第七章隨機(jī)變量及其分布全章綜合測評卷- 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

《第七章隨機(jī)變量及其分布》全章綜合測評卷一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知某同學(xué)投籃一次的命中率為910,連續(xù)兩次均投中的概率是1A.15 B.C.35 D.2.某人進(jìn)行一項實驗,若實驗成功,則停止實驗,若實驗失敗,再重新實驗一次,若實驗3次均失敗,則放棄實驗.若此人每次實驗成功的概率為23A.43 B.C.53 D.3.已知隨機(jī)變量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,則D(η)=()A.0 B.1C.2 D.44.投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才算通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為()A.0.648 B.0.432C.0.36 D.0.3125.甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí),記兩人所選課程相同的門數(shù)為X,則E(X)=()A.1 B.1.5C.2 D.2.56.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=12A.12p C.1-2p D.127.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè),其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在這些拋物線中,記隨機(jī)變量X=“|a-b|的取值”,則X的均值為()A.89 B.C.25 D.8.9粒種子分種在3個坑內(nèi),每個坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補(bǔ)種;若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補(bǔ)種.假定每個坑至多補(bǔ)種一次,每補(bǔ)種1個坑需10元,用隨機(jī)變量X表示補(bǔ)種費(fèi)用,則X的均值等于()A.154 B.C.38 D.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示:X012Pa4a5a下列選項中正確的是()A.a=0.1 B.E(X)=0.44C.E(X)=1.4 D.D(X)=1.410.某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽(每人被選中的機(jī)會均等),記A為“男生甲被選中”,B為“男生乙和女生丙至少一個被選中”,則下列結(jié)論中正確的是()A.P(A)=37 B.P(B)=C.P(AB)=935 D.P(B|A)=11.若隨機(jī)變量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,下列等式成立的有()A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|≤x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)12.已知X~N(μ,σ2),f(x)=12πσe-A.曲線y=f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1B.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=μ對稱C.P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)D.函數(shù)F(x)=P(X>x)在R上單調(diào)遞增三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:Xa234P1b11若E(X)=2,則D(X)=.14.某科研院校培育橘樹新品種,使得橘樹在淮北種植成功,經(jīng)過科學(xué)統(tǒng)計,單個果品的質(zhì)量ξ(單位:g)近似服從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,在有1000個的一批橘果中,估計單個果品質(zhì)量不低于94g的橘果個數(shù)為.15.設(shè)一次試驗成功的概率為p,進(jìn)行100重伯努利試驗,則當(dāng)p=時,成功次數(shù)X的方差的值最大,其最大值為.16.某高中為調(diào)查本校1800名學(xué)生周末玩游戲的時長,設(shè)計了如下的調(diào)查問卷.在一個袋子中裝有3個質(zhì)地和大小均相同的小球,其中1個白球,2個紅球,規(guī)定每名學(xué)生從袋子中有放回地隨機(jī)摸兩次球,每次摸出一個球,記下顏色.若“兩次摸到的球顏色相同”,則回答問題一:若第一次摸到的是紅球,則在問卷中畫“○”,否則畫“×”;若“兩次摸到的球顏色不同”,則回答問題二:若玩游戲時長不超過一個小時,則在問卷中畫“○”,否則畫“×”.當(dāng)全校學(xué)生完成問卷調(diào)查后,統(tǒng)計畫“○”和畫“×”的比例,由頻率估計概率,即可估計出玩游戲時長超過一個小時的人數(shù).若該校高一一班有45名學(xué)生,用X表示回答問題一的人數(shù),則X的均值為;若該校的所有調(diào)查問卷中,畫“○”和畫“×”的比例為7∶2,則可估計該校學(xué)生周末玩游戲時長超過一個小時的人數(shù)為.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)一批同型號的螺釘由編號為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三臺機(jī)器共同生產(chǎn),各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)陌俜致史謩e為35%,40%,25%,各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘次品率分別為3%,2%和1%.(1)求從這批螺釘中任取一件是次品的概率;(2)現(xiàn)從這批螺釘中取到一件次品,求該次品來自Ⅱ號機(jī)器生產(chǎn)的概率.18.(12分)在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績ξ服從一個正態(tài)分布,即ξ~N(90,100).(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間[70,110]上的概率;(2)若這次考試共有2000名考生,試估計考試成績在[80,100]的考生大約有多少人?19.(12分)某校從學(xué)生會宣傳部6名成員(其中男生4人,女生2人)中,任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動.(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被選中的概率;(3)設(shè)“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,求P(B)和P(B|A).20.(12分)某高中學(xué)校組織航天科普知識競賽,分小組進(jìn)行知識問題競答.甲、乙兩個小組分別從6個問題中隨機(jī)抽取3個問題進(jìn)行回答,答對題目多者獲勝.已知這6個問題中,甲組能正確回答其中4個問題,而乙組能正確回答每個問題的概率均為23(1)求甲小組至少答對2個問題的概率;(2)若從甲、乙兩個小組中選拔一組代表學(xué)校參加全市決賽,請分析說明選擇哪個小組更好?21.(12分)某車間在兩天內(nèi),每天生產(chǎn)10件產(chǎn)品,其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件、2件次品.質(zhì)檢部每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查,若發(fā)現(xiàn)有次品,則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.(1)求兩天全部通過檢查的概率;(2)若廠內(nèi)對該車間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量采用獎懲制度,兩天全不通過檢查罰300元,通過1天、2天分別獎300元、900元.那么該車間在這兩天內(nèi)得到獎金的均值是多少元?22.(12分)某學(xué)校舉行聯(lián)歡會,所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎.甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張.每個節(jié)目投票時,甲、乙、丙三名老師每人必須且只能投一張票,每人投三類票中的任何一類票的概率都為13(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率;(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”票和“待定”票票數(shù)之和X的分布列及均值.參考答案一、單項選擇題1.D根據(jù)題意,設(shè)A=“該同學(xué)某次投籃命中”,事件B=“隨后一次也命中”.由題意得P(A)=910,P(AB)=122.B由題意可得X=1,2,3,每次實驗成功的概率為23則每次實驗失敗的概率為13,P(X=1)=2P(X=2)=13×2則X的分布列如表所示.X123P221所以E(X)=1×23+2×3.B∵ξ=2η+3,∴D(ξ)=4D(η).又D(ξ)=4,∴D(η)=1.4.A根據(jù)題意,該同學(xué)通過測試的兩種情況分別為投中2次和投中3次,所以所求概率P=C32×0.62×(1-0.6)+C5.B由已知得X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C63×P(X=2)=C62×∴E(X)=0×120+1×920+26.D因為P(X<1)=12,由正態(tài)曲線的對稱性得μ=1,即正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱,于是P(X<0)=P(X>2),所以P(0<X<1)=P(X<1)-P(X<0)=P(X<1)-P(X>2)=17.A由于對稱軸在y軸左側(cè),故-b2由題知X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=618=13故E(X)=0×13+1×8.A根據(jù)題意,每個坑需要補(bǔ)種的概率是相等的,都是123=18,所以此問題相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗,做了三次,每次發(fā)生的概率都是18,所以需要補(bǔ)種的坑的均值為3×1二、多項選擇題9.AC由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)知a+4a+5a=1,∴a=0.1.∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5.∴E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44.10.ACD由題意,得P(A)=C62C73=11.AC∵隨機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),∴正態(tài)曲線關(guān)于ξ=0對稱.∵Φ(x)=P(ξ≤x),x>0,根據(jù)曲線的對稱性可得Φ(-x)=P(ξ≥x)=1-Φ(x),故選項A正確;∵Φ(2x)=P(ξ≤2x),2Φ(x)=2P(ξ≤x),∴Φ(2x)≠2Φ(x),故選項B錯誤;對于C,P(|ξ|≤x)=P(-x≤ξ≤x)=1-2Φ(-x)=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1,故選項C正確;對于D,P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x),故選項D錯誤.12.BC曲線y=f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1,所以A錯誤;f(x+μ)=12πσ因為P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ),所以P(X>μ-σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ),所以C正確;由正態(tài)分布曲線可知,當(dāng)x越大時,P(X>x)越小,即函數(shù)F(x)=P(X>x)的值隨x的增大而減小,且F(x)在R上是減函數(shù),所以D錯誤.三、填空題13.52由題得13+b+則E(X)=13a+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0,則D(X)=(0-2)2×1314.300∵單個果品的質(zhì)量ξ近似服從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,∴P(90≤ξ<94)=0.2,∴P(ξ≥94)=1-15.1225由題知,成功次數(shù)X~B(100,p),所以D(X)=100p(1-p)≤100×p+1-p216.25450依題意,每次摸到白球的概率為13,摸到紅球的概率為23,兩次摸到的球顏色相同的概率P=13×13所以X的均值為E(X)=45×5用A表示“回答問題一”,B表示“回答問題二”,C表示“在問卷中畫×”,則有P(A)=59,P(B)=1-P(A)=49,P(A)P(C|A)=P(AC)=13×13=19四、解答題17.解設(shè)A=“螺釘是次品”,B1=“螺釘由Ⅰ號機(jī)器生產(chǎn)”,B2=“螺釘由Ⅱ號機(jī)器生產(chǎn)”,B3=“螺釘由Ⅲ號機(jī)器生產(chǎn)”,則P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,(1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021.(2)P(B2|A)=P18.解因為ξ~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于隨機(jī)變量在區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率是0.9545,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成績ξ位于區(qū)間[70,110]上的概率為0.9545.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于隨機(jī)變量在區(qū)間[μ-σ,μ+σ]上取值的概率是0.6827,所以考試成績ξ位于區(qū)間[80,100]上的概率是0.6827.一共有2000名學(xué)生,所以考試成績在[80,100]的考生大約有2000×0.6827≈1365(人).19.解(1)由題知,X的所有可能取值為0,1,2,依題意得P(X=0)=C43C6∴X的分布列如表所示.X012P131(2)設(shè)“甲、乙都未被選中”為事件C,則P(C)=C∴所求概率為P(C)=1-P(C)=1-1(3)P(B)=C5220.解(1)∵這6個問題中,甲組能正確回答其中的4個問題,∴甲組至少答對兩個問題的概率P1=1-C41(2)設(shè)甲組答對題數(shù)為X,則X所有可能取值為1,2,3,則P(X=1)=C4P(X=2)=C42×故E(X)=1×15+2×3D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×3設(shè)乙組答對題數(shù)為Y,由題意可得,隨機(jī)變量Y~B3,23,故E(Y)=3×23=2,D(Y)=3∵E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲組與乙組的平均水平相當(dāng),但甲組比乙組的成績更穩(wěn)定,故選擇甲組.21.解(1)隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品進(jìn)行檢查是隨機(jī)事件.記“第一天通過檢查”為事件A,則P(A)=C記“第二天通過檢查”為事件B,則P(B)=C因為第一天、第二天檢查是否通過是相互獨(dú)立的,所以兩天全部通過檢查的概率為P(AB)=P(A)P(B)=3(2)記所得獎金為ξ元,則ξ的取值為-300,300,900.P(ξ=-300)=P(AB)=P(A)P(BP(ξ=300)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(AP(ξ=900)=P(AB)=1所以ξ的分布列為ξ-300300900P481E(ξ)=-3