線面角和面面角

線面角和面面角如圖,點Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點P到平面的垂線段pQ

過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；

這點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。１.垂線、斜線、射影(１)垂線點P在平面內(nèi)的射影線段PQ一、直線和平面所成的角（2）斜線

一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線．

斜線和平面的交點叫做斜足。

從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段PR說明：平面外一點到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點到這個平面的斜線段有無數(shù)條思考：平面外一點到一個平面的垂線段有幾條？斜線段有幾條？PRQST如圖：＿＿＿＿是斜線AC在內(nèi)的射影，線段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．

垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影．(３)射影直線BC斜線段AC在內(nèi)的射影ACBFE說明：斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。思考：斜線上的一個點在平面上的射影會在哪呢？

平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。2.直線和平面所成角的定義ABO①一條直線垂直與平面，它們所成的角是直角；②一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0

的角。說明：③直線和平面所成角的范圍是[0，]AlBOD

l是平面

的斜線，點O是斜足，A是l上任意一點，AB是平面

的垂線，B是垂足，直線OB是l在

內(nèi)的射影，∠AOB

(記作θ）是l與平面

所成的角.θ與∠AOD的大小關(guān)系如何？COD是

內(nèi)不同于OB的任一直線，過點A引AC垂直于OD，垂足為C.AlBODθ與∠AOD的大小關(guān)系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD

拓展：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)任意的直線所成的一切角中最小的角。C定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。例1.如圖，AO是平面π的斜線，AB⊥平面π于B，OD是π內(nèi)不與OB重合的直線，∠AOB=

，∠BOD=

，∠AOD=

，求證：cos

=cos

cos

ABODC

例1

在Rt△ABC中,∠B=90°,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC(1)四面體P-ABC中有幾個直角三角形(2)指出PB,PC與平面ABC所成的角

AC,PC與平面PAB所成的角ACBP如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角A1D1C1B1ADCB0o鞏固練習(xí)如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角A1D1C1B1ADCB90o鞏固練習(xí)如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角A1D1C1B1ADCB45o鞏固練習(xí)AC1DCA1D1BF例2在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求直線A1B與平面A1B1CD所成的角AC1DCBP變式：（１）求直線AC與平面A1B1CD所成的角（２）E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，求EF與面ACC1A1所成的角.B1A1D1QB1EO練習(xí)1.兩直線與一個平面所成的角相等,它們平行嗎？2.兩平行直線和一個平面所成的角相等嗎？二、二面角的平面角:1、二面角的平面角的定義：面角的平面角.

一個平面垂直于二面角的棱，并與兩半平面分別相交于射線PA、PB垂足為P，則∠APB叫做二定義二：定義一：

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1αβB。PA小結(jié)：

(1).二面角就是用它的平面角來度量的。一個二面角的平面角多大，我們就說個二面角是多少度的二面角。

(2).二面角的平面角與點（或垂直平面）的位置無任何關(guān)系，只與二面角的張角大小有關(guān)。二面角的度量二面角的平面角的三個特征：3）角的邊都要垂直于二面角的棱。1）角的頂點在棱上;2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi);γ討論1如圖，點A在二面角α-a-β的半平面α上一點，過點A如何作出二面角α-a-β的平面角？----“定義法”討論2討論3----“三垂線法”----“垂面法”O(jiān)BB

lA

lA過A作AB⊥β交于B

，再過A作AO⊥a交于O連結(jié)OB，則∠AOB為所求的角。O由定義知：過A作AO⊥

交于O，在面β內(nèi)作OB⊥則∠ＡＯＢ為所求的角。過A作平面γ

⊥

分別交α、β于OA、OB，則∠AOB為所求的角。2、二面角的平面角的作法:在正方體ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’尋找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O在正方體ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.例2