2023屆全國(guó)卷高三文科數(shù)學(xué)診斷性測(cè)試題、模擬測(cè)試題、月考題(一)

2023屆高三數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題（一）

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合人={-1,0,1,2},{x|—<11*則AAB=（）

x

A.{0,1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{-1,2}

2.（5分）已知i為虛數(shù)單位，且（1+i）z=-l,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）logzGos?：）的值為（）

A.-1B.1C.工D.返

222

4.（5分）已知隨機(jī)事務(wù)A,B發(fā)生的概率滿意條件P（AUB）=|，某人揣測(cè)事務(wù)仄口石

發(fā)生，則此人揣測(cè)正確的概率為（）

A.1B.1C.2D.0

24

22

5.（5分）雙曲線C：二b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作雙曲線

a2b2

C的漸近線的垂線，垂足為A,且交y軸于B,若A為BF的中點(diǎn)，則雙曲線的離

心率為（）

A.V2B.73C.2D?喙

6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖和側(cè)視圖是全等的正三角形，

其俯視圖中，半圓的直徑是等腰直角三角形的斜邊，若半圓的直徑為2,則該幾

何體的體積等于（）

正祝陽(yáng)

A遮（兀）遮（兀+）我（兀+）（兀+）

+1R2r1ny2

3366

7.（5分）將函數(shù)尸sin&4）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐

標(biāo)不變），再向右平移三個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的解析式為（）

6

A.y=sin（y-^-）B.y=sin（y-^-）c-y=sin（y--^-）D.y=sin（2x^^-）

乙乙O41.乙XCt

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的s=6,則N的全部可能取之和等

于（）

A.19B.21C.23D.25

9.（5分）已知拋物線C：y=2px2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,2）,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離等于（）

A.1B.1C.1D.1

842

10.（5分）己知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，asinB=?bcosA,

當(dāng)b+c=4時(shí)，^ABC面積的最大值為（）

A.3B.gC.遂D.273

32

11.（5分）設(shè)定義在（0,+8）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）滿意xf（x）

>1,則()

A.f(2)-f(1)>ln2B.f(2)-f(1)<ln2C.f(2)-f(1)>1D.f(2)

-f(1)<1

12.(5分)設(shè)m,0《R,則(2&F_c°se)2+已業(yè)皿七如e)2的最小值為()

A.3B.4C.9D.16

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）已知向量短（1,-2），拳⑵m），且Z//E，則.

'2x+3y<5

14.（5分）已知實(shí)數(shù)*,丫滿意卜力>0，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為.

15.（5分）已知奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，當(dāng)xe［0,3］時(shí)，f（x）

=-x,則f（-16）=.

16.（5分）半徑為R的球。放置在水平平面a上，點(diǎn)P位于球。的正上方，且

到球O表面的最小距離為R,則從點(diǎn)P發(fā)出的光線在平面a上形成的球O的中

心投影的面積等于.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.）

（分）已知是公差不為。的等差數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和，

17.12SnannS5=35,ai，a4,

a”成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛卜｝的前n項(xiàng)和Tn.

18.（12分）某社區(qū)為了解轄區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外"活動(dòng)時(shí)間",

從轄區(qū)住戶的離退休老人中隨機(jī)抽取了100位老人進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人每天的

平均戶外"活動(dòng)時(shí)間"（單位：小時(shí)），活動(dòng)時(shí)間依據(jù)［0,0.5）、［0,5,1）、…、［4,

4.5］從少到多分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所

0.50

00.511522.533.544.5活動(dòng)時(shí)間，小二

（1）求圖中a的值；

（2）估計(jì)該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外"活動(dòng)時(shí)間”的中位數(shù)；

（3）在［1,1.5）、［1.5,2）這兩組中采納分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨

機(jī)抽取2人，求抽取的兩人恰好都在同一個(gè)組的概率.

19.（12分）如圖,直三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面ABBiAi是正方形，AiBi±AiCi，

（1）證明：ABilBCi；

（2）當(dāng)三棱錐A-AiBiCi的體積為2,AAi=2時(shí)，求點(diǎn)C到平面ABiJ的距離.

2c

20.（12分）如圖，A,B是橢圓C：3-+y2=i長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P,Q是橢圓C

4

上都不與A,B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ,AQ,AP的斜率分別是kBQ,kAQ,kAP.

（1）求證：kBQ?kAQ=V；

（2）若kAP=4kBQ,求證：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-asinx.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，證明：Vxe(0,+8),f(x)>1；

(2)若VxG［O,+8),f(x)20都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.［選

修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)己知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓

'3

x=-^t+2

C的極坐標(biāo)方程為p=4cos0,直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

4

y=T-t+l

5

(1)求直線I和圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(2,1),直線I與圓C交于A,B兩點(diǎn)，求|PA|?|PB|的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=|2x+l|.

(1)解不等式f(x)>x+5；

(2)若對(duì)于隨意x,y￡R,有|2y+l|<,,求證：f(x)<1.

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合人={-1,0,1,2},{x|—<1}?則AAB=（）

X

A.{0,1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{-1,2}

【解答】解：由L<1=X>1或XVO,

X

即B={x|x>l或x<0},

VA={-1,0,1,2},

.*.AAB={-1,2},

故選D.

2.（5分）已知i為虛數(shù)單位，且（1+i）z=-l,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：由（l+i）z=-l,得2=-」一=一7~^-―=A+1

1+i（l+i）（1-i）22

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（上，1）,位于其次象限，

22

故選:B.

3?（5分）i0g2（cos等）的值為（）

A.-1B.-1C.1D.返

222

【解答】解：log2（cos-^-）=log2（cos-^-）=lo=蔣，

故選：B.

4.（5分）已知隨機(jī)事務(wù)A,B發(fā)生的概率滿意條件p（AUB）］，某人揣測(cè)事務(wù)仄0E

發(fā)生，則此人揣測(cè)正確的概率為（）

A.1B.1C.1D.0

24

【解答】解：???事務(wù)APIB與事務(wù)AUB是對(duì)立事務(wù)，

隨機(jī)事務(wù)A,B發(fā)生的概率滿意條件p（AUB）二卷，

,某人揣測(cè)事務(wù)NnE發(fā)生，則此人揣測(cè)正確的概率為:

P（AnB）=l-P（AUB）=l-1^-

故選：C.

22

5.（5分）雙曲線C：今上鏟l（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作雙曲線

a2b2

C的漸近線的垂線，垂足為A,且交y軸于B,若A為BF的中點(diǎn)，則雙曲線的離

心率為（）

A.V2B.V3C.2D?零

22

【解答】解：依據(jù)題意，雙曲線C：三？b>0）的焦點(diǎn)在x軸上，

a2b2

過(guò)點(diǎn)F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為A,

且交y軸于B,如圖

若A為BF的中點(diǎn)，則0A垂直平分BF,

則雙曲線C的漸近線與x軸的夾角為匹，

4

即雙曲線的漸近線方程為y=±x,

則有a=b,

貝"c=Va2+b2=^a,

則雙曲線的離心率e=￡=近；

故選A.

6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖和側(cè)視圖是全等的正三角形,

其俯視圖中，半圓的直徑是等腰直角三角形的斜邊，若半圓的直徑為2,則該幾

何體的體積等于（）

仞崔田

A我（兀+1）RF（兀+2）r我（兀+1）n我（兀+2）

3366

【解答】解：解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)半圓錐和三棱錐的組合

體，

其體積為之耳（兀X12）A（2Xl）］X?=fi^@,

0LZ0

故選D.

7.（5分）將函數(shù)尸sin&T）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐

標(biāo)不變），再向右平移三個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的解析式為（）

6

A.尸sin仔號(hào)）B.內(nèi)嗚T）C.y=sin(y-^^)D.尸sin(2x」^~)

【解答】解：把函數(shù)尸sin&T）經(jīng)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）,

可得尸sin（L/），再向右平移;個(gè)單位，得尸sinW（x4）J]=

24b，64

sin的圖象，

故選:B.

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的s=6,則N的全部可能取之和等

于（）

|結(jié)刷

A.19B.21C.23D.25

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出S=cos三+2cos

2

"+3cos”+…得值，

22

由題意，S=cos—+2cos-^-+3cos^^-+...=6，

222

可得:0-2+4-6+8-10…=6,

夕旦兀-)兀兀兀

-口=Jr得：SG=cos——?+2cos—2—+3cos—3——+I...+*112->cos1—2—,

2222

TT.2兀in3兀I1412兀I>1o13兀

或Sc=cos——+2ncos———+3cos——+...+1n2cos——+13cos——,

22222

可得：N的可取值有且只有12,13,其和為25,

故選：D.

9.（5分）已知拋物線C：y=2px2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,2）,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離等于（）

A.工B.1C.1D.1

842

【解答】解：依據(jù)題意，拋物線C：y=2px2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,2）,

則有2=2pX12,解可得p=l,

則拋物線的方程為y=2x2,其標(biāo)準(zhǔn)方程為*2=畀，

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-L,

88

該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于工；

4

故選:B.

10.（5分）已知a,b,c分別是^ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，asinB=?bcosA,

當(dāng)b+c=4時(shí)，AABC面積的最大值為（）

A.逅B.噂C.遂D.273

【解答】解：由：asinB=?bcosA,利用正弦定理可得：sinAsinB=bsinBcosA,

又sinBWO,可得：tanA=，E，

因?yàn)椋篈G（0,R）,

所以:A=2L.

3

故$4阿：9壇51必=曰"1><:<日"（?^3）2=/§，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)），

故選：C.

11.(5分)設(shè)定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿意xf(x)

>1,則()

A.f(2)-f(1)>ln2B.f(2)-f(1)<ln2C.f(2)-f(1)>1D.f(2)

-f(1)<1

【解答】解：依據(jù)題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

即x>0,貝Uxf'(x)〉l=f'(x)^>^(lnx)''

X

故>ln2-lnl即f(2)-f(1)>ln2,

2-12-1

故選A.

12.(5分)設(shè)111,0￡%貝1」(2V2TD-COS9)2+(2V2+n1-sin9)2的最小值為()

A.3B.4C.9D.16

【解答】解：令點(diǎn)P（2近-m,2&+m）,Q（cos0,sin0）.

點(diǎn)P在直線x+y-4亞=0上，點(diǎn)Q的軌跡為單位圓：x2+y2=l.

因此（2、■FTCOSS）2+（2&+m-sin8產(chǎn)的最小值為：?jiǎn)挝粓A上的點(diǎn)到直線

x+y-4亞=0的距離的平方，

故其最小值=（女點(diǎn)?-1）2=（4-1）2=9.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）已知向量短（1,一2），b=（2,m），且則。110.

【解答】解：向量短（1,一2），b=（2,m），且a//b，

AlXm-（-2）X2=0,

解得m=-4,

?*-a-b=lX2+（-2）X（-4）=10.

故答案為：10.

'2x+3y<5

14.（5分）已知實(shí)數(shù)*,丫滿意卜力>0，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為_(kāi)至_.

y>0—

2x+3y^5

【解答】解:實(shí)數(shù)x,y滿意x-y>0作出可行域，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y,由

l2x+3y-5=0

解得A信0)，

的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(y,0)，

故ZmM3x1"+0^

故答案為：15.

2

15.(5分)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，當(dāng)xW[O，3]時(shí)，f(x)

=-x,貝If(-16)=2

【解答】解：依據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

則有f(x)=f(6-x),

又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),

則有f(x)=-f(6-x)=f(x-12),

則f(x)的最小正周期是12,

故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2),

即f(-16)=-(-2)=2；

故答案為：2.

16.(5分)半徑為R的球。放置在水平平面a上，點(diǎn)P位于球。的正上方，且

到球0表面的最小距離為R,則從點(diǎn)P發(fā)出的光線在平面a上形成的球。的中

心投影的面積等于37TR2.

【解答】解：???半徑為R的球。放置在水平平面a上，點(diǎn)P位于球。的正上方,

且到球。表面的最小距離為R,

，軸截面如下圖所示，

MN=NT=TPW^R,

...從點(diǎn)P發(fā)出的光線在平面a上形成的球。的中心投影的面積為：

S=3nR2.

故答案為:3nR2.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟

17.（12分）已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,Ss=35,a],a4,

a13成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛白一｝的前n項(xiàng)和

Sn

【解答】解：（1）55=35n5a3=35=>a3=7,

設(shè)公差為d,ai，a4,ai3成等比數(shù)歹U=aj=a[a]3n（7+d）2=（7_2d）（7+10d）=d=2

（舍去d=0）.

/.an=2n+l.

（2）s”羋嘰Mn+2），

-1__1_1zl_1

Snn（n+2）2nn+2

T

n4仲寺1+1奪…+弟），

_1(1_1_1)_32n+3

TQ7n+1n+2)R2(n+l)(n+2)

18.（12分）某社區(qū)為了解轄區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外"活動(dòng)時(shí)間”,

從轄區(qū)住戶的離退休老人中隨機(jī)抽取了100位老人進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人每天的

平均戶外"活動(dòng)時(shí)間"（單位：小時(shí)），活動(dòng)時(shí)間依據(jù)［0,0.5）、［0.5,1）、…、［4,

4.5］從少到多分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所

不.

（1）求圖中a的值；

（2）估計(jì)該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外"活動(dòng)時(shí)間〃的中位數(shù)；

（3）在［1,1.5）、［1.5,2）這兩組中采納分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨

機(jī)抽取2人，求抽取的兩人恰好都在同一個(gè)組的概率.

【解答】（本小題滿分12分）

解：（1）由頻率分布直方圖，可知，平均戶外"活動(dòng)時(shí)間”在［0,0.5）的頻率為

0.08X0,5=0.04.

同理，在［0.5,1）,［1.5,2）,［2,2.5）,［3,3.5）,［3.5,4）,［4,4.5）等組

的頻率分別為0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02,

由1-（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0,02）=0.5Xa+0.5Xa.

解得a=0.30.

（2）設(shè)中位數(shù)為m小時(shí).

因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0,72>0,5,

而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5,所以2WmV2.5.

i0.50X(m-2)=0.5-0.47,解得m=2.06.

故可估計(jì)該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外"活動(dòng)時(shí)間”的中位數(shù)為2.06

小時(shí).

(3)由題意得平均戶外活動(dòng)時(shí)間在[1,1.5),[1.5,2)中的人數(shù)分別有15人、

20人，

按分層抽樣的方法分別抽取3人、4人，記作A,B,C及a,b,c,d,

從7人中隨機(jī)抽取2人，共有21種，分別為：

(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,C),(B,a),(B,

b),(B,c),(B,d),

(C,a),(C,b),(C,c),(C,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),

(c,d),

同時(shí)在同一組的有：

(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,

d).共9種，

故抽取的兩人恰好都在同一個(gè)組的概率

19.(12分)如圖,直三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面ABBiAi是正方形,AiBilAiCi.

(1)證明:ABilBCi；

(2)當(dāng)三棱錐A-AiBiJ的體積為2,AAi=2時(shí)，求點(diǎn)C到平面ABiJ的距離.

【解答】(1)證明：如圖,由ABBiAi是正方形得AB」BAi,

在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AAilAiCn又AAiAA】Bi=Ai，

；.AiCi_L平面ABBiAi，且ABiC平面ABBiAi，

故ABiJ_AiJ,且BAiAAiCi=Ai，

故ABi，平面BAiCi,且BCiC平面BAiCi,

AABilBCi.

（2）解：,三棱錐A-AiBiCi的體積為2,得上代（22）XA]CJ=2nAic

32

如圖，設(shè)ABEBAi=O,連接OCi，則OC]=J^率詬

設(shè)點(diǎn)Ai到平面ABiCi的距離為d,

則之[y（2V2XUTI）Xd]=2=>d=騫善,

OCtJLJL

由對(duì)稱性知：點(diǎn)C到平面AB1C1的距離為2/運(yùn).

2八

20.（12分）如圖，A,B是橢圓C：^^^2=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，p,Q是橢圓C

上都不與A,B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ,AQ,AP的斜率分別是kBQ,kAQ,kAP.

（1）求證：城十

（2）若kAP=4kBQ,求證：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】證明：（1）設(shè)Q（xi，VI）,

2石

由橢圓C：A-+y2=i，得B（-2,0）,A（2,0）,

-?kBQ?kAQ=7j2?77五=丁丁丁丁T

KJ乙K]乙X]-4X]-4匕

(2)由(1)知：kbQ4kAp得3?k般=十=11Ap-kAQ=-l-

設(shè)P(X2,丫2)，直線PQ：x=ty+m,

代入x2+4y2=4,得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0,

-2mtm2-4

了］+丫2=t2+42

izt+4

由kAP?kAQ=-1得:(xi-2)(X2-2)+yiy2=0,

22

,?(t+l)y1y2+(m-2)t(y1+y2)+(n)-2)=0?

(t2+l)(m2-4)+(m-2)t(-2mt)+(m-2)2(t2+4)=0,

.*.5m2-16m+12=0,解得m=2或m=」.

5

5

，直線PQ：x=ty+@，恒過(guò)定點(diǎn)盧，0).

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-asinx.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，證明：VxS(0,+8),f(x)>1；

(2)若Vxe[o,+8),f(x)20都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】(1)證明：由a=l知f(x)=ex-sinx,

當(dāng)x@[0,+°°)時(shí)，f'(x)=ex-cosx>O(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，

故f(x)在[0,+8)上是增函數(shù)，

又f(0)=1,故VxG(0,+8),f(x)>f(0)=1,

即：當(dāng)a=l時(shí)，VxG(0,+8),f(x)>1.

(2)解：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex,符合條件；

當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)y[二e*與y2=asinx在點(diǎn)(x°,y°)處有公切線底06(0,三))，

xo4

e=asinxn,可—

貝小=tanXQ=inX0=-