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黑龍江省賓縣第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1.已知點(diǎn)P3,-4是角α的終邊上一點(diǎn),則sinA.-75C.15 D.2.零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.C. D.3.已知集合A=,B=,那么集合A∩B等于()A. B.C. D.4.已知函數(shù),若當(dāng)時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.5.若命題“,”是假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.6.某市政府為了增加農(nóng)民收入,決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開(kāi)銷售渠道加大投入,計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2020年全年投人資金120萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該政府全年投入的資金翻一番(2020年的兩倍)的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg2≈0.30)()A.2027年 B.2026年C.2025年 D.2024年7.函數(shù)與(且)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()A. B.C. D.8.在中,如果,則角A. B.C. D.9.已知集合,,則()A. B.C. D.10.設(shè)函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則的大小關(guān)系為A B.C. D.不能確定11.已知函數(shù)的值域?yàn)?,則實(shí)數(shù)m的值為()A.2 B.3C.9 D.2712.定義在上的函數(shù),當(dāng)時(shí),,若,則、、的大小關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題(本大題共4小題,共20分)13.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形.若AB=4,則四面體ABCD外接球的表面積為_(kāi)_______14.下列說(shuō)法正確的序號(hào)是__________________.(寫(xiě)出所有正確的序號(hào))①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù);②已知函數(shù)的最小正周期為,將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的一個(gè)值可以是;③若,則三點(diǎn)共線;④函數(shù)的最小值為;⑤函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是.15.設(shè)、為平面向量,若存在不全為零的實(shí)數(shù)λ,μ使得λμ0,則稱、線性相關(guān),下面的命題中,、、均為已知平面M上的向量①若2,則、線性相關(guān);②若、為非零向量,且⊥,則、線性相關(guān);③若、線性相關(guān),、線性相關(guān),則、線性相關(guān);④向量、線性相關(guān)的充要條件是、共線上述命題中正確的是(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))16.已知,則____________.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.函數(shù),在內(nèi)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),(1)求此函數(shù)的解析式;(2)求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間18.已知是方程的兩根,且.求:及的值.19.某保險(xiǎn)公司決定每月給推銷員確定具體的銷售目標(biāo),對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否,直接影響公司的經(jīng)濟(jì)效益和推銷員的工作積極性,為此,該公司當(dāng)月隨機(jī)抽取了50位推銷員上個(gè)月的月銷售額(單位:萬(wàn)元),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖:(1)①根據(jù)圖中數(shù)據(jù),求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率;②根據(jù)直方圖估計(jì),月銷售目標(biāo)定為多少萬(wàn)元時(shí),能夠使的推銷員完成任務(wù)?并說(shuō)明理由;(2)該公司決定從月銷售額為和的兩個(gè)小組中,選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn),求選出的推銷員來(lái)自同一個(gè)小組的概率.20.如圖所示,某市政府決定在以政府大樓O為中心,正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書(shū)館.為了充分利用這塊土地,并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào),設(shè)計(jì)要求該圖書(shū)館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上,圖書(shū)館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM=R,∠MOP=45°,OB與OM之間的夾角為θ.(1)將圖書(shū)館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).(2)若R=45m,求當(dāng)θ為何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大?最大面積是多少?(?。?.414)21.已知函數(shù)其中,求:函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;函數(shù)圖象的對(duì)稱軸22.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖像向左平移單位長(zhǎng)度,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖像,求在上的值域
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1、A【解析】利用三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得sinα-故選:A.2、C【解析】利用零點(diǎn)存在定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由題意知:在上連續(xù)且單調(diào)遞增;對(duì)于A,,,內(nèi)不存在零點(diǎn),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,,內(nèi)不存在零點(diǎn),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,,則,內(nèi)存在零點(diǎn),C正確;對(duì)于D,,,內(nèi)不存在零點(diǎn),D錯(cuò)誤.故選:C.3、C【解析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)锳=,B=,所以故選:C4、D【解析】是奇函數(shù),單調(diào)遞增,所以,得,所以,所以,故選D點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用.本題中,結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化得到,分參,結(jié)合恒成立的特點(diǎn),得到,求出參數(shù)范圍5、A【解析】由題意知原命題為假命題,故命題的否定為真命題,再利用,即可得到答案.【詳解】由題意可得“”是真命題,故或.故選:A.6、B【解析】根據(jù)題意列出指數(shù)方程,取對(duì)數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)第n(n∈N*)年該政府全年投入的資金翻一番,依題意得:120(1+12%)n-1=240,則lg[120(1+12%)n-1]=lg240,∴l(xiāng)g120+(n-1)lg1.12=lg240,∴(n-1)lg1.12=lg2,∴,即該政府全年投入的資金翻一番的年份是2026年,故選:B.7、B【解析】分析一次函數(shù)的單調(diào)性,可判斷AD選項(xiàng),然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍,結(jié)合直線與軸的交點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橐淮魏瘮?shù)為直線,且函數(shù)單調(diào)遞增,排除AD選項(xiàng).對(duì)于B選項(xiàng),指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,則,可得,此時(shí),一次函數(shù)單調(diào)遞增,且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的上方,合乎題意;對(duì)于C選項(xiàng),指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,則,可得,此時(shí),一次函數(shù)單調(diào)遞增,且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的下方,不合乎題意.故選:B.8、C【解析】由特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合在△ABC中,可求得A的值;【詳解】,又∵A∈(0,π),∴故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形中角的范圍,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合,再根據(jù)集合交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,,則,故選:D.10、B【解析】當(dāng)時(shí),,它在上單調(diào)遞增,所以.又為偶函數(shù),所以它在上單調(diào)遞減,因,故,選B.點(diǎn)睛:題設(shè)中的函數(shù)為偶函數(shù),故根據(jù)其在上為增函數(shù)判斷出,從而得到另一側(cè)的單調(diào)性和,故可以判斷出.11、C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?,所以的最小值為,所以;故選:C12、C【解析】令,求得,得到是奇函數(shù),再令,證得在上遞減判斷.【詳解】因?yàn)?,令,得,解得,令,得,所以是奇函?shù),因時(shí),,則,,令,則,,且,則,,所以,即,即,所以在上遞減,,因?yàn)?,所以,故選:C二、填空題(本大題共4小題,共20分)13、【解析】由題設(shè)知,四面體ABCD的外接球也是與其同底等高的三棱柱的外接球,球心為上下底面中心連線EF的中點(diǎn),所以,所以球的半徑所以,外接球的表面積,所以答案應(yīng)填:考點(diǎn):1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征;2、空間幾何體的表面積14、③⑤【解析】對(duì)每一個(gè)命題逐一判斷得解.【詳解】①正切函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù),所以該命題是錯(cuò)誤的;②因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以w=2,所以將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,所以的一個(gè)值不可以是,所以該命題是錯(cuò)誤的;③若,因?yàn)?,所以三點(diǎn)共線,所以該命題是正確的;④函數(shù)=,所以sinx=-1時(shí),y最小為-1,所以該命題是錯(cuò)誤的;⑤函數(shù)在上是增函數(shù),則,所以的取值范圍是.所以該命題是正確的.故答案為③⑤【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性,考查正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì),考查含sinx的二次型函數(shù)的最值的計(jì)算,考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.15、①④【解析】利用和線性相關(guān)等價(jià)于和是共線向量,故①正確,②不正確,④正確.通過(guò)舉反例可得③不正確【詳解】解:若、線性相關(guān),假設(shè)λ≠0,則,故和是共線向量反之,若和是共線向量,則,即λμ0,故和線性相關(guān)故和線性相關(guān)等價(jià)于和是共線向量①若2,則20,故和線性相關(guān),故①正確②若和為非零向量,⊥,則和不是共線向量,不能推出和線性相關(guān),故②不正確③若和線性相關(guān),則和線性相關(guān),不能推出若和線性相關(guān),例如當(dāng)時(shí),和可以是任意的兩個(gè)向量.故③不正確④向量和線性相關(guān)的充要條件是和是共線向量,故④正確故答案為①④【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)向量線性相關(guān)的定義,兩個(gè)向量共線的定義,明確和線性相關(guān)等價(jià)于和是共線向量,是解題的關(guān)鍵16、【解析】求得函數(shù)的最小正周期為,進(jìn)而計(jì)算出的值(其中),再利用周期性求解即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為,當(dāng)時(shí),,,,,,,所以,,,因此,.故答案為:.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17、(1);(2).【解析】(1)由函數(shù)的最值求得振幅A,利用周期公式求得,根據(jù)五點(diǎn)法求,進(jìn)而求得解析式;(2)依據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間,列出不等式,解之即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】(1)在內(nèi)函數(shù)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,函數(shù)的最小正周期,則由,可得,則此函數(shù)的解析式;(2)由,可得,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為18、1,.【解析】由韋達(dá)定理結(jié)合兩角和差的正切公式可得.結(jié)合所給的角的范圍可知?jiǎng)t.試題解析:為方程的兩根,,..點(diǎn)睛:三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題的常用技巧:①尋求角與角之間的關(guān)系,化非特殊角為特殊角;②正確靈活地運(yùn)用公式,通過(guò)三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值;③一些常規(guī)技巧:“1”的代換、和積互化等常用方法:異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù),異角化為同角,異次化為同次,切化弦,特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化19、(1)①;②17,理由見(jiàn)解析(2)【解析】(1)①利用各組的頻率和為1求解,②由題意可得的推銷員不能完成該目標(biāo),而前兩組的頻率和,前三組的頻率和為,所以月銷售目標(biāo)應(yīng)在第3組,從而可求得結(jié)果,(2)由頻率分布直方圖結(jié)合題意可得待選的推銷員一共有4人,然后利用列舉法求解概率【小問(wèn)1詳解】①月銷售額在小組內(nèi)的頻率為.②若要使的推銷員能完成月銷售額目標(biāo),則意味著的推銷員不能完成該目標(biāo).根據(jù)題圖所示的頻率分布直方圖知,和兩組的頻率之和為0.18,故估計(jì)月銷售額目標(biāo)應(yīng)定為(萬(wàn)元).【小問(wèn)2詳解】根據(jù)直方圖可知,月銷售額為和的頻率之和為0.08,由可知待選的推銷員一共有4人.設(shè)這4人分別為,則樣本空間為{},一共有6種情況其中2人來(lái)自同一組的情況有2種所以選出的推銷員來(lái)自同一個(gè)小組的概率.20、(1)S=R2sin-R2,θ∈;(2)當(dāng)θ=時(shí),矩形ABCD面積S最大,最大面積為838.35m2.【解析】(1)設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F,用表示出,,,從而可得面積的表達(dá)式;(2)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值【詳解】解:(1)由題意,可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn),所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F,則BC=2Rsinθ,OF=Rcosθ,所以AB=OF-AD=Rcosθ-Rsinθ.所以S=AB·BC=2Rsinθ(Rcosθ-Rsinθ)=R2(2sinθcosθ-2sin2θ)=R2(sin2θ-1+cos2θ)=R2sin-R2,θ∈.(2)因?yàn)棣取?,所?θ+∈,所以當(dāng)2θ+,即θ=時(shí),S有最大值.Smax=(-1)R2=(-1)×452=0.414×2025=838.35(m2).故當(dāng)θ=時(shí),矩形ABCD的面積S最大,最大面積為838.35m2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是利用表示出矩形的邊長(zhǎng),從而得矩形面積.利用三角函數(shù)恒等變換公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最大值21、(1)最小正周期為,;(2),.【解析】利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)解析式化簡(jiǎn),再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性,即可得出結(jié)論.利用正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性,即可得圖象的對(duì)稱軸【詳解】函數(shù),故函數(shù)的最小正周期為,令,求得,故函數(shù)的減區(qū)間為,令,求得,,故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為,【點(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