新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（講）原卷版

專題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用新課程考試要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）等.考向預(yù)測（1）測量距離問題；（2測量高度問題；（3）測量角度問題.（4）主要是利用定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的問題，關(guān)鍵是弄懂有關(guān)術(shù)語，認(rèn)真理解題意.三角形中的應(yīng)用問題，主要是結(jié)合直角三角形、正方形等，考查邊角及面積的計算，與平面向量、解析幾何、立體幾何等結(jié)合考查，也有與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查的情況.【知識清單】知識點(diǎn)1．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知識點(diǎn)2．余弦定理余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知識點(diǎn)3．實際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)．②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)．【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)1與平面向量、解析幾何、立體幾何結(jié)合【典例1】（2021·四川成都市·高三三模（文））已知A，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的兩個動點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2021·山東省青島第一中學(xué)高一期中）如圖所示，為測量山高SKIPIF1<0選擇A和另一座山的山頂SKIPIF1<0為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得SKIPIF1<0點(diǎn)的仰角SKIPIF1<0點(diǎn)的仰角SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0從SKIPIF1<0點(diǎn)測得SKIPIF1<0，若山高SKIPIF1<0米，則山高SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【典例3】（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，SKIPIF1<0D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若SKIPIF1<0（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【變式探究】1.（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在SKIPIF1<0處（點(diǎn)SKIPIF1<0在水平地面SKIPIF1<0的下方，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與水平地面SKIPIF1<0的交點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地相距100米，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離比SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離遠(yuǎn)40米．SKIPIF1<0地測得該儀器在SKIPIF1<0處的俯角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0地測得最高點(diǎn)SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，則該儀器的垂直彈射高度SKIPIF1<0為（）A．210米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．420米2.（2021·浙江高二期末）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的三個內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積最大值為_______．3.（高考真題）如圖，在某海濱城市O附近的海面上正形成臺風(fēng).據(jù)氣象部門檢測，目前臺風(fēng)中心位于城市O的南偏東15°方向200km的海面P處，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移動.如果臺風(fēng)侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為100km，并以20考點(diǎn)2測量距離問題【典例4】（2021·永豐縣永豐中學(xué)高一期末）為了測量河對岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距SKIPIF1<0的兩點(diǎn)A，B處分別測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0間的距離為________.【總結(jié)提升】測量距離問題，歸納起來常見的命題角度有：（1）兩點(diǎn)都不可到達(dá)；（2）兩點(diǎn)不相通的距離；（3）兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá).【變式探究】（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學(xué)的一草一木都見證了同學(xué)們的成長．某同學(xué)為了測量瀾飛湖兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測點(diǎn)C，D外，他又選了兩個觀測點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已經(jīng)測得兩個角SKIPIF1<0，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（）組

①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)3測量高度問題【典例5】（2021·北京高三其他模擬）魏晉南北朝(公元SKIPIF1<0)時期，中國數(shù)學(xué)在測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，通過多次觀測，測量山高水深等數(shù)值，進(jìn)而使中國的測量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步，超越西方約一千年，關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離(圖1)，故題為《海島算經(jīng)》受此題啟發(fā)，小清同學(xué)依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高度和距離(示意圖如圖2所示)，錄得以下是數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行SKIPIF1<0，表高SKIPIF1<0，后表卻行SKIPIF1<0，表間SKIPIF1<0.則塔高SKIPIF1<0__________米，前表去塔遠(yuǎn)近SKIPIF1<0__________米.【總結(jié)提升】求解高度問題的三個關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．【變式探究】（全國高考真題）如圖，為測量出高SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0和另一座山的山頂SKIPIF1<0為測量觀測點(diǎn)，從SKIPIF1<0點(diǎn)測得SKIPIF1<0點(diǎn)的仰角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)的仰角SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0；從SKIPIF1<0點(diǎn)測得SKIPIF1<0．已知山高SKIPIF1<0，則山高SKIPIF1<0__________SKIPIF1<0．考點(diǎn)4測量角度問題【典例6】（2021·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））一張臺球桌形狀是邊長為SKIPIF1<0的正六邊形SKIPIF1<0，已知一個小球從SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)SKIPIF1<0擊出后，擊中SKIPIF1<0邊上某點(diǎn)SKIPIF1<0，之后依次碰擊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各邊，最后擊中SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【總結(jié)提升】1.解決角度問題的注意事項(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．2．測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．提醒：方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點(diǎn)的方向角．【變式探究】某沿海四個城市、、、的位置如圖所示，其中，，，，，位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行，后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時城市對于輪船的方位角是南偏西度，則__________．考點(diǎn)5應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實際問題【典例7】（2021·浙江高三期末）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)SKIPIF1<0處下山至SKIPIF1<0處有兩種路徑．一種從SKIPIF1<0沿直線步行到SKIPIF1<0，另一種是先從SKIPIF1<0沿索道乘纜車到SKIPIF1<0，然后從SKIPIF1<0沿直線步行到SKIPIF1<0．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從SKIPIF1<0處下山，甲沿SKIPIF1<0勻速步行，速度為SKIPIF1<0．在甲出發(fā)SKIPIF1<0后，乙從SKIPIF1<0乘纜車到SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處停留SKIPIF1<0后，再從SKIPIF1<0勻速步行到SKIPIF1<0．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為SKIPIF1<0，山路SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，經(jīng)測量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鈍角．（1）求索道SKIPIF1<0的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在SKIPIF1<0處互相等待的時間不超過SKIPIF1<0分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么