荊州市重點中學2023年高一數學第一學期期末經典試題含解析

荊州市重點中學2023年高一數學第一學期期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm，秒針繞點O勻速旋轉，當時間：t=0時，點A與鐘面上標12的點B重合，當t∈[0,60]，A，B兩點間的距離為d（單位：A.5sintC.5sinπt2．設函數,則使成立的的取值范圍是A. B.C. D.3．設函數f(x)＝x－lnx，則函數y＝f(x)（）A.在區(qū)間，(1，e)內均有零點B.在區(qū)間，(1，e)內均無零點C.在區(qū)間內有零點，在區(qū)間(1，e)內無零點D.區(qū)間內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱為（）A.4 B.C. D.25．設，，，則，，三者的大小關系是（）A. B.C. D.6．已知關于的方程的兩個實根為滿足則實數的取值范圍為A. B.C. D.7．命題“”的否定是A. B.C. D.8．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數學成績統(tǒng)計如下表：班級人數平均分數方差甲302乙203其中，則甲、乙兩個班數學成績的方差為（）A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.49．已知函數f（x）（x∈R）滿足f（2-x）=-f（x），若函數y=與f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）（m∈N*），則x1+x2+x3+…+xm的值為（）A.4m B.2mC.m D.010．設函數y＝，當x＞0時，則y（）A.有最大值4 B.有最小值4C有最小值8 D.有最大值811．關于函數有下述四個結論：①是偶函數；②在區(qū)間單調遞減；③在有個零點；④的最大值為.其中所有正確結論的編號是（）A.①②④ B.②④C.①④ D.①③12．若a<b<0，則下列不等式中成立的是（）A.-a<-bC.a>-b D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知一等腰三角形的周長為12，則將該三角形的底邊長y（單位：）表示為腰長x（單位：）的函數解析式為___________.（請注明函數的定義域）14．的值__________.15．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立如圖平面直角坐標系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，當秒時，___________.16．已知是定義在上奇函數，且函數為偶函數，當時，，則______三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．設全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}（Ⅰ）求A∩B，（?UA）∪（?UB）；（Ⅱ）設集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求實數m的取值范圍18．已知函數，，且.（1）求的值；（2）求的定義域；（3）求不等式的解集.19．已知為銳角，（1）求的值；（2）求的值20．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的a存在，求a的值；若a不存在，請說明理由.已知集合________，.若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分21．已知函數（1）求證：用單調性定義證明函數是上的嚴格減函數；（2）已知“函數的圖像關于點對稱”的充要條件是“對于定義域內任何恒成立”.試用此結論判斷函數的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標；若不存在，說明理由；（3）若對任意，都存在及實數，使得，求實數的最大值.22．已知集合.（1）當時，求；（2）當時，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】由題知圓心角為tπ30，過O作AB的垂線，通過計算可得d【詳解】由題知，圓心角為tπ30，過O作AB的垂線，則故選：D2、A【解析】，定義域為，∵，∴函數為偶函數，當時，函數單調遞增，根據偶函數性質可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數的性質和利用偶函數圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據函數的表達式可知函數為偶函數，根據初等函數的性質判斷函數在大于零的單調性為遞增，根據偶函數關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可3、D【解析】求出導函數，由導函數的正負確定函數的單調性，再由零點存在定理得零點所在區(qū)間【詳解】當x∈時，函數圖象連續(xù)不斷，且f′(x)＝－＝<0，所以函數f(x)在上單調遞減又＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數f(x)有唯一的零點在區(qū)間(1，e)內故選：D4、B【解析】根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后結合圖中的數據計算出各棱的長度，進而可得最長棱【詳解】由三視圖可得，該幾何體是如圖所示的四棱錐，底面是邊長為2的正方形，側面是邊長為2的正三角形，且側面底面根據圖形可得四棱錐中的最長棱為和，結合所給數據可得，所以該四棱錐的最長棱為故選B【點睛】在由三視圖還原空間幾何體時，要結合三個視圖綜合考慮，根據三視圖表示的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線、不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以主視圖和俯視圖為主，結合左視圖進行綜合考慮．熟悉常見幾何體的三視圖，能由三視圖得到幾何體的直觀圖是解題關鍵．考查空間想象能力和計算能力5、D【解析】根據對數的運算變形、，再根據對數函數的性質判斷即可；【詳解】解：，，因為函數在定義域上單調遞增，且，所以，即，故選：D6、D【解析】利用二次方程實根分布列式可解得.【詳解】設,根據二次方程實根分布可列式:,即,即,解得:.故選D.【點睛】本題考查了二次方程實根的分布.屬基礎題.7、C【解析】全稱命題的否定是存在性命題，所以，命題“”的否定是，選C.考點：全稱命題與存在性命題.8、D【解析】根據平均數和方差的計算性質即可計算.【詳解】設甲、乙兩班學生成績分別為，甲班平均成績?yōu)?，乙班平均成績?yōu)?，因為甲、乙兩班的平均成績相等，所以甲、乙兩班合在一起后平均成績依然為，因為，同理，∴甲、乙兩班合在一起后的方差為?故選：D.9、C【解析】由條件可得，即有關于點對稱，又的圖象關于點對稱，即有，為交點，即有，也為交點，計算即可得到所求和【詳解】解：函數滿足，即為，可得關于點對稱，函數的圖象關于點對稱，即有，為交點，即有，也為交點，，為交點，即有，也為交點，則有．故選．【點睛】本題考查抽象函數的求和及對稱性的運用，屬于中檔題．10、B【解析】由均值不等式可得答案.【詳解】由,當且僅當，即時等號成立.當時，函數的函數值趨于所以函數無最大值，有最小值4故選：B11、A【解析】利用偶函數的定義可判斷出命題①的正誤；去絕對值，利用余弦函數的單調性可判斷出命題②的正誤；求出函數在區(qū)間上的零點個數，并利用偶函數的性質可判斷出命題③的正誤；由取最大值知，然后去絕對值，即可判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，函數的定義域為，且，則函數為偶函數，命題①為真命題；對于命題②，當時，，則，此時，函數在區(qū)間上單調遞減，命題②正確；對于命題③，當時，，則，當時，，則，由偶函數的性質可知，當時，，則函數在上有無數個零點，命題③錯誤；對于命題④，若函數取最大值時，，則，，當時，函數取最大值，命題④正確.因此，正確的命題序號為①②④.故選A.【點睛】本題考查與余弦函數基本性質相關的命題真假的判斷，解題時要結合自變量的取值范圍去絕對值，結合余弦函數的基本性質進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.12、C【解析】根據函數y=x的單調性，即可判斷選項A是否正確；根據函數y=1x在-∞,0上單調遞減，即可判斷選項B是否正確；在根據不等式的性質即可判斷選項【詳解】因為a<b<0，所以-a>-b>0，又函數y=x在0，+∞上單調遞增，所以因為a<b<0，函數y=1x在-∞,0上單調遞減，所以因為a<b<0，所以-a>-b>0，又a=-a，所以a>-b，故因為a<b<0，兩邊同時除以b，可知ab>1，故D故選：C.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據題意得，再結合兩邊之和大于第三邊，底邊長大于得，進而得答案.【詳解】解：根據題意得，由三角形兩邊之和大于第三邊得，所以，即，又因為，解得所以該三角形的底邊長y（單位：）表示為腰長x（單位：）的函數解析式為故答案為：14、1【解析】由，結合輔助角公式可知原式為，結合誘導公式以及二倍角公式可求值.【詳解】解：.故答案為:1.【點睛】本題考查了同角三角函數的基本關系，考查了二倍角公式，考查了輔助角公式，考查了誘導公式.本題的難點是熟練運用公式對所求式子進行變形整理.15、【解析】求出關于的函數解析式，將代入函數解析式，求出的值，可得出點的坐標，進而可求得的值.【詳解】由題意可知，，函數的最小正周期為，則，所以，，點對應，，則，可得，，，故，當時，，因為，故點不與點重合，此時點，則.故答案為：.16、【解析】求出函數的周期即可求解.【詳解】根據題意，為偶函數，即函數圖象關于直線對稱，則有，又由為奇函數，則，則有，即，即函數是周期為4的周期函數，所以，故答案為：三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3].【解析】（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（?UA）∪（?UB）（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C＝C，得C?B，當C＝?時，2m﹣1＜m+1，當C≠?時，由C?B得，由此能求出m的取值范圍【詳解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}∴A∩B={x|1≤x＜5}，（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，∴C?B，當C=?時，解得當C≠?時，由C?B得，解得：2＜m≤3綜上所述：m的取值范圍是（-∞，3]【點睛】本題考查交集、補集、并集的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查交集、補集、并集集等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題18、（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）根據的解析式，結合，即可求得；（2）根據對數的真數大于零，求解一元二次不等式，即可求得結果；（3）根據對數函數的單調性，結合函數定義域，即可求得不等式解集.【小問1詳解】由題可知，又因為，即，所以.【小問2詳解】由知，，若使有意義，只須，解得或，所以函數的定義域為或.【小問3詳解】由對數函數的單調性可得：由，解得或，由，解得，所以或，不等式的解集為或.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據題中條件，求出，，再由兩角差的余弦公式，求出，根據二倍角公式，即可求出結果；（2）由（1）求出，，再由兩角差的正切公式，即可求出結果.【詳解】（1），為銳角，且，，則，，，，；（2）由（1），所以，則，又，，；.20、見解析【解析】首先解一元二次不等式求出集合B，依題意B，再根據所選條件得到不等式組，解得即可；【詳解】解：由，所以，解得所以.由題意知，A不為空集，選條件①時，，因為“”是“”充分不必要條件，所以B，，則，等號不同時取到，解得.所以實數a的取值范圍是.當選條件②時，因為“”是“”的充分不必要條件，所以B，所以，解得．此時，不符合條件故不存在的值滿足題意．當選條件③時，因為“”是“”的充分不必要條件，所以B，所以，該不等式組無解，故不存在的值滿足題意．21、（1）見解析；（2）存在，為；（3）2.【解析】(1)先設，然后利用作差法比較與的大小即可判斷；假設函數的圖像存在對稱中心，(2)結合函數的對稱性及恒成立問題可建立關于，的方程，進而可求，；(3)由已知代入整理可得，的