2023年云南省屏邊縣高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)工滿足則彳=()

Z

11.11.

A.—+—<B.----z

2222

11.11.

C.---F—ZD.------1

2222

2.若不等式+在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

932932]

_21n2，ln521n2'而J

(9329

Uln2，hi5----,+oo

21n2

3.若向量后=(0,-2),3=(6,1),則與2而+5共線的向量可以是()

A.(>/3,-1)B.(-1,百)C.(-73,-1)D.(-1,-73)

ccqX

4.函數(shù)f(x)=——；的部分圖像大致為()

-2,+2r

5.設(shè)/。)={"'一，則/(/(—2))=()

2,x<Q

6.i是虛數(shù)單位，z=—貝！||z|=()

1-z

A.1B.2C.y/2D.25/2

7.如圖，正三棱柱ABC-44G各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為人4的中點(diǎn)，M,N分別是線段和線段CG的動(dòng)點(diǎn)

(含端點(diǎn))，且滿足BM=GN,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正理的是

B

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DMN_L平面BCG4

C.三棱錐4-OMN的體積為定值

D.ADMN可能為直角三角形

8.已知A=―------+—--------<kwZ),則A的值構(gòu)成的集合是()

sinecoscz

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}

9.設(shè)過(guò)拋物線y?=2Px(p>0)上任意一點(diǎn)p(異于原點(diǎn)。)的直線與拋物線y2=8px(p>0)交于A,8兩點(diǎn)，直線

s

。尸與拋物線丁=8川(〃>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,則蕾絲■=()

A.1B.2C.3D.4

10.已知〃zeR,復(fù)數(shù)Z1=l+3i,z2=m+2i,且為實(shí)數(shù)，則加=()

22

A.B.-C.3D.-3

33

92

11.已知雙曲線c：=im>0力>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn),若存在點(diǎn)P滿足

ab~2

訃出6|=4:6:5,則該雙曲線的離心率為()

55

A.2B.-C.—D.5

23

12.已知底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1的直四棱柱ABC。-ABGA中，尸是上底面AgGA上的動(dòng)點(diǎn)?給

出以下四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①與點(diǎn)。距離為G的點(diǎn)p形成一條曲線，則該曲線的長(zhǎng)度是女；

②若DP〃面ACB1,則0P與面AC&4所成角的正切值取值范圍是半，血：

③若DP=5則OP在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為6拒.

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AA8C中，角A，B,C的對(duì)邊分別為b,c>若sinA+sinB=GsinC,且c=l,則AA6C面積的

最大值為.

2,x>0

14.若函數(shù)/（x）=2八，則使得不等式f（/3））>0成立的。的取值范圍為_(kāi)_____.

-,x<0

15.在長(zhǎng)方體ABC。-44aA中，AB=\,AD=2,AA=1,E為8C的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面AOE的距離是

16.如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為12的正三角形紙片的三個(gè)角上，沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形，余下部分再以虛線為折

痕折起，恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底，則所得正三

棱柱的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知尸是拋物線。：：/=2〃%（。>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足。戶=；。天，經(jīng)

過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),且|A同=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線/與拋物線。交于"、N兩點(diǎn),若麗?麗=-64,求點(diǎn)尸到直線/的最大距離.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)」+ln'+l)(x〉0).

k

(1)若/■(》)>——恒成立，求整數(shù)攵的最大值；

X+1

(2)求證：(l+lx2)-(l+2x3)-..[l+nx(/i+l)]>e2M-3.

19.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)/(力=/吟|

(2)/(x)=(sin2x+l)2

22

20.(12分)已知橢圓C:[+5=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(一叵,0)、F2(血，0).點(diǎn)M(1,0)

a~b"

與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(m#3).過(guò)點(diǎn)M任作直線1與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，

設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為ki、k2、k3,若ki+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.

21.(12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinC=sinB+sin(4-B).

(1)求角A的大小

(2)若〃=近了ABC的面積5=為5,求小ABC的周長(zhǎng).

2

2

22.(10分)設(shè)橢圓E:5+y2=i,直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(m,0),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(〃,O),直線//直線/?,且直線4,12

分別與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn).

(1)若加，N分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且直線4,x軸，求四邊形A8CD的面積；

(II)若直線4的斜率存在且不為0,四邊形ABCD為平行四邊形，求證:加+〃=0;

(HI)在(H)的條件下，判斷四邊形ABC。能否為矩形，說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.

【詳解】

111+/1+z11.

z1-z(1-z)(l+z)222

—11

所以，z=---z.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)

aln(x+l)-無(wú)3+2/>0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)在區(qū)間((),+/)內(nèi)的解集

中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因?yàn)間'(x)=3%2-4x,

所以g'(x)=0,

-4

二.x=0x=9

3

4

f

因?yàn)?cxem時(shí)，g(x)<0f

4

或尤<0時(shí)，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,其圖象如下:

當(dāng)心0時(shí)，/(x)>g(x)至多一個(gè)整數(shù)根;

/(3)>g(3)

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>g(x)在(。,+8)內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需［;:

17(4),,g(4)

<zln4>33-2x32

,aln5?43-2X42，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的解法和應(yīng)用問(wèn)題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.

3.B

【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量2沅+n，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

?.?用=(0,—2),河=(6,1)

2m+n=

卜1,⑹=一*("一3)

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定，屬于基礎(chǔ)題，在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，切

不可錯(cuò)位.

4.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知/(X)的定義域?yàn)閤eR,通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出/(-x)=/(x),貝!|〃x)為偶

函數(shù)，可排除C,。選項(xiàng)，觀察48選項(xiàng)的圖象，可知代入x=0,解得/(())>(),排除8選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)?3=卓7，

所以/(力的定義域?yàn)閤wR,

')2-X+2X2、+2一，,)

???/(X)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，排除c,。選項(xiàng)，

且當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=1>0,排除3選項(xiàng)，所以A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.

5.C

【解析】

試題分析：2)=2」=；,==1—5=故C正確.

?yyV4乙乙

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值.

6.C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出Z,再由模長(zhǎng)公式，即可求解.

【詳解】

由z=2,、')=-l+i,\z\=yf2.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A-DMN的體積與三棱錐N-AtDM體積相等，三棱錐N-A.DM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確；

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過(guò)正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面。平面故正確；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AiDM的面積不變,N到平面AiDM的距離不變，所以棱錐N-A.DM的體積

不變，即三棱錐Ai-DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若ADMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BG,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

8.C

【解析】

對(duì)攵分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.

【詳解】

女為偶數(shù)時(shí)，4=吧區(qū)+%q=2；左為奇數(shù)時(shí)，4=一些吧一期￡=—2,則A的值構(gòu)成的集合為{2,-2}.

sinacosasinacosa

【點(diǎn)睛】

本題考查三角式的化簡(jiǎn)，誘導(dǎo)公式，分類討論，屬于基本題.

9.C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長(zhǎng)度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo),

最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設(shè)與。尸的夾角為。，則△ABQ中AB邊上的高與AABO中AB邊上的高之比為密絲=絲，

OPsin。OP

.?.3^=震=%二"=強(qiáng)一1，設(shè)P（芥，％］，則直線°尸：'=今"，即＞=&x，與V=8px聯(lián)立，解得

2

S^ABOOPyPyP1P）而x

4y.

ye=4y,,從而得到面積比為上一1=3.

X

【點(diǎn)睛】

解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.

10.B

【解析】

把完2=〃?-2,和4=1+3,代入4心2再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用虛部為0求得m值.

【詳解】

2

因?yàn)?Z=（1+3。（加一2。=（加+6）+（3加一2）i為實(shí)數(shù)，所以3加一2=（）,解得加=§.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力.

11.B

【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.

【詳解】

忻用55M.

e=：----；-；---：=---=一?選B.

|尸周一歸用6-42

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時(shí)，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.

12.C

【解析】

①與點(diǎn)O距離為的點(diǎn)P形成以A為圓心，半徑為正的，圓弧MN,利用弧長(zhǎng)公式，可得結(jié)論；②當(dāng)P在4（或

4

G）時(shí)，與面ACG4所成角ND40（或NQG。）的正切值為邁最小，當(dāng)P在。I時(shí)，DP與面AC￡4所成角

3

NDOQ的正切值為0最大，可得正切值取值范圍是［半,正］;③設(shè)P（x,y,1）,則/+y2+1=3,即f+y2=2,

可得。P在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)，即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和.

【詳解】

如圖：

①錯(cuò)誤，因?yàn)镽P={DP?-DD：=《（g￥—E=6，與點(diǎn)O距離為百的點(diǎn)P形成以R為圓心，半徑為0的

,圓弧MN,長(zhǎng)度為1.2兀.血=立兀；

442

②正確，因?yàn)槊鍭OG〃面AC4,所以點(diǎn)P必須在面對(duì)角線4G上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P在4（或G）時(shí)，0P與面AC￡4

所成角ND4Q（或NOG。）的正切值為逅最小（。為下底面面對(duì)角線的交點(diǎn)），當(dāng)P在。I時(shí)，0P與面AC04

3

所成角NOOQ的正切值為夜最大，所以正切值取值范圍是半，夜；

③正確，設(shè)P（x,y,l）,貝!|/+/+1=3,即/+y2=2,op在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為序］，

6+1,尸丁，所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之2（Jy2+1+&+1+V2）＜22qy+；x+1+V2=60,

當(dāng)且僅當(dāng)P在。I時(shí)取等號(hào).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.顯

4

【解析】

利用正弦定理將角化邊得到a+人=6,再由余弦定理得到?05。=二-1,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出

ab

sinC,最后利用面積公式得到S=+—=-y/-l+2ab,由基本不等式求出ab的取值

22\[ab)ab2

范圍，即可得到面積的最值；

【詳解】

解：?.?在AABC中，sinA+sinB=V3sinC，:?a+b=6c=6,

時(shí)等號(hào)成立,

AS=-y/-1+2ab<-...ZVWC面積的最大值為注.

224

故答案為：變

4

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.[O.+oo)

【解析】

分a20,“<0兩種情況代入討論即可求解.

【詳解】

2,x>0

??"(X)=<2八，

一,x<0

當(dāng)aZO時(shí)，/(/(a))=/(2)=2>0,.?.aNO符合；

當(dāng)a<0時(shí)，=j=a<0,.■〃<()不滿足/(/(a))>0.

故答案為：[0,+8)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算，考查了分類討論的思想.

15.逅

3

【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離

【詳解】

由題在長(zhǎng)方體中，K._AD￡=lxlx2xlxl=l,

AME323

12

A,D=y[5,DE=y[2,EAt=y]AiA+AE

所以4。2=?！?4]，所以

S"0E=gX啦X百=當(dāng)

設(shè)點(diǎn)A到平面\DE的距離為h

ADE=-X^^X解得力

A”3233

故答案為：逅

3

【點(diǎn)睛】

此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過(guò)在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).

16.1

【解析】

由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)6,高為百，由此能求出所得正三棱柱的體積.

【詳解】

如圖，作AOL8C,交BC于O,AO=7122-62=673-

由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)E尸=6,高為〃=百，

二所得正三棱柱的體積為：

V=SgEF.〃=gx6x6xsin60°x>/3=27.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的翻折問(wèn)題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求

解能力，求解時(shí)注意翻折前后的不變量.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)/=16x；(2)4.

【解析】

(D求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得出直線A8的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合|A5|=8求出正實(shí)數(shù)，的值，進(jìn)而可得出

拋物線的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)/（玉，x）,N（w，%）,設(shè)/的方程為X=〃9+〃，將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理,

結(jié)合西?麗=-64求得”的值，可得出直線/所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出點(diǎn)尸到直線/的最大距離.

【詳解】

（1）易知點(diǎn)尸已,0又加=2所以點(diǎn)尸七°則直線A3的方程為x=《.

O

X=一

聯(lián)立，8，所以|A目4_/b”8.

y?=2px

故拋物線。的方程為：/=i6x；

y2—16x

(2)設(shè)/的方程為％=陽(yáng)+〃，聯(lián)立<'</-16mj-16n=0,

x=my+n

設(shè)點(diǎn)M（N，X）,N（x,,y,）,則%當(dāng)=一16〃，所以月工,=（/%）=".

,256

所以O(shè)MON=%工2+XM=I,—16〃=—64,解得“=8.

所以直線/的方程為x=/盯+8,恒過(guò)點(diǎn)（8,0）.

又點(diǎn)尸（4,0）,故當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的最大距離為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線方程的求解，同時(shí)也考查了拋物線中最值問(wèn)題的求解，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中等題.

18.（1）整數(shù)Z的最大值為3；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將不等式/（X）〉+變形為左＜（X+1）+（X；1）In（」+1）,構(gòu)造函數(shù)Mx）=（x+l）+（x：）ln（x+l）,利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=〃（x）的單調(diào)性并確定其最值，從而得到正整數(shù)k的最大值;

3']1

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到ln[l+〃(〃+l)]>2—即可=2-31%,利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.

n+1

【詳解】

(1)由/(x)J+ln(x+l)〉上得z<(x+l)+(x+l)Mx+l),

Xx+1X

(x+l)+(x+l)ln(x+l)x-l-ln(x+l)

令〃(x)=M(x)-2

xX

令g(x)=x-l-ln(x+l),g<x)=l——j〉0對(duì)Vx>0恒成立,

所以，函數(shù)y=g(x)在(0,+紇)上單調(diào)遞增,

?.?g(0)=7<0,g(l)<0,g(2)<0,g(3)>0,

故存在不?2,3)使得g5)=0,即XoT=ln(Xo+l)，

從而當(dāng)x>/時(shí)，有g(shù)(x)>g(x0)=O,〃'(力>0,所以，函數(shù)y=〃(x)在伍，長(zhǎng)o)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),有g(shù)(x)<g(x0)=0，〃'(％)<0,所以，函數(shù)y=Mx)在(0,%)上單調(diào)遞減.

所以，h(x)mn=〃(Xo)=(*°+l)+(x°+(ln(Xo+l)=(Xo+l)+(Xo+((Xo_l)=Xo+]G(3,4),

王)玉)

:.k43,因此，整數(shù)k的最大值為3；

(2)由(1)知l+ln(x+l)>_2-恒成立,.]n(x+i)>/rL_i=2———>2--,

xx+1X+lX+lX

3\1、

令l=〃(〃+1)(〃￡N*)則++>2-2-3-一一—

〃("+1)\nw+1)

n+l)]>2-3^-1

ln(l+lx2)>2-3ln(l+2x3)>2-3

〃+1

上述等式全部相加得In(l+lx2)+ln(l+2x3)+……+ln[l+〃(〃+l)]>.)>2〃—3,

所以，In[(l+lx2)(l+2x3)……(l+n(/i+l))]>2/i-3,

因此，(1+1X2>(1+2X3)…[l+”x(“+l)]>e2-3

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用，以及放縮法證明不等式的技巧，屬于難題.

19.(1)/'(6=-0.05產(chǎn)工+|；(2)/(x)=2sin4x+4cos2x.

【解析】

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.

(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.

【詳解】

⑴令"(x)=-0.05x+l,(p(u)=,則=,

而〃'(x)=-0.05,(p'(u)=eu,故/'(xbeRg+ixGO.OSX-O.OSe405*。

(2)令a(x)=sin2x+l,(p(u^-ir,則/(x)=,

而/(x)=2cos2x,°'(")=2"，故/'(x)=2cos2xx2〃=4cos2x(sin2x+l),

化簡(jiǎn)得至！IJ"(x)=2sin4x+4cos2x.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此類問(wèn)題一般是先把函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的

導(dǎo)數(shù)，本題屬于容易題.

2

20.(1)—+y2=1；(2)m—n—1=0

3

【解析】

試題分析：(1)利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；(2)設(shè)出過(guò)M的直線

1的方程，將1與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后將kI+k3表示為直線1斜率的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后得k|+k3=2,

于是可得m,n的關(guān)系式.

試題解析：(1)由題意，c=夜，b=l,所以a=［廿+d=g

v-2

故橢圓C的方程為上+y2=l

3.

(2)①當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，方程為x=L代入橢圓得，y=±如

3

不妨設(shè)A(L逅)，B(1,一逅)

33

逅旦

因?yàn)閗i+L=33=2

飛-+-

又ki+kj=2k2,所以k2=l

〃一2

所以m,n的關(guān)系式為一一=1,即m-n-l=0

m-3

②當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)1的方程為y=k(x-1)

2

將y=k(x—1)代入-r^-+y2=],

整理得：(3k2+3l)x2-6k2x+3k2-3=0

、6攵23攵2一3

設(shè)A(xi,yi),B(xz,y2),則--——=—3——

123k2+1123公+1

又yi=k(X]—1),yz=k(xz—1)

2-y?2-乃=(2,)(342)+(2-%)(3一%)

所以ki+k=

33—Xj3—x?(3—%])(3—々)

_—1)](3_々)+[2_%(%一1)](3—西)

玉元2-3(玉+々)+9

2kxyx2-(4攵+2)(%+x2)+62+12

xxx2-3(x,+x2)+9

3A：2-36kl

2Zx^^—(4攵+2)x^^+6攵+12

一34?+13;P+1_______

3k2-3,6k2八

3公+13k2+\

一2(12公+6)-2

12抬+6一

〃一2

所以2k2=2,所以k2=——-=1

m-3

所以m,n的關(guān)系式為m—n—1=0

綜上所述，m,n的關(guān)系式為m—n—1=0.

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，

21.(I)A=—；(II)5+J7.

3

【解析】

試題分析：(1)由已知可得5由。=5皿(4+6)=5出3+5由(4-8)=2(：054?B^nB$=cosA=L

2

]3^/3

n,、=—he-sinA————<bc=6

=A=—；(H)依題意得：{MBC22=>{,22=>S+C)=3+c+2歷=25

3,,,/?+c=13

a'-h'+c~-2bccosA

n"+c=5na+b+cuS+SnAABC的周長(zhǎng)為5+b.

試題解析：(DVA+B+C^TT,J.C=〃-(A+B).

/.sinC=sin(A+B)=sinB+sin(A-B),

:.sinA?cosB+cos=s加3血nA?B-A