第五章-連續(xù)系統(tǒng)的S域分析

頻域分析以虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和,使響應的求解得到簡化，物理意義清楚,但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2tε(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。（3）傅里葉反變換不好求在這一章,把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域，解決以上問題。本章引入復頻率s=σ+jω,以復指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復頻率s，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。第五章連續(xù)系統(tǒng)的S域分析§5.1拉普拉斯變換§5.2拉普拉斯變換的性質§5.3拉普拉斯變換逆變換§5.4復頻域分析本章要點§

5.1拉普拉斯變換

一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域三、(單邊)拉普拉斯變換§

5.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-σt(σ為實常數(shù)）乘信號f(t)，適當選取σ的值，使乘積信號f(t)e-σt當t→∞時信號幅度趨近于0，從而使f(t)e-σt的傅里葉變換存在。相應的傅里葉逆變換為Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、收斂域只有選擇適當?shù)摩抑挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的σ取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。解：例1因果信號f1(t)=eαt

ε(t)，求其拉普拉斯變換。可見，對于因果信號，僅當Re[s]=σ>α時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。解：例2反因果信號f2(t)=eβtε(-t)，求其拉普拉斯變換?？梢?，對于反因果信號，僅當Re[s]=σ<β時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)例3雙邊信號求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。僅當β>α時，其收斂域為α<Re[s]<β的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。解例4求下列信號的雙邊拉氏變換。f1(t)=e-3t

ε(t)+e-2t

ε(t)f2(t)=–e-3t

ε(–t)–e-2t

ε(–t)f3(t)=e-3t

ε(t)–e-2t

ε(–t)可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標出收斂域。結論：1、對于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn)(S)和收斂域一起，可以唯一地確定f(t)。即：2、不同的信號可以有相同的F(S)，但他們的收斂域不同；不同信號如果有相同的收斂域，則他們的F(S)必然不同！三、單邊拉氏變換通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，t<0時，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為上式稱為單邊拉氏變換。簡稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>α，通?？梢允÷浴１菊n程主要討論單邊拉氏變換。為使象函數(shù)F（s）存在的條件：如果函數(shù)ｆ（ｔ）滿足：（１）在有限的區(qū)間ａ＜ｔ＜ｂ內(nèi)可積；（２）對于σ０有可積的時限信號，其象函數(shù)在全ｓ平面收斂解：例5.1－5求復指數(shù)函數(shù)（式中s0為復常數(shù)）f(t)=es0t(t)的象函數(shù)若s0為實數(shù)，令s0＝，則有若s0為實數(shù)，令s0＝

j，則有若s0為0，

(t)←→1/sRe[s]>0四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、

(t)←→1，

>-∞

(t)←→2、指數(shù)函數(shù)e-s0t

ε(t)←→

>-Re[s0]3、指數(shù)函數(shù)es0t

ε(t)

←→

>Re[s0]

’(t)←→ｓ，

>-∞常見函數(shù)的拉普拉斯變換5、若s0

為實數(shù)，且s0=±a(a>0),

則4、

(t)或1←→1/s，

>06、若s0為虛數(shù)，且s0=±jβ，則常見函數(shù)的拉普拉斯變換８.cos

0t=(ej

0t+e-j

0t)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t)/2j←→7.ｔ

(t)←→1/s２

>0

五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系Re[s]>

0

要討論其關系，f(t)必須為因果信號。

根據(jù)收斂坐標

0的值可分為以下三種情況：（1）

0<0，即F(s)的收斂域包含j

軸，則f(t)的傅里葉變換存在，并且F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；則F(j)=1/(j+2)單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系（2）

0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s

=()+1/j（3）

0>0，F(xiàn)(j

)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里葉變換不存在?！?.2

拉普拉斯變換性質

線性性質尺度變換時移特性復頻域特性時域微分時域積分

卷積定理

S域微分

S域積分初值定理終值定理§5.2拉氏變換的基本性質

拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質。這里只著重于ROC的討論。例1

f(t)=

(t)+

(t)←→1+1/s，

>0若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)Re[s]>max(1,2)

是兩個函數(shù)收斂域的交集當

1

與

2

無交集時，表明F(s)

不存在。一、線性性質如果是兩個函數(shù)之差，其收斂域可能被擴大，（例５．２－２）二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有實數(shù)a>0，證明：則f(at)←→Re[s]>ａ0Re[s]>ａ0F(s)的收斂域為Re[s]>0，Ｆ[s/a]的收斂域為Re[s/a]

>0

可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。求的拉氏變換及ROC例.三、時移特性若f(t)

<-->F(s),Re[s]>

0,且有實常數(shù)t0>0,則f(t-t0)

(t-t0)<-->e-st0F(s),Re[s]>

0

ROC不變與尺度變換相結合f(at-t0)

(at-t0)←→例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t)=

(t)–

(t-1)，f2(t)=

(t+1)–

(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)四、復頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有復常數(shù)sa=

a+j

a,則f(t)esat

←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

復頻域特性：表明F(s-sa)

的ROC是將F(s)

的ROC平移了一個Re[sa]例.顯然五、時域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)推廣：證明：f(t)為指數(shù)階函數(shù)若f(t)為因果信號，則f(n)(t)←→snF(s)舉例例1:解:六時域積分特性（積分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,則已知后者，也可推出前者若f(t)為因果信號，f(n)(0-)=0,則證P222例1:已知

(t)←→1/s，求t2

(t)<---->?例5.2-8例:已知因果信號f(t)如圖,求F(s)解：對f(t)求導得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)結論：若f(t)為因果信號，已知f(n)(t)←→Fn(s)

則f(t)←→Fn(s)/sn七、卷積定理時域卷積定理

若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1,

f2(t)←→F2(s),Re[s]>

2

則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)Re[s]>max(1,2)

復頻域（s域）卷積定理(較少用到)

Re[s]>1+2，1

＜c

＜Re[s]-2八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例1：t2e-2t

(t)←→?t2e-2t

(t)←→e-2t

(t)←→1/(s+2)九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設函數(shù)f(t)不含δ(t)及其各階導數(shù)，且f(t)及其導數(shù)存在拉氏變換，f(t)的象函數(shù)F(s)，終值定理若f(t)當t→∞時的極限存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,時0+，頻∞頻∞，時0+S=0必須在是F（s）的收斂域內(nèi)Re[s]>σ0舉例例：§5.3拉普拉斯逆變換

直接利用定義式求反變換---復變函數(shù)積分。熟悉復變函數(shù)，且比較困難通常的方法:（1）查表法（附錄五）（2）性質法（借助拉氏變換的性質）例如：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)ε（t）f（t）由于L-1[1]=δ(t)，L-1[sn]=δ(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)及其各階導數(shù)構成。若m≥n

（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。（3）部分分式展開-----F(s)是s的有理真分式（若F(s)是無理分式，用留數(shù)定理）若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為下面主要討論有理真分式的情形。若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為

分解零點極點式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為系統(tǒng)的固有頻率（或自然頻率）。n個特征根pi稱為F(s)的極點。（1）F(s)為單極點（單根）第一種情況：單階實數(shù)極點A(s)=0的根都是單根且待定系數(shù)Ki：上式兩邊乘以（s-pi）當spi，時利用線性性質由于“留數(shù)”單階實極點舉例(1)求極點(2)展為部分分式(3)逆變換求系數(shù)假分式情況：作長除法第二種情況：極點為共軛復數(shù)共軛極點出現(xiàn)在

P-235求f(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)

(t)其中：-α為共軛極點的實部；β為共軛極點的虛部|K1|為“留數(shù)”之模θ為“留數(shù)”的幅角共軛極點舉例（2）F(s)有重極點（重根）求K11，方法兩邊乘以（s-pi）令s=p1：求其他系數(shù)，要用下式若A(s)=0在s=p1處有r重根P225-（5.2-23）§

5.4復頻域分析一、微分方程的變換解

二、系統(tǒng)函數(shù)

三、系統(tǒng)的s域框圖

四、電路的s域模型

§5.4

復頻域分析-LTI系統(tǒng)一、微分方程的變換解

拉氏變換將描述系統(tǒng)的時域微積分方程轉換到s域的代數(shù)方程，且將系統(tǒng)的初始狀態(tài)包含于象函數(shù)方程中，省去0+到0-的跳變過程的分析，即可以求得系統(tǒng)的全響應描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性

y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代數(shù)方程若f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)A(s)B(s)M(s)A(s)：是系統(tǒng)的特征多項式，A(s)和B(s)的系數(shù)只和aj和b有關M(s)：與aj和y（p）（0-）有關和激勵無關舉例例5.4-4

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵f(t)=5cost

(t)，求系統(tǒng)的全響應y(t)解：方程取拉氏變換，并整理得Yzi(s)Yzs(s)y(t)=[2e–2t–e–3t-4e–2t+3e–3t+yzi(t)yzs

(t)瞬態(tài)分量yt

(t)穩(wěn)態(tài)分量ys

(t)二、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結構、元件參數(shù)有關，而與激勵、初始狀態(tài)無關。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yzs(s)=L

[h(t)]●F(s)]Yzs(s)=H(s)

●F(s)]三、系統(tǒng)的s域框圖時域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s域框圖基本單元(零狀態(tài))s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++例如下圖所示框圖，列出其微分方程X(s)s-1X(s)s-2X(s)解根據(jù)s域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代數(shù)方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)

微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f(t)再求h(t)?設左邊加法器輸出為X(s)，如圖四、用拉氏變換法分析電路的步驟:列s域方程（可從兩方面入手）求解s域方程。，得到時域解答。

列時域微分方程，用微積分性質求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。什么是電路的s域模型？1、KCL、KVL方程KCLKVL線性結點回路五、電路的s域模型圖R的時域和S域串聯(lián)模型

(a)時域模型；(b)S域模型LT1.（1）電阻用于回路分析(串聯(lián)模型)（VAR）對時域電路取拉氏變換圖具有起始電流電感L的時域和S域串聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型LT（2）電感用于回路分析(串聯(lián)模型)（VAR）圖具有起始電壓電感電容元件的時域和S域串聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型（3）電容用于回路分析(串聯(lián)模型)（VAR）圖R的時域和S域并聯(lián)模型

(a)時域模型；(b)S域模型LTiR(t)=uR(t)/RIR(s)=UR(s)/R=GUR(s)2.（2）電阻用于結點分析（并聯(lián)模型）（VAR）圖電感L的時域和S域并聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型（2）電感用于結點分析（并聯(lián)模型）（VAR）圖電容元件的時域和S域并聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型（3）電容用于結點分析（并聯(lián)模型）（VAR）若初始狀態(tài)為零狀態(tài)：iL(0)=iL(0-)=iL(0+)＝0uc(0)=uc(0-)=uc(0+)＝0則描述動態(tài)元件起始狀態(tài)的電壓源、電流源不存在（為零）圖4.5-4電感、電容元件的零狀態(tài)S域模型(a)電感元件；(b)電容元件（a)表5―3電路元件的s域模型

求響應的步驟畫0-等效電路，求初始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應的拉氏變換U(s)或I(s)；拉氏反變換求u(t)或i(t)。RLC系統(tǒng)的復頻域模型及分析方法

例：如圖所示RLC系統(tǒng)，us1(t)=2V,us2(t)=4V,R