圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)(高三)

第第頁(yè)直線的傾斜角與斜率、直線方程一、直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0，π)．2．斜率公式(1)直線l的傾斜角為α≠90°，則斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).二、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內(nèi)所有直線都適用兩條直線的位置關(guān)系一、兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線平行與垂直(1)兩條直線平行：①兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.(2)兩條直線垂直：①如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.2．兩條直線的交點(diǎn)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．1．一般地，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0；與之垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.2．過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.二、幾種距離1．兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).點(diǎn)到直線與兩平行線間的距離的使用條件：(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式．(2)求平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．圓的方程一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)集合限定條件標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2圓心：(a，b)，半徑：rr＞0一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)D2＋E2－4F＞0確定圓的方程時(shí)，常用到的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．二、點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系1．若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.2．若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.3．若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.從位置看d，r的關(guān)系判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系還可利用點(diǎn)到圓心的距離d與r的關(guān)系：d＞r?點(diǎn)在圓外；d＝r?點(diǎn)在圓上；d＜r?點(diǎn)在圓內(nèi)．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法1．幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相離．2．代數(shù)法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＞0?相交,＝0?相切,＜0?相離))圓的切線方程常用結(jié)論:(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.二、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況相離d＞r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解常用結(jié)論:(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含時(shí)：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．橢圓一、橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)．(1)若2a＞|F1F2|，則集合P為橢圓；(2)若2a＝|F1F2|，則集合P為線段；(3)若2a＜|F1F2|，則集合P為空集．二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系:(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1；(2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1.雙曲線一、雙曲線定義平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a＜2c)，則點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a＞0，c＞0.(1)當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在．二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a、b、c間的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．(2)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)．拋物線一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)拋物線的焦半徑拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2).曲線與方程一、曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．二、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)．2．寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}．3．用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化簡(jiǎn)．4．說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．三、曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)＝0，曲線C2的方程為F2(x，y)＝0，則C1、C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F1x，y＝0,F2x，y＝0))的實(shí)數(shù)解．若此方程組無(wú)解，則兩曲線無(wú)交點(diǎn)．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．1．當(dāng)a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有①Δ＞0?直線與圓錐曲線相交；②Δ＝0?直線與圓錐曲線相切；③Δ＜0?直線與圓錐曲線相離．2．當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則直線l與圓錐曲線E相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，①若E為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；②若E為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．二、圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(x，y)在橢圓上．(1)離心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))；(2)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)度為：eq\f(2b2,a).雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)P(x，y)在雙曲線上．(1)離心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))；(2)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)度為：eq\f(2b2,a).拋物線y2＝2px(p＞0)，點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)在拋物線上．(1)焦半徑|CF|＝x1＋eq\f(p,2)；(2)過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|CD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，|CD|＝eq\f(2p,sin2α)(其中α為傾斜角)，eq\f(1,|CF|)＋eq\f(1,|DF|)＝eq\f(2,p)；(3)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(4)以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切．必備知識(shí)有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)