電路 (第四版) 課件 第7章 一階電路分析

第7章一階電路分析7.1動(dòng)態(tài)電路與換路定則7.2一階電路的零輸入響應(yīng)7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.4一階電路的全響應(yīng)與三要素法7.5一階電路的階躍響應(yīng)7.6一階電路的沖激響應(yīng)7.7-階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系

7.1動(dòng)態(tài)電路與換路定則

為了實(shí)現(xiàn)一定的目的,常常要對電路進(jìn)行某些控制操作(如接通、斷開電源或信號(hào)源,某些子電路的接入或斷開等),從而改變了電路的結(jié)構(gòu);另外,故障也會(huì)改變電路的結(jié)構(gòu);干擾相當(dāng)于給電路加入了額外的激勵(lì);外部環(huán)境(如溫度等)的變化可能引起電路元件參數(shù)的變化等。上述由于各種原因引起電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生變化的現(xiàn)象稱為換路。

為了分析方便,一般規(guī)定換路是在t=0時(shí)刻發(fā)生的,同時(shí)認(rèn)為換路是不需要時(shí)間的,即換路是在t=0瞬間完成的。為了更進(jìn)一步描述換路前后電路的狀態(tài),換路前的瞬間用t=0-表示,換路后的瞬間用t=0+表示。

在圖7-1所示電路中,US是直流電壓源,S為開關(guān),(t=0)表示在0時(shí)刻將開關(guān)S合上,可見在0時(shí)刻圖中的兩個(gè)電路均發(fā)生了換路。

圖7-1穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和過渡過程

7.1.1動(dòng)態(tài)電路和狀態(tài)變量

由上面分析看出,當(dāng)圖7-1(a)所示電路進(jìn)行換路后,電路在瞬間完成從一種穩(wěn)態(tài)到達(dá)另一種新穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)換,所以電路中沒有過渡過程。將換路后不發(fā)生過渡過程的電路稱為靜態(tài)電路。圖7-1(a)所示電路不發(fā)生過渡過程的原因是電路中除電源元件外只含有電阻元件。因?yàn)殡娮柙系腣CR是比例關(guān)系,電阻電路換路后不會(huì)產(chǎn)生過渡過程,所以稱電阻為靜態(tài)元件,電阻電路稱為靜態(tài)電路。因?yàn)槊枋鲭娮桦娐返姆匠淌蔷€性代數(shù)方程,所以由線性代數(shù)方程描述的電路為靜態(tài)電路。

圖7-1(b)所示的電路則不同,因?yàn)殡娐分杏袆?dòng)態(tài)元件電容,換路后有過渡過程。含有動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路,動(dòng)態(tài)電路換路后會(huì)產(chǎn)生過渡過程,或者說,發(fā)生過渡過程的原因是電路中含有動(dòng)態(tài)元件。由于動(dòng)態(tài)元件的VCR是微分或積分關(guān)系,所以由動(dòng)態(tài)元件組成的電路換路后不可能瞬間進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。就是說,含有動(dòng)態(tài)元件的電路由一種穩(wěn)態(tài)進(jìn)入另一種穩(wěn)態(tài)是需要時(shí)間(過渡)的。電容和電感都是動(dòng)態(tài)元件,由它們組成的電路(動(dòng)態(tài)電路)會(huì)發(fā)生過渡過程。

7.1.2動(dòng)態(tài)電路的換路定則

分析動(dòng)態(tài)電路的方法仍然是已知電路列方程,即根據(jù)KCL或KVL以及組成電路元件的VCR建立描述電路的方程。因?yàn)榫€性動(dòng)態(tài)元件的VCR是微分或積分關(guān)系,所以描述動(dòng)態(tài)線性電路的方程是線性常微分方程。因?yàn)闋顟B(tài)變量反映出電路中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能狀態(tài),它們是電路中不同于其他變量的獨(dú)立變量,所以微分方程的變量通常選狀態(tài)變量uC或iL。通過求解微分方程就可以得到動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)。

求解線性常微分方程的方法之一是經(jīng)典法,根據(jù)經(jīng)典法求得解答后,解答中的積分常數(shù)必須根據(jù)電路中的初始條件確定。如果設(shè)t=0為換路時(shí)刻,該時(shí)刻就是電路過渡(暫態(tài))過程開始的時(shí)刻,則微分方程的變量uC和iL在t=0+時(shí)刻的值即為初始條件。

例7-1如圖7-2(a)所示電路,已知US為直流電源,設(shè)t<0時(shí)電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài),試求初始條件圖7-2例7-1圖

7.2一階電路的零輸入響應(yīng)

所謂零輸入響應(yīng),就是動(dòng)態(tài)電路在沒有外加激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)。電路的響應(yīng)僅僅是由動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能引起的。也就是說,是由非零初始狀態(tài)引起的。如果初始狀態(tài)為零,電路也沒有外加輸入,則電路的響應(yīng)為零。

首先研究RC電路的零輸入響應(yīng)。圖7-3(a)所示為RC電路,換路前電容已充電,并設(shè)uC(0-)=U0,開關(guān)S在t=0時(shí)閉合,則電路在0時(shí)刻進(jìn)行換路。換路后,即t≥0+時(shí)的電路如圖7-3(b)所示。

圖7-3零輸入RC電路

由圖7-3(b),根據(jù)KVL,得

選狀態(tài)變量uC為方程變量,再由

因?yàn)镽、C為常數(shù),所以該式是一階線性齊次常微分方程?？梢姾粋€(gè)儲(chǔ)能元件的電路可以用一階微分方程來描述,所以RC電路也稱為一階電路。

由微分方程解的結(jié)構(gòu)可知,線性齊次常微方程的通解為uC=Aept,代入式(7-7)可得

于是可得出對應(yīng)的特征方程為

得特征根為

則式(7-7)的通解為

根據(jù)換路定則和初始條件有uC(0+)=uC(0-)=U0,代入上式得積分常數(shù)A=uC(0+)=U0,于是式(7-7)的通解為

可求出電路中的電流為

由式(7-8)和式(7-9)可以看出,電容上的電壓uC和電路中的電流i都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的,其變化曲線如圖7-4所示。

圖7-4RC電路的零輸入響應(yīng)

例7-2圖7-5(a)所示電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),已知US=10V,R1=6Ω,R2=4Ω,C=0.5F,在t=0時(shí)打開開關(guān)S,試求t≥0時(shí)的電流i。圖7-5例7-2圖

解由式(7-8)知,只要知道RC電路的初值uC(0+)和時(shí)間常數(shù)τ就可以求出電容兩端的電壓uC,進(jìn)而求出電流i。

圖7-6零輸入RL電路

式(7-12)對應(yīng)的特征方程為

特征根為

通解為

iL、uL

和uR

隨時(shí)間變化的曲線如圖7-7所示,它們都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的,衰減的快慢取決于時(shí)間常數(shù)τ,即取決于電路的參數(shù)R和L。

換路以后電阻吸收的能量為

可見,在整個(gè)過渡過程中,電感的初始儲(chǔ)能——磁場能(LI2S/2)全部由電阻消耗了。

例7-3已知圖7-8(a)所示電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),其中IS=5A,R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H,在t=0時(shí)合上開關(guān)S,試求t≥0+時(shí)的電流i。圖7-8例7-3圖

解畫出t≥0+時(shí)的電路,如圖7-8(b)所示,它是一個(gè)零輸入的RL電路。對于零輸入的RL電路,只要知道電路的初值iL(0+)和時(shí)間常數(shù)τ就可以求出電感中的電流iL,然后再求出圖中的電流i。

換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),則

根據(jù)換路定則,有

7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

對于動(dòng)態(tài)電路而言,反映動(dòng)態(tài)元件儲(chǔ)能大小的量稱為狀態(tài)變量,將狀態(tài)變量在某一時(shí)刻的值稱為狀態(tài)。所謂零狀態(tài)就是動(dòng)態(tài)電路在換路時(shí)儲(chǔ)能元件上的儲(chǔ)能為零,即動(dòng)態(tài)電路的零狀態(tài)分別為uC(0-)=0V和iL(0-)=0A。零狀態(tài)響應(yīng)就是在零狀態(tài)條件下由外加激勵(lì)所引起的響應(yīng)。

圖7-9(a)所示為RC串聯(lián)電路,已知uC(0-)=0V,在t=0時(shí)將開關(guān)S閉合,則電路在0時(shí)刻換路。根據(jù)KVL,在t≥0+時(shí)有圖7-9RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

對于圖7-9(a)所示的電路,換路以后的過程實(shí)際上是直流電源通過電阻給電容充電的過程。在整個(gè)充電過程中,電源提供的能量一部分被電阻消耗了,而另一部分以電場能的形式儲(chǔ)存在電容中。由于電容上的電壓最終等于電源電壓,所以當(dāng)充電完畢電容上所儲(chǔ)存的電場能為CU2S/2。電阻消耗的能量為

圖7-10RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

例7-4如圖7-11(a)所示電路,在t=0時(shí)合上開關(guān)S,已知iL(0-)=0A,試求t≥0+時(shí)的電流i1。

圖7-11例7-4圖

解換路后首先應(yīng)用戴維南定理將電感左側(cè)的電路等效,其等效電路如圖7-11(b)所示,其中uoc=3.75V,Req=1.25Ω,得時(shí)間常數(shù)為

7.4一階電路的全響應(yīng)與三要素法

7.4.1一階電路的全響應(yīng)如圖7-12所示電路,換路后直流電壓源被接到RC串聯(lián)電路中,即非零輸入;又已知uC(0-)=U0,即非零狀態(tài)。根據(jù)KVL,有該方程解的結(jié)構(gòu)為

圖7-12一階電路的全響應(yīng)

該式右邊的第一項(xiàng)為電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的響應(yīng),所以稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng);右邊的第二項(xiàng)隨著時(shí)間逐步衰減到零,所以為暫態(tài)響應(yīng)?？梢娙憫?yīng)可以表示為

或者

式(7-23)可以改寫為

對比式(7-10)和式(7-16)知,式(7-24)右邊的第一項(xiàng)為電路的零輸入響應(yīng),右邊的第二項(xiàng)為電路的零狀態(tài)響應(yīng)。則全響應(yīng)又可以表示為

由此可見,電路的全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加,這是由線性電路的性質(zhì)所決定的。

將全響應(yīng)分解成穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(強(qiáng)制響應(yīng))和暫態(tài)響應(yīng)(自由響應(yīng)),或者零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)是從不同的角度來分析全響應(yīng)的構(gòu)成,便于進(jìn)一步理解動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)。

7.4.2三要素法

有了三要素法以后,對于一階電路就不需要由列微分方程開始來求電路中的響應(yīng)了,可以直接利用公式(7-25)求取?；蛘哒f,只要求出相應(yīng)的初值、終值和時(shí)間常數(shù)后直接代入式(7-25)即可。若f(t)是狀態(tài)變量(uC或iL),則可以由換路定則求出初值f(0+);若f(t)為非狀態(tài)變量,則利用狀態(tài)變量的初值間接求出非狀態(tài)變量的初值。由于是直流激勵(lì),當(dāng)t→∞時(shí),電容相當(dāng)于開路,電感相當(dāng)于短路,所以利用該條件可以求出終值f(∞)。因?yàn)槭且浑A電路,所以電路中只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件(C或L),電路的其他部分是含源的一端口電路,它們可以分別表示成圖7-13所示的形式。

圖7-13一階動(dòng)態(tài)電路的一般形式

圖7-13所示電路中的含源的一端口NS可以用戴維南或諾頓定理等效,則時(shí)間常數(shù)分別為

式中Req是含源一端口NS的戴維南或諾頓等效電阻。注意,若將NS變成N0,同樣可以用三要素法求出響應(yīng)。

圖7-14例7-5圖

圖7-15例7-6圖

7.5一階電路的階躍響應(yīng)

7.5.1單位階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)是一種奇異函數(shù),其定義為

該函數(shù)說明,當(dāng)t≤0-時(shí)函數(shù)的值為0,當(dāng)t≥0+時(shí)函數(shù)的值為1,其波形如圖7-16(a)所示。因?yàn)樵摵瘮?shù)在t=0時(shí)發(fā)生躍變,并且躍變的幅度為1,所以稱為單位階躍函數(shù)。由于該函數(shù)在t=0時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)不存在,所以稱為奇異函數(shù)。

如果階躍函數(shù)的躍變不是發(fā)生在0時(shí)刻,而是在t=t0的任意時(shí)刻,即

其波形如圖7-16(b)所示。ε(t-t0)函數(shù)實(shí)際上是將ε(t)函數(shù)在時(shí)間軸上移動(dòng)t0后的結(jié)果,所以稱為延遲單位階躍函數(shù)。

圖7-16單位階躍函數(shù)和延遲單位階躍函數(shù)

7.5.2階躍函數(shù)在電路中的應(yīng)用

引入單位階躍函數(shù)的目的是利用它來描述電路中的換路現(xiàn)象。首先看單位階躍函數(shù)一個(gè)很重要的用途,即利用該函數(shù)可以“起始”任意一個(gè)函數(shù)f(t)。設(shè)f(t)是對所有t都有定義的一個(gè)任意函數(shù),則

其波形如圖7-17所示。

圖7-17-用單位階躍函數(shù)起始任意函數(shù)

根據(jù)單位階躍函數(shù)的起始作用,可以為開關(guān)S建模。設(shè)圖7-18(a)所示電路中的uS(t)是任一隨時(shí)間變化的電壓源,在t=0時(shí)刻將開關(guān)S由位置1合向位置2,對a－b端口而言相當(dāng)于在零時(shí)刻將uS(t)接入。這一過程可以用ε(t)和uS(t)相乘來描述,即uS(t)ε(t),其結(jié)果可用圖7-18(b)所示的電路表示?？梢娪煤瘮?shù)uS(t)ε(t)可以描述圖7-18(a)所示電路的開關(guān)過程。所以階躍函數(shù)可以作為開關(guān)的數(shù)學(xué)模型,有時(shí)也稱其為開關(guān)函數(shù)。同理,圖7-18(d)所示電路中的函數(shù)iS(t)ε(t)可以描述圖7-18(c)所示電路中的開關(guān)過程,它們均表示在t=0時(shí)刻將任一隨時(shí)間變化的電流源iS(t)接到a－b端口。如果用函數(shù)ε(t-t0)為開關(guān)建模,則表示在t=t0時(shí)刻將電壓源或電流源接通。

圖7-18階躍函數(shù)的開關(guān)模型

單位階躍函數(shù)的另一個(gè)用途是用它可以描述一個(gè)幅值為1的矩形脈沖。例如圖7-19(a)所示的矩形脈沖可以用圖7-19(b)所示的兩個(gè)階躍函數(shù)波形來組合,即

同理,可以用階躍函數(shù)描述任意時(shí)間段的矩形脈沖,即

圖7-19由階躍函數(shù)組成矩形脈沖

7.5.3一階電路的階躍響應(yīng)

圖7-20(a)所示為RC串聯(lián)電路,已知激勵(lì)為USε(t),求該激勵(lì)下的響應(yīng)uC。由于電路中的激勵(lì)是由階躍函數(shù)起始的,則所求的響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)。圖7-20

例7-7-試求圖7-21(a)所示電路的階躍響應(yīng)iL。圖7-21例7-7圖

7.6一階電路的沖激響應(yīng)

階躍函數(shù)可以為電路中的開關(guān)建模,或者可以起始一個(gè)函數(shù)。如果被起始的函數(shù)是電容電壓uC

或電感電流iL,那么對uC或iL

求導(dǎo)應(yīng)該是電容電流iC或電感電壓uL。這樣就涉及對階躍函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算,將對階躍函數(shù)求導(dǎo)所得到的函數(shù)稱為沖激函數(shù),由該函數(shù)激勵(lì)下的響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)。

7.6.1單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)是對單位階躍函數(shù)求導(dǎo)所得到的函數(shù),其定義為

可見,單位沖激函數(shù)在t≠0處為零,在t=0處是未知的。因?yàn)棣?t)函數(shù)在t=0處的導(dǎo)數(shù)是∞,所以沖激函數(shù)δ(t)在t=0時(shí)是奇異的,因此它也是一種奇異函數(shù)。單位沖激函數(shù)也稱為δ函數(shù)。由定義知,δ函數(shù)在整個(gè)時(shí)間域的積分等于1,即積分所得的面積為1。

圖7-22沖激函數(shù)

7.6.2單位沖激函數(shù)的性質(zhì)

下面介紹沖激函數(shù)的兩個(gè)主要性質(zhì)。

(1)由定義式知,單位沖激函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即

反之,單位沖激函數(shù)對時(shí)間的積分是單位階躍函數(shù),即

(2)篩分性質(zhì)。由于在t≠0處δ(t)=0,對于任意在t=0處連續(xù)的函數(shù)f(t),有

所以

可見,沖激函數(shù)δ(t)可以將任意函數(shù)f(t)在零時(shí)刻的值分離出來或者“篩”出來,所以該性質(zhì)稱為篩分性質(zhì),有時(shí)也稱為抽樣性質(zhì)。

同理,利用延遲沖激函數(shù)可以篩分出任意t0時(shí)刻f(t)的值,即

7.6.3電容電壓和電感電流的躍變

換路瞬間若電容的電流為有限值,則換路前后電容電壓是連續(xù)變化的,即不發(fā)生躍變;若電感電壓為有限值,則換路前后電感電流也不發(fā)生躍變。但是,如果電容電流或電感電壓在換路瞬間不是有限值,確切地說是沖激函數(shù),則電容電壓或電感電流將發(fā)生躍變。設(shè)iC(t)=Qδi(t),其中Q表示沖激電流的強(qiáng)度,根據(jù)式(65)知

7.6.4沖激響應(yīng)

如果一個(gè)動(dòng)態(tài)電路的激勵(lì)源為沖激(沖激電流或沖激電壓),由沖激函數(shù)的定義知,沖激源的作用是瞬時(shí)發(fā)生的,就是說,在沖激作用以前電路中沒有激勵(lì),由于沖激源攜帶有一定的能量,沖激過后沖激源所攜帶的能量轉(zhuǎn)移到電路中。所謂沖激響應(yīng)就是由沖激源所攜帶的能量引起的響應(yīng)。