19.2 證明舉例（解析版）

19.2證明舉例1.知道分析證明思路的基本方法2.通過證明舉例的學(xué)習和實踐,懂得演繹推理的一般規(guī)則，初步掌握規(guī)范表達的格式3.會利用平行線、等腰三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)來證明有關(guān)線段相等、角相等以及兩條直線平行和垂直的簡單問題4.了解添加輔助線的基本方法,會添加幾種常見的輔助線知識點一證明思路的分析1.證明思路要想證明一個命題是否正確,我們在思考時,可以由最后的結(jié)論反著向前追溯證明2.證明思路的分析方法先定位清楚題目“要證什么？”，然后再羅列出我們“需知什么”也就是要準備哪些條件,由此再考慮“只要證什么”,一直追溯到“已知”而證明的表述證明邏輯順序：“已知”→“可知”→“結(jié)論”.3.證明的一般步驟(1)分清命題的題設(shè)和結(jié)論;如果問題與圖形有關(guān)，要根據(jù)條件畫出圖形，并在圖形上標出有關(guān)的字母與符號.注意：無圖幾何、“射線”或“直線”等幾何問題，我們可能還需要進行分類討論.(2)結(jié)合圖形,寫出已知求證;(3)分析因果關(guān)系找出證明途徑;(4)有條理地寫出證明過程(每一步推理都要有推理的依據(jù)).注意：在證明的表述中，符號“∵”讀作因為，“∴”讀作所以.如果已知中給出圖形,給出了已知和求證，這時我們只要寫出“證明”這一步即可即學(xué)即練1（2020·八年級?？颊n時練習）已知：如圖，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求證：BC∥DF．【答案】見解析【分析】由AF=CE，得到AC=EF，然后得到△ABC≌△DEF，則∠ACB=∠EFD，然后即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：∵AF=CE，∴AC=EF，在△ABC和△DEF中AC=EF，AB=DE，BC=DF，∴△ABC≌△DEF∴∠ACB=∠EFD，∴∠BCF=∠DFC，∴BC∥DF；【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型．即學(xué)即練2（2019·八年級統(tǒng)考課時練習）填寫推理的理由．已知：如圖，于點，于點，，交于點，交于點．求證：．證明：∵，（

），∴（

）．∴（

）．∵（

），∴（

）．∴（

）．∴（

）．【答案】（1）已知（2）如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行（3）兩直線平行，同位角相等（4）已知（5）等量代換（6）內(nèi)錯角相等，兩直線平行（6）兩直線平行，同位角相等【分析】根據(jù)已知條件，先判定和，然后利用平行線的性質(zhì)來求證．【詳解】∵，（已知），∴（如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等）．∵（已知），∴（等量代換）．∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等）．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.知識點二幾何證明中常用的證明方法證明類型證明方法證明兩直線平行利用平行線性質(zhì)判定定理和公理證明兩線段相等證法1：如果兩線段分別在兩個三角形中可證兩個三角形全等證法2：如果兩線段在一個三角形中，可證它們所對的角證法3：可以借助一條線段證明兩線段都等于第二條證明兩角相等證法1:利用平行線的性質(zhì)證兩角相等;證法2：如果兩角分別在兩個三角形中,可證這兩個三角形全等;證法3：如果兩角在一個三角形中，可證它們所對的邊相等(等腰三角形的性質(zhì))證明兩直線互相垂直證法1：利用垂直定義;證法2：利用等腰三角形“三線合一”即學(xué)即練1（2022秋·八年級單元測試）如圖，現(xiàn)有以下三個條件：①②③．請你以其中兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論構(gòu)造命題．（1）你構(gòu)造的是哪幾個命題？（2）你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請給予證明；若是假命題，請舉出反例(證明其中的一個命題即可)．【答案】（1）可構(gòu)造如下幾個命題：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）證明見解析．【分析】（1）分別以其中2句話為條件，第三句話為結(jié)論可寫出3個命題；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對3個命題分別進行證明，判斷它們的真假．【詳解】解：（1）有：如果那么；如果那么；如果，那么；（2）如圖：∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E=∠F，∴如果那么為真命題；∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，∴如果那么為真命題；∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，∴如果，那么為真命題．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．即學(xué)即練2已知：正方形，，．求證：．【答案】見解析.【分析】延長CD到M，使DM＝BE，連接AM，證△ABE≌△ADM，推出∠DAM＝∠BAE，AE＝AM，求出∠FAM＝∠EAF，證△EAF≌△MAF，推出EF＝MF，S△EAF＝S△MAF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】證明：延長CD到M，使DM＝BE，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠ADM＝∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，在△ABE和△ADM中，，∴△ABE≌△ADM，∴∠DAM＝∠BAE，AE＝AM，∴∠FAM＝∠DAF＋∠DAM＝∠DAF＋∠BAE＝45°＝∠EAF，在△EAF和△MAF中，，∴△EAF≌△MAF，∴EF＝MF，S△EAF＝S△MAF，∴EF×AH＝MF×AD，∴.【點睛】本題考查了對全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明△ABE≌△ADM和△EAF≌△MAF，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．題型1添加輔助線舉例例1（2022秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知是邊上的中線，是上一點，且，延長交于點，求證：．【答案】證明見解析【分析】延長AD到點G，使得，連接，結(jié)合D是BC的中點，易證△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性質(zhì)以及等量代換，得到△AEF中的兩個角相等，再根據(jù)等角對等邊證得AE=EF.【詳解】如圖，延長到點，延長AD到點G，使得，連接．∵是邊上的中線，∴．在和中，（對頂角相等），∴≌（SAS）．∴，．又，∴．∴．∵∴，即∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三1已知：如圖所示，AD平分，M是BC的中點，MF//AD，分別交CA延長線，AB于F、E．求證：BE=CF．【答案】見解析.【分析】過B作BN∥AC交EM延長線于N點，易證△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF.【詳解】證明：過B作BN∥AC交EM延長線于N點，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵MF//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．舉一反三2如圖所示，在中，AB=AC，，BE平分，交AC于D，于E點，求證：．【答案】見解析.【分析】延長CE與BA交于點F，首先證明△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CF，再證明△BEF≌△BEC可得CE＝EF，進而可得.【詳解】證明：延長CE與BA交于點F，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE，∴∠BAC＝∠DEC，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠DCE，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（ASA），∴BD＝CF，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，∴∠FBE＝∠CBE，在△BEF和△BEC中，，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴CE＝EF，∴BD＝CF=2CE，即.【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的對應(yīng)邊相等．題型2證明線的和差倍關(guān)系例2如圖所示，已知中，，BD、CE分別平分和，BD、CE交于點O．求證：BE+CD=BC．【答案】見解析.【分析】在BC上取點G使得CG＝CD，可證△COD≌△COG，得∠BOG＝∠BOE，然后證△BOE≌△BOG，得BE＝BG，可以求得BE＋CD＝BC．【詳解】解：在BC上取點G使得CG＝CD，∵∠BOC＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?60°）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝120°?60°＝60°＝∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE＝BG，∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證CD＝CG和BE＝BG是解題的關(guān)鍵．舉一反三1如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD和∠ADC，求證：AD=AB+CD．【答案】見解析.【分析】延長DE交AB的延長線于H．首先證明AE⊥DH，然后證明ED＝EH，△CED≌△BEH，可得CD＝BH，由此即可解決問題．【詳解】證明：延長DE交AB的延長線于H．∵AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD和∠ADC，∴∠ADC＋∠DAB＝180°，∠CDE＝∠H＝∠ADE，∠DAE＝∠DAB，∠ADE＝∠ADC，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，AD=AH，∴∠AED＝90°，∴AE⊥DH，∴ED＝EH，在△CED和△BEH中，，∴△CED≌△BEH(AAS)，∴CD＝BH，∴AD=AH=AB＋BH＝AB＋CD．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．舉一反三2如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE．【答案】見解析.【分析】延長AE至點F，使得EF=AE，連接BF，易證△AEC≌△FEB（SAS），得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通過SAS證明△ABF≌△△DCA即可.【詳解】證明：延長AE至點F，使得EF=AE，連接BF，∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，∴△AEC≌△FEB（SAS），∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，在△ABF和△DCA中，，∴△ABF≌△△DCA（SAS)，∴AD=FA=2AE.【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵，一般的中線輔助線都是用的倍長中線.題型3證明角的和差倍問題例3已知：如圖所示，AB=CD，．求證：．【答案】見解析.【分析】過點E作EF⊥OB于F，EG⊥OD于點G，由可得EF=EG，然后根據(jù)HL證明Rt△OEF≌Rt△OEG，即可得到∠EOF=∠EOG，問題得證.【詳解】證明：過點E作EF⊥OB于F，EG⊥OD于點G，∵AB=CD，，∴，∴EF=EG，在Rt△OEF和Rt△OEG中，，∴Rt△OEF≌Rt△OEG，∴∠EOF=∠EOG，即.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)面積相等求得EF=EG是解題關(guān)鍵.舉一反三1如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o【答案】見解析.【分析】延長AD過C作CF垂直AD于F，由條件可證△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由條件AD＋AB＝2AE可證BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性質(zhì)可得∠B＝∠FDC，問題得證．【詳解】證明：延長AD過C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF?DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE?DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180o．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記三角形全等的判定定理．舉一反三2如圖，于點、是上一點，于點，，求證：．【答案】證明見解析【分析】如圖，根據(jù)平行線的判定可知EF∥CD，則易證，結(jié)合已知條件可以判定內(nèi)錯角，則DG∥BC，故同位角∠AGD=∠ACB．【詳解】∵，，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.題型4證明線的位置關(guān)系例4已知：如圖，AC=BD，1=2．求證：AD∥BC．【答案】見解析【分析】根據(jù)等角對等邊求出OB=OC,再利用已知條件求得AO=OD,進一步利用等腰三角形性質(zhì)得：∠OAD=∠ODA,再利用內(nèi)角和定理可得:1=∠ODA,即可得到平行.【詳解】證明:因為1=2．所以O(shè)B=OC．因為AC=BD．所以O(shè)A=OD．所以∠OAD=∠ODA．因為1+2+∠BOC=180°．∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°．∠BOC=∠AOD．所以1+2=∠OAD+∠ODA．所以21=2∠ODA．即1=∠ODA．所以AD∥BC．【點睛】本題利用等腰三角形的性質(zhì)與判定得到邊與角的關(guān)系,本題關(guān)鍵找到角與角的關(guān)系．舉一反三1如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求證：（1）BE=DC（2）BE⊥DC．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）由AB⊥AC，AD⊥AE，且AB=AC，AD=AE，利用SAS可判定△DAC≌△EAB，繼而可證得BE＝DC；（2）由△DAC≌△EAB，可得∠ADC＝∠AEB，然后根據(jù)∠ADC＋∠APD＝90°，通過等量代換可證得∠EQP＝90°，問題得解．【詳解】證明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE＝DC；（2）∵△DAC≌△EAB，∴∠ADC＝∠AEB，∵∠ADC＋∠APD＝90°，∠APD=∠EPQ，∴∠AEB＋∠EPQ＝90°，∴∠EQP＝90°，即BE⊥DC．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．舉一反三2如圖，直線、被所截，且，、分別是、的平分線，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，，則，然后根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論．【詳解】∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又、分別是、的平分線（已知），∴（角平分線定義），（角平分線定義）．∴（等量代換），即（等量代換）．∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.題型5開放性證明問題例5（2022秋·八年級單元測試）如圖，直線、均被直線、所截，且與相交，給定以下三個條件：①；②；③；請從這三個條件中選擇兩個作為條件，另一個作為結(jié)論組成一個真命題，并進行證明已知：求證：證明：【答案】已知：，；求證：，證明見解析【分析】如果選擇①②兩個作為條件，③作為結(jié)論可組成一個真命題．首先根據(jù)平行線的判定定理，可得，由，可得，然后，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余及對頂角的性質(zhì)，即可證明．【詳解】已知：，，求證：．證明：，，，，，，．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，直角三角形兩銳角互余，對頂角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2021秋·湖南衡陽·八年級衡陽市實驗中學(xué)校考期中）如圖所示，相交于點，連接，①，②，③．以這三個式子中的兩個作為命題的條件，另一個作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個命題：①②③；①③②；②③①．（1）在構(gòu)成的三個命題中，真命題有________個；（2）請選擇其中一個真命題加以證明．【答案】（1）2；（2）選擇①②③，見解析.【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判斷；（2）選擇①②③，根據(jù)全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到.【詳解】解：（1）①②③，滿足全等三角形判定定理AAS，是真命題；①③②，滿足全等三角形判定定理ASA，是真命題；②③①，是SSA，不能證明三角形全等，故不能得到①成立，是假命題；故答案為2；（2）選擇①②③．證明：在和中，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟練運用全等三角形的證明方法證明全等是解題的關(guān)鍵.舉一反三2（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：；；．（1）請以其中兩個為條件，另一個為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個命題？（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請你選擇一個真命題加以證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）分別以其中兩個作為條件，第三個作為結(jié)論依次交換寫出即可；（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)對（1）題的3個命題進行證明即可判斷其真假．【詳解】解：（1）由，，得到；由，，得到；由，，得到；故能組成3個命題．（2）由，，得到，是真命題．理由如下：，．，∴，，．由，，得到，是真命題．理由如下：，．，，．由，，得到，是真命題．理由如下：∵，，．，，．【點睛】本題考查了命題與定理的知識和平行線的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型6探究類證明舉例例6（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ芯寐∧７吨袑W(xué)?？计谀┮阎倪呅沃?，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于E、F．(1)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），求證：．(2)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2種情況下，求證：．(3)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時，在圖3種情況下上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不成立，【分析】（1）首先利用證明，得，再證明是等邊三角形，且，得可證明結(jié)論；（2）將順時針旋轉(zhuǎn)120°，得，利用證明，得，可得結(jié)論；（3）將順時針旋轉(zhuǎn)120°，得，同理利用證明，得，可得結(jié)論．【詳解】（1）∵∴,在與中，，∴∴∵∴∴∵∴為等邊三角形，∴∴∴（2）如圖，將順時針旋轉(zhuǎn)120°，得，∴∵∴點A與點C重合，∵∴∴點G、C、F三點共線，∵∴在與中，，∴∴∴；（3）不成立，，理由如下：如圖，將順時針旋轉(zhuǎn)120°，得，∴，由（2）同理得，點C、F、G三點共線，∵∴點A與點C重合，∴∵∴∵∴在與中，，∴，∴∴【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·八年級單元測試）在中，，，直線經(jīng)過點，且于點，于點．（1）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①≌；②．（2）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）、圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）．【分析】（1）①利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，根據(jù)互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADC≌△CEB，②由（1）得，CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到DE=AD+BE；（2）進行分類討論，證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，根據(jù)位置不同可得結(jié)論．【詳解】（1）①∵，，∴．∵，∴，．∴．在和中，，∴≌（AAS）．②由（1）知：≌，∴，．∵，∴．（2）．繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，．繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，．繞點旋轉(zhuǎn)垂直于時，，綜合以上得．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．舉一反三2如圖，在中，，M是AB中點，，（1）在AE、EF、FB中是否總有最大的線段？若有，是哪一條？（2）AE、EF、FB能否構(gòu)成直角三角形？若能，請加以證明．【答案】（1）在AE、EF、FB中總有最大的線段，最大的線段是EF；（2）AE、EF、FB能構(gòu)成直角三角形.【分析】（1）過點A作AN∥BC，交FM延長線于點N，連接EN、EF，通過證明△AMN≌△BMF得到NA=FB，NM=FM，結(jié)合可得EN=EF，在Rt△AEN中即可說明最大的線段是EF；（2）由（1）可得△AEN為直角三角形且NA=FB，EN=EF，問題得解.【詳解】解：（1）在AE、EF、FB中總有最大的線段，最大的線段是EF；理由：過點A作AN∥BC，交FM延長線于點N，連接EN、EF，∵AN∥BC，∴∠NAE=∠ACB=90°，∠NAM=∠B，在△AMN和△BMF中，，∴△AMN≌△BMF（ASA），∴NA=FB，NM=FM，∵，∴EN=EF，∴在Rt△AEN中，斜邊EN最長，即在AE、EF、FB中，總有最大的線段EF；（2）AE、EF、FB能構(gòu)成直角三角形；證明：由（1）可知△AEN為直角三角形且NA=FB，EN=EF，∴AE、EF、FB能構(gòu)成直角三角形.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，通過作輔助線得到NA=FB，EN=EF，將AE、EF、FB轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中是解題關(guān)鍵.一、作圖題1．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．【答案】見解析.【分析】延長AC、BE交于F，首先由ASA證明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通過ASA證明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，問題得解.【詳解】證明：延長AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，兩次證明全等是解題關(guān)鍵，也考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．2．如圖，在中，，點，、分別在邊、、上，，，是的中點，求證：．【答案】證明見解析【分析】連結(jié)、，根據(jù)等腰三角形得到，利用SAS證明