第五章 統(tǒng)計推斷

第五章統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷是根據(jù)總體理論分布，從樣本的統(tǒng)計量對總體參數(shù)的推斷。主要包括假設檢驗（testofhypothesis）和參數(shù)估計（parametricestimation）二個內容。統(tǒng)計推斷的目的是分析誤差產生的原因，確定誤差的性質，排除誤差的干擾，從而對總體的特征做出正確的判斷。5.1假設檢驗的原理和方法一、假設檢驗的概念：

(見P30)。假設檢驗又叫顯著性檢驗（testofsignificance）先對總體的參數(shù)(或分布形式)提出某種假設，然后利用樣本信息判斷假設是否成立的過程.邏輯上運用反證法，統(tǒng)計上依據(jù)小概率原理.有參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗.

生物統(tǒng)計學中，一般認為等于或小于0.05或0.01的概率為小概率。分別表示為差異顯著或極顯著。二、假設檢驗的步驟（一）、提出假設1、原假設(nullhypothesis)

－無效假設（ineffectivehypothesis)研究者想收集證據(jù)予以反對的假設，又稱“0假設”。原假設的內容總是表示沒有差異或沒有改變，或變量間沒有關系等等。試驗結果的差異由誤差所致。表示為H0H0：

=某一數(shù)值指定為符號=，

或

例如,H0：

10cm2、備擇假設(alternativehypothesis)

研究者想收集證據(jù)予以支持的假設也稱“研究假設”總是有符號

,

或

表示為H1H1：

<某一數(shù)值，或

某一數(shù)值例如,H1：

<10cm，或

10cm【例】一種零件的生產標準是直徑應為10cm，為對生產過程進行控制，質量監(jiān)測人員定期對一臺加工機床檢查，確定這臺機床生產的零件是否符合標準要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產過程不正常，必須進行調整。試陳述用來檢驗生產過程是否正常的原假設和備擇假設解：研究者想收集證據(jù)予以證明的假設應該是“生產過程不正?！?。建立的原假設和備擇假設為

H0：

10cmH1：

10cm【例】某品牌洗滌劑在它的產品說明書中聲稱：平均凈含量不少于500g。從消費者的利益出發(fā)，有關研究人員要通過抽檢其中的一批產品來驗證該產品制造商的說明是否屬實。試陳述用于檢驗的原假設與備擇假設解：研究者抽檢的意圖是傾向于證實這種洗滌劑的平均凈含量并不符合說明書中的陳述。建立的原假設和備擇假設為

H0：

500H1：

<500【例】一家研究機構估計，某城市中家庭擁有汽車的比例超過30%。為驗證這一估計是否正確，該研究機構隨機抽取了一個樣本進行檢驗。試陳述用于檢驗的原假設與備擇假設解：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設是“該城市中家庭擁有汽車的比例超過30%”。建立的原假設和備擇假設為

H0：

30%H1：

30%小結：原假設和備擇假設是一個完備事件組，而且相互對立在一項假設檢驗中，原假設和備擇假設必有一個成立，而且只有一個成立先確定備擇假設，再確定原假設等號“=”總是放在原假設上因研究目的不同，對同一問題可能提出不同的假設(也可能得出不同的結論)（二）、確定顯著水平1. 是一個概率值2. 原假設為真時，拒絕原假設的概率抽樣分布的拒絕域3. 表示為

(alpha)常用的

值有0.01,0.05,0.104. 由研究者事先確定顯著性水平

和統(tǒng)計顯著性（理解）：我們可以在事先確定用于拒絕原假設H0的證據(jù)必須強到何種程度。這等于說我們要求多小的P值。而這個P值就叫顯著性水平，用

表示顯著性水平表示總體中某一類數(shù)據(jù)出現(xiàn)的經常程度假如我們選擇

=0.05，樣本數(shù)據(jù)能拒絕原假設的證據(jù)要強到：當H0正確時，這種樣本結果發(fā)生的頻率不超過5%；如果我們選擇

=0.01，就是要求拒絕H0的證據(jù)要更強，這種樣本結果發(fā)生的頻率只有1%如果P值小于或等于

，我們稱該組數(shù)據(jù)不利于原假設的證據(jù)有

的顯著性水平(三）、計算檢驗統(tǒng)計量(teststatistic)根據(jù)樣本觀測結果計算得到的，并據(jù)以對原假設和備擇假設作出決策的某個樣本統(tǒng)計量在H0正確的前提下獲得檢驗統(tǒng)計量的抽樣分布，計算假設正確的概率原假設H0為真點估計量的抽樣分布標準化的檢驗統(tǒng)計量

標準化檢驗統(tǒng)計量＝點估計量－假設值點估計量的抽樣標準差（四）、推斷是否接受假設根據(jù)“小概率事件實際上不可能發(fā)生”原理接受或否定假設決策規(guī)則★（臨界值、分位數(shù)）給定顯著性水平

，查表得出相應的臨界值z

或z

/2，t

或t

/2將檢驗統(tǒng)計量的值與

水平的臨界值進行比較作出決策雙側檢驗：I統(tǒng)計量I>臨界值，拒絕H0左側檢驗：統(tǒng)計量<-臨界值，拒絕H0右側檢驗：統(tǒng)計量>臨界值，拒絕H0★（P值）若p值<

,拒絕H0顯著性水平和拒絕域

(雙側檢驗)顯著性水平和拒絕域

(單側檢驗)固定顯著性水平是否有意義?有了P值，我們并不需要用5%或1%這類傳統(tǒng)的顯著性水平。P值提供了更多的信息，它讓我們可以選擇任意水平來評估結果是否具有統(tǒng)計上的顯著性，從而可根據(jù)我們的需要來決定是否要拒絕原假設只要你認為這么大的P值就算是顯著了，你就可以在這樣的P值水平上拒絕原假設傳統(tǒng)的顯著性水平，如1%、5%、10%等等，已經被人們普遍接受為“拒絕原假設足夠證據(jù)”的標準，我們大概可以說：10%代表有“一些證據(jù)”不利于原假設；5%代表有“適度證據(jù)”不利于原假設；1%代表有“很強證據(jù)”不利于原假設三、雙尾檢驗與單尾檢驗備擇假設沒有特定的方向性，并含有符號“

”的假設檢驗，稱為雙側檢驗或雙尾檢驗(two-tailedtest)備擇假設具有特定的方向性，并含有符號“>”或“<”的假設檢驗，稱為單側檢驗或單尾檢驗(one-tailedtest)備擇假設的方向為“<”，稱為左側檢驗

備擇假設的方向為“>”，稱為右側檢驗

(假設的形式)假設雙側檢驗單側檢驗左側檢驗右側檢驗原假設H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m0以總體均值的檢驗為例四、假設檢驗中的兩類錯誤1. 第Ⅰ類錯誤(棄真錯誤)原假設為正確時拒絕原假設第Ⅰ類錯誤的概率記為

被稱為顯著性水平2. 第Ⅱ類錯誤(取偽錯誤)原假設為錯誤時未拒絕原假設第Ⅱ類錯誤的概率記為

(Beta)兩類錯誤的控制一般來說，發(fā)生哪一類錯誤的后果更為嚴重，就應該首要控制哪類錯誤發(fā)生的概率。但由于犯第Ι類錯誤的概率是可以由研究者控制的，因此在假設檢驗中，人們往往先控制第Ι類錯誤的發(fā)生概率

(1)在樣本容量n固定的條件下，提高顯著水平(取較小的值)，如從5%變?yōu)?%則將增大第二類錯誤的概率值。

(2)在n和顯著水平相同的條件下，真總體平均數(shù)和假設平均數(shù)的相差(以標準誤為單位)愈大，則犯第二類錯誤的概率值愈小。

(3)為了降低犯兩類錯誤的概率，需采用一個較低的顯著水平，如=0.05；同時適當增加樣本容量，或適當減小總體方差，或兩者兼有之。(4)如果顯著水平已固定下來，則改進試驗技術和增加樣本容量可以有效地降低犯第二類錯誤的概率。因此，不良的試驗設計(如觀察值太少等)和粗放的試驗技術，是使試驗不能獲得正確結論的極重要原因。因為在這樣的情況下，容易接受任一個假設，而不論這假設是正確的或錯誤的。

錯誤和

錯誤的關系五、假設檢驗結論的表述(“接受”與“不拒絕”)假設檢驗的目的在于試圖找到證據(jù)拒絕原假設，而不在于證明什么是正確的當沒有足夠證據(jù)拒絕原假設時，不采用“接受原假設”的表述，而采用“不拒絕原假設”的表述?！安痪芙^”的表述實際上意味著并未給出明確的結論，我們沒有說原假設正確，也沒有說它不正確“接受”的說法有時會產生誤導，因為這種說法似乎暗示著原假設已經被證明是正確的了。但事實上，H0的真實值我們永遠也無法知道，H0只是對總體真實值的一個假定值，由樣本提供的信息也就自然無法證明它是否正確(“顯著”與“不顯著”)當拒絕原假設時，我們稱樣本結果是統(tǒng)計上顯著的拒絕原假設時結論是清楚的當不拒絕原假設時，我們稱樣本結果是統(tǒng)計上不顯著的不拒絕原假設時，并未給出明確的結論，不能說原假設是正確的，也不能說它不是正確的【例】比如原假設為H0:

=10，從該總體中抽出一個隨機樣本，得到

x=9.8，在

=0.05的水平上，樣本提供的證據(jù)沒有推翻這一假設，我們說“接受”原假設，這意味著樣本提供的證據(jù)已經證明

=10是正確的。如果我們將原假設改為H0:

=10.5，同樣，在

=0.05的水平上，樣本提供的證據(jù)也沒有推翻這一假設，我們又說“接受”原假設。但這兩個原假設究竟哪一個是“真實的”呢？我們不知道5.2樣本平均數(shù)的假設檢驗一、大樣本平均數(shù)的檢驗（一）、一個樣本平均數(shù)假定條件正態(tài)總體或非正態(tài)總體大樣本(n

30)使用z檢驗統(tǒng)計量

2

已知：

2

未知【例】一種罐裝飲料采用自動生產線生產，每罐的容量是255ml，標準差為5ml。為檢驗每罐容量是否符合要求，質檢人員在某天生產的飲料中隨機抽取了40罐進行檢驗，測得每罐平均容量為255.8ml。取顯著性水平

=0.05，檢驗該天生產的飲料容量是否符合標準要求？解：H0

：

=255H1

：

255

=0.05n

=40z01.96-1.960.025拒絕H0拒絕H00.025檢驗統(tǒng)計量:決策:不拒絕H0結論:樣本提供的證據(jù)還不足以推翻“該天生產的飲料符合標準要求”的看法【例】一種機床加工的零件尺寸絕對平均誤差為1.35mm。生產廠家現(xiàn)采用一種新的機床進行加工以期進一步降低誤差。為檢驗新機床加工的零件平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低，從某天生產的零件中隨機抽取50個進行檢驗。利用這些樣本數(shù)據(jù)，檢驗新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低？(

=0.01)50個零件尺寸的誤差數(shù)據(jù)(mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86H0

：

1.35H1

：

<1.35

=0.01n

=50臨界值(c):-2.33z0拒絕H00.01檢驗統(tǒng)計量:

決策:拒絕H0結論:新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比有顯著降低【例】某一小麥品種的平均產量為5200kg/hm2

。一家研究機構對小麥品種進行了改良以期提高產量。為檢驗改良后的新品種產量是否有顯著提高，隨機抽取了36個地塊進行試種，得到的樣本平均產量為5275kg/hm2，標準差為120/hm2

。試檢驗改良后的新品種產量是否有顯著提高？(

=0.05)H0

：

5200H1

：

>5200

=0.05n

=36z0拒絕H00.051.645檢驗統(tǒng)計量:決策:拒絕H0(P=0.000088<

=0.05)結論:改良后的新品種產量有顯著提高大樣本檢驗方法的總結（二）、兩個樣本體均值之差的檢驗

(獨立大樣本)1. 假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本正態(tài)總體或非正態(tài)總體大樣本(n1

30和n2

30)檢驗統(tǒng)計量

12

，

22

已知：

12

，

22

未知：【例】某公司對男女職員的平均小時工資進行了調查，獨立抽取了具有同類工作經驗的男女職員的兩個隨機樣本，并記錄下兩個樣本的均值、方差等資料如右表。在顯著性水平為0.05的條件下，能否認為男性職員與女性職員的平均小時工資存在顯著差異？

兩個樣本的有關數(shù)據(jù)

男性職員女性職員n1=44n1=32=75=70S12=64S22=42.25H0

：

1-

2=0H1

：

1-

2

0

=0.05n1=44，n2

=32z01.96-1.960.025拒絕H0拒絕H00.025檢驗統(tǒng)計量:決策:拒絕H0結論:

該公司男女職員的平均小時工資之間存在顯著差異

兩個樣本體均值之差的檢驗(獨立大樣本)

二、小樣本平均數(shù)的檢驗（一）、一個樣本平均數(shù)的t檢驗1. 假定條件總體服從正態(tài)分布小樣本(n<

30)檢驗統(tǒng)計量

2

已知：

2

未知：【例】一種汽車配件的平均長度要求為12cm，高于或低于該標準均被認為是不合格的。汽車生產企業(yè)在購進配件時，通常是經過招標，然后對中標的配件提供商提供的樣品進行檢驗，以決定是否購進。現(xiàn)對一個配件提供商提供的10個樣本進行了檢驗。假定該供貨商生產的配件長度服從正態(tài)分布，在0.05的顯著性水平下，檢驗該供貨商提供的配件是否符合要求？10個零件尺寸的長度(cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3H0

：

=12H1

：

12

=0.05df

=10-1=9t02.262-2.2620.025拒絕

H0拒絕H00.025檢驗統(tǒng)計量:決策：不拒絕H0結論：樣本提供的證據(jù)還不足以推翻“該供貨商提供的零件符合要求”的看法P57例4.5小樣本檢驗方法的總結（二）、成組數(shù)據(jù)平均數(shù)比較的t檢驗★兩個總體均值之差的檢驗(

12，

22

已知)假定條件兩個獨立的小樣本兩個總體都是正態(tài)分布

12，

22已知檢驗統(tǒng)計量★兩個總體均值之差的檢驗

(

12，

22

未知但

12=

22)假定條件兩個獨立的小樣本兩個總體都是正態(tài)分布

12、

22未知但相等，即

12=

22檢驗統(tǒng)計量其中：自由度兩個總體均值之差的檢驗

(

12，

22

未知且不相等

12

22)假定條件兩個總體都是正態(tài)分布

12，

22未知且不相等，即

12

22檢驗統(tǒng)計量自由度：（三）、成對數(shù)據(jù)平均數(shù)比較的t檢驗假定條件兩個總體配對差值構成的總體服從正態(tài)分布配對差是由差值總體中隨機抽取的

數(shù)據(jù)配對或匹配(重復測量(前/后))檢驗統(tǒng)計量樣本差值均值樣本差值標準差匹配樣本(數(shù)據(jù)形式)觀察序號樣本1樣本2差值1x11x21d1=x11-x212x12x22d2=x12-x22MMMMix1ix2idi

=x1i

-x2iMMMMnx1nx2ndn

=x1n-x2n(匹配樣本檢驗方法的總結)兩個總體均值檢驗方法總結5.3樣本頻率的假設檢驗許多生物試驗的結果是用百分數(shù)或成數(shù)表示的，如結實率、發(fā)芽率、殺蟲率、病株率以及雜種后代分離比例均為不同類型的百分率。這些百分數(shù)系由計數(shù)某一屬性的個體數(shù)目求得，屬間斷性的計數(shù)資料，它與上述連續(xù)性的測量資料不相同。在理論上，這類百分數(shù)的假設測驗應按二項分布進行，即從二項式的展開式中求出某項屬性個體百分數(shù)的概率（略）。如樣本容量n

較大，p不過小，而np和nq又均不小于5時,的分布趨近于正態(tài)。因而可以將百分數(shù)資料作正態(tài)分布處理，從而作出近似的測驗。適于用u測驗所需的二項樣本容量n見表。表

適于用正態(tài)離差測驗的二項樣本的np和n值表(樣本百分數(shù))(較小組次數(shù))n(樣本容量)0.5015300.4020500.3024800.20402000.10606000.05701400一、單個樣本頻率（百分數(shù)）的假設測驗★np或nq<5，則由二項式展開式直接檢驗。★5<np或nq<30時，二項式分布趨近正態(tài)，可用z檢驗（n≧30)或t檢驗（n<30)，但需進行連續(xù)性矯正?！飊p、nq均大于30時，用z檢驗，不需進行連續(xù)性矯正。樣本頻率的標準誤為：在不需要進行連續(xù)矯正時，z值的計算公式為：在需要進行連續(xù)矯正時，值的計算公式為：例4.10，4.11二、兩個樣本頻率（百分數(shù)）的假設測驗★np或nq<5，則由二項式展開式直接檢驗?！?<np或nq<30時，二項式分布趨近正態(tài)，可用z檢驗（n≧30)或t檢驗（n<30)，但需進行連續(xù)性矯正?！飊p、nq均大于30時，用z檢驗，不需進行連續(xù)性矯正。兩個樣本頻率的標準誤為：在的條件下，兩個樣本頻率的標準誤為：其中，x1、x2

分別代表兩樣本中某屬性出現(xiàn)的次數(shù)，n1n2

分別為兩樣本的容量。

在不需要進行連續(xù)矯正時，z值的計算公式為：例4.12，4.13在需要進行連續(xù)矯正時，zc值的計算公式為：5.4總體方差的檢驗(

2檢驗)

（一）、一個樣本檢驗一個總體的方差或標準差假設總體近似服從正態(tài)分布使用

2分布檢驗統(tǒng)計量假設的總體方差樣本方差【例】啤酒生產企業(yè)采用自動生產線灌裝啤酒，每瓶的裝填量為640ml，但由于受某些不可控因素的影響，每瓶的裝填量會有差異。此時，不僅每瓶的平均裝填量很重要，裝填量的方差同樣很重要。如果方差很大，會出現(xiàn)裝填量太多或太少的情況，這樣要么生產企業(yè)不劃算，要么消費者不滿意。假定生產標準規(guī)定每瓶裝填量的標準差不應超過和不應低于4ml。企業(yè)質檢部門抽取了10瓶啤酒進行檢驗，得到的樣本標準差為s=3.8ml。試以0.10的顯著性水平檢驗裝填量的標準差是否符合要求？

2016.91903.32511

/2=0.05H0

：

2=42H1

：

2

42

=0.10df

=10-1=9臨界值(s):統(tǒng)計量:決策:不拒絕H0樣本提供的證據(jù)還不足以推翻“裝填量的標準差不符合要求”的看法

結論:總體方差的檢驗(檢驗方法的總結)（二）、兩個總體方差比的檢驗(F

檢驗)假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，且方差相等兩個獨立的隨機樣本檢驗統(tǒng)計量F

檢驗(臨界值)兩個總體方差比的檢驗

(檢驗方法的總結)5.5參數(shù)估計矩估計法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計量法估計方法點估計區(qū)間估計點估計(pointestimate)用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一、區(qū)間估計和點估計區(qū)間估計(intervalestimate)在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠對樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數(shù)在75～85之間，置信水平是95%置信區(qū)間置信下限置信上限樣本統(tǒng)計量

(點估計)區(qū)間估計的圖示置信區(qū)間(confidenceinterval)由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個置信水平(confidencelevel)置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平表示為(1-

為是總體參數(shù)未在區(qū)間內的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應的

為0.01，0.05，0.10(95%的置信區(qū)間)置信區(qū)間與置信水平評價估計量的標準無偏性(unbiasedness)無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)有效性(efficiency)有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效

一致性(consistency)一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)二、總體均值的區(qū)間估計結果的四舍五入法則當用原始數(shù)據(jù)構建置信區(qū)間時，置信區(qū)間的計算結果應保留的小數(shù)點位數(shù)要比原始數(shù)據(jù)中使用的小數(shù)點多一位如，原始數(shù)據(jù)有一位小數(shù)，置信區(qū)間的結果應保留兩位小數(shù)當不知道原始數(shù)據(jù)，只使用匯總統(tǒng)計量(n，x，s)時，置信區(qū)間的計算結果保留的小數(shù)點位數(shù)應與樣本均值使用的小數(shù)點位數(shù)相同總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、

２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z3.總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為（一）、一個總體均值的區(qū)間估計例題分析【例】一家食品生產企業(yè)以生產袋裝食品為主，為對產量質量進行監(jiān)測，企業(yè)質檢部門經常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量（單位：g）如下表所示。已知產品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g(例題分析)【例】一家保險公司收集到由36投保個人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、

２未知、小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(

２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計量總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為P67：例4.15（二）、兩個總體均值的區(qū)間估計(獨立大樣本)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，

1２，

2２已知若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n1

30和n2

30)兩個樣本是獨立的隨機樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z在1-

置信水平下的置信區(qū)間(大樣本)1.

1２，

2２已知時，兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為

1２，

2２未知時，兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為★兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本)假定條件兩個匹配的大樣本(n1

30和n2

30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為對應差值的標準差對應差值的均值兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本)(小樣本:

12=

22

)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：

1２=

2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)總體方差的合并估計量3.估計量

x1-x2的抽樣標準差兩個樣本均值之差的標準化統(tǒng)計量兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為(例題分析)【例】為估計兩種方法組裝產品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產品所需的時間(單位：min)如下表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得合并估計量為兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.14min~7.26min兩個總體均值之差的估計

(小樣本:

12

22

)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：

1２

2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)使用統(tǒng)計量自由度v

兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為(例題分析)【例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有關數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得自由度為兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.192min~9.058min★兩個總體均值之差的估計(匹配小樣本)假定條件兩個匹配的小樣本(n1<30和n2<30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布

兩個總體均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為(例題分析)【例】由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結果如右表。試建立兩種試卷分數(shù)之差

d=