隨著角度的增大而減小求解．【詳解】解：，而，，，銳角的取值范圍為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：當(dāng)角度在間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅部疾榱颂厥饨堑娜呛瘮?shù)值．【例2】．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）已知為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷出所給的正切值在最接近的哪兩個銳角的正切值之間，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：∵，，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的增減性知識；判斷出所給的正切值在最接近的哪兩個銳角的正切值之間是解決本題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判斷得到正確答案．【詳解】解：∵，，∴∴故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關(guān)鍵．2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）若∠A是銳角，且sinA＝，則（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.【詳解】解：∵∠A是銳角，且sinA＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。_理解銳角正弦值的增減性是解題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)12互余兩角三角函數(shù)關(guān)系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年級?？计谀┰谥?，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，設(shè)，則，根據(jù)余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴．故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解．【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，故此選項(xiàng)符合題意；D．，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，如：，（為銳角）．理解和掌握互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級?？计谀┰谥?，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解．【詳解】解：在中，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個角的正弦等于它余角的余弦．2．（2022秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則銳角A的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯．1．（2022春·九年級單元測試）在，，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦的定義可得，即可求出．【詳解】解：如圖，∵在中，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一個角的余弦值，解題的關(guān)鍵是掌握余弦等于鄰邊與斜邊之比，正弦等于對邊與斜邊之比．2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵在中，，，∴，故A錯誤，不符合題意，，故B錯誤，不符合題意，，故C錯誤，不符合題意，，故D正確，符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是判斷不同直角三角形中的直角邊與斜邊．3．（2023秋·湖南益陽·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，與軸正半軸的夾角為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過P作軸于N，軸于M，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出和，解直角三角形求出即可．【詳解】解：過P作軸于N，軸于M，則，

∵點(diǎn)，∴，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和解直角三角形，能求出和的長是解此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．10【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解可得．【詳解】解：在中，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正切函數(shù)的定義．5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別寫出、、中，關(guān)于的比值．【詳解】，在中，，在中，，，，，在中，．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)的比值是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是嘉琪用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，圖中線段a與直尺垂直，線段b與數(shù)軸垂直，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用等角的余弦值相等列等式即可作答．【詳解】如圖，由圖可知：，，，∵線段a與直尺垂直，∴，∵線段b與數(shù)軸垂直，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)D表示的數(shù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的余弦值的知識，掌握余弦的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：、，，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，，故本選項(xiàng)符合題意；D、，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．8．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特值法，取當(dāng)時，計(jì)算出各個三角函數(shù)值，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，，，，，符合這一結(jié)論的只有B．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特值法，特殊角的三角函數(shù)值，掌握特值法及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·九年級單元測試）如圖，四邊形中，，，，則（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明得出，再由即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，．∵，∴，．∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角的三角函數(shù)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·九年級單元測試）在中，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，，根據(jù)勾股定理得到，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴設(shè)，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正切與勾股定理表示．11．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測）計(jì)算．【答案】/【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊銳角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊銳角的三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】1【分析】原式利用絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（2023秋·九年級課時練習(xí)）計(jì)算：【答案】1【分析】分別進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)運(yùn)算、零指數(shù)冪運(yùn)算、絕對值運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算即可解答．【詳解】解：原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對值性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．14．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在中，，，，求：的面積和的度數(shù)．【答案】；【分析】根據(jù)勾股定理解答即可求出的面積，利用三角函數(shù)求出的度數(shù)．【詳解】解：過A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，DC=8-x，由勾股定理可得：即解得:x=∴AD=∴△ABC的面積=BC·AD=在Rt△ACD中，∵sinC=∴∠C=60°答：的面積為，為60°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AD的長．15．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）（1）；（2）在中，，，求的度數(shù)．【答案】（1），（2）【分析】（1）運(yùn)用因式分解法求解即可；（2）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出、度數(shù)，再根據(jù)三我內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：（1）

，．（2）∵，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，特殊角三角函數(shù)，三我內(nèi)角和定理，熟練掌握根據(jù)一元二次方程特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)方法求解和熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的．16．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知和射線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大?。?2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，分別表示出，進(jìn)而根據(jù)角度比較函數(shù)值的大小即可求解；（2）同（1）的方法，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，在中，，，又，；（2）解：由（1）得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義，掌