新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)學案新人教A版必修第一冊

4．1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)學習目標1．了解指數(shù)冪由有理數(shù)擴充到無理數(shù)的過程．2．理解指數(shù)冪的運算性質(zhì)．3．能進行指數(shù)冪(實數(shù)冪)的運算．核心素養(yǎng)1．通過實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)的推導，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助指數(shù)冪的運算性質(zhì)對代數(shù)式化簡或求值，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).知識點1無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是_一個確定的實數(shù)_.想一想：一定是實數(shù)嗎？提示：根據(jù)無理數(shù)指數(shù)冪的定義2eq\r(2)是實數(shù)．知識點2實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras＝_ar＋s_.(2)(ar)s＝_ars_.(3)(ab)r＝_arbr_.想一想：指數(shù)冪是怎樣從正整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪的？提示：練一練：1．下列說法正確的個數(shù)是(B)(1)無理數(shù)指數(shù)冪有的不是實數(shù)．(2)指數(shù)冪aα(a>0)中的α只能是有理數(shù)．(3)＝9.A．0 B．1C．2 D．3[解析](1)無理數(shù)指數(shù)冪對應一個確定的實數(shù)，不正確；(2)指數(shù)冪aα(a>0)中的α是任意實數(shù)，不正確；(3)＝32＝9，正確，故選B.[解析]題型探究題型一無理數(shù)指數(shù)冪的運算典例1計算下列各式：[解析](1)原式＝＝36×22＝2916.(2)原式＝.[歸納提升]關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)底數(shù)相同時直接對指數(shù)上的無理數(shù)進行加減運算．(2)若式子中含有根式，則先化為指數(shù)式再進行運算，一般指數(shù)中的根式可以保留．對點練習?計算下列各式：[解析]題型二指數(shù)冪運算的條件求值問題典例2已知＝3，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).[分析]利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．[解析](1)將＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)將a＋a－1＝7兩邊平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.(3)由于，所以有＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.[歸納提升]解決條件求值問題的一般方法——整體代入法對于條件求值問題，一般先化簡代數(shù)式，再將字母取值代入求值．但有時字母的取值不知道或不易求出，這時可將所求代數(shù)式恰當?shù)刈冃?，?gòu)造出與已知條件相同或相似的結(jié)構(gòu)，從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值．利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0，b>0)：對點練習?已知＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．[解析]即a＋a－1＝m2＋2.∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2.題型三用換元法處理指數(shù)冪中的化簡與證明問題典例3設a，b，c都是正數(shù)，且3a＝4b＝6c，求證：eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b).[分析]根據(jù)已知條件3a＝4b＝6c，設一個參數(shù)t，用含t的式子表示a，b，c，從而找到a，b，c之間的關(guān)系．[解析]令3a＝4b＝6c＝t(t>0)，則3＝，2＝因為3×2＝6，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＝eq\f(1,c)，所以eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b).[歸納提升]對于指數(shù)冪等式的證明問題常常是將指數(shù)冪化為同底，利用指數(shù)冪相等的規(guī)律進行證明．解決此類問題的關(guān)鍵是通過指數(shù)運算進行等價代換，以及利用參數(shù)找到已知與結(jié)論的聯(lián)系，這樣才能使問題迅速得到解決．對點練習?已知27x＝67,81y＝603，求證：4y－3x＝2.[證明]27x＝67,81y＝603，∴33x＝67,34y＝603，兩式相除得34y－3x＝603÷67＝9，即34y－3x＝32，∴4y－3x＝2.誤區(qū)警示因忽略冪底數(shù)的范圍而導致錯誤典例4化簡(1－a)＝.[錯解][錯因分析]忽略了題中有，即相當于告知－a≥0，故a≤0，這樣，≠(a－1)－1.實際上在解答本類題時除了靈活運用運算法則外還要關(guān)注條件中的字母是否有隱含的條件．[正解]由知－a≥0，故a－1<0.∴＝(1－a)(1－a)－1·.[方法點撥]在利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)時，要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求．1．下列能正確反映指數(shù)冪的推廣過程的是(A)A．整數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪→無理數(shù)指數(shù)冪B．有理數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪→無理數(shù)指數(shù)冪C．整數(shù)指數(shù)冪→無理數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪D．無理數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪2．計算的結(jié)果是(D)A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．2 D．eq\f(1,2)[解析]＝2－1＝eq\f(1,2)，故選D.3.eq\r(5,a2)·eq\r(\r