2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 第八章 立體幾何初步 章末復(fù)習(xí)課 學(xué)案

章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)考點(diǎn)聚考點(diǎn)一空間幾何體的表面積與體積1．幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問(wèn)題，在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用．2．通過(guò)對(duì)空間幾何體的表面積與體積的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例1(1)如圖，等邊三角形△ABC的邊長(zhǎng)為4，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC和AC的中點(diǎn)，將△BDE、△CEF、△ADF分別沿DE、EF和DF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，則折疊后的四面體的體積為()A．13B．C．223(2)正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為33和43，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是()A．100πB．128πC．144πD．192π跟蹤訓(xùn)練1(1)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(7≈2.65)()A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3(2)一個(gè)正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為3，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積是________．考點(diǎn)二空間中的平行關(guān)系1．空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透．在解決線面、面面平行問(wèn)題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時(shí)，其順序相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理．特別注意，轉(zhuǎn)化的方法由具體題目的條件決定，不能過(guò)于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律．2．通過(guò)線線平行、線面平行、面面平行之間相互轉(zhuǎn)化的考查，提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．例2如圖甲，在四邊形PBCD中，PD∥BC，BC＝PA＝AD.現(xiàn)將△ABP沿AB折起得圖乙，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面PAB.(2)在圖乙中，過(guò)直線MN作一平面，與平面PAB平行，且分別交PC、AD于點(diǎn)E、F，注明E、F的位置，并證明．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.考點(diǎn)三空間中的垂直關(guān)系1．空間中的垂直關(guān)系包括線與線的垂直、線與面的垂直及面與面的垂直，三種垂直關(guān)系是本章學(xué)習(xí)的核心，學(xué)習(xí)時(shí)要突出三者間的互化意識(shí)．如在證明兩平面垂直時(shí)一般從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決．如有面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．通過(guò)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間相互轉(zhuǎn)化的考查，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．例3如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為CD的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.點(diǎn)O是線段AM的中點(diǎn)．(1)求證：平面BDO⊥平面ABCM；(2)求證：AD⊥BM.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD，BC1，DC1分別為三條面對(duì)角線，A1C為一條體對(duì)角線．求證：(1)A1C⊥BD；(2)A1C⊥平面DBC1.考點(diǎn)四空間角1．空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角時(shí)要先找角，再證角，最后在三角形中求角．2．通過(guò)對(duì)空間角的考查，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例4如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC'＝(1)AO與A′C′所成的角的大?。?2)AO與平面ABCD所成的角的正切值；(3)二面角B-AO-C的大?。櫽?xùn)練4(1)(多選)《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．”其中，陽(yáng)馬是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．如圖，在陽(yáng)馬S-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝2，側(cè)棱SA垂直于底面ABCD，則()A．直線SC與AB所成的角為60°B．直線SC與BD所成的角為60°C．直線SC與平面ABCD所成的角為30°D．直線SC與平面SAB所成的角為30°(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為_(kāi)_______，平面ACD與平面ABC所成二面角的余弦值為_(kāi)_______．章末復(fù)習(xí)課例1解析：(1)如圖所示：正四面體S-DEF，O是S在底面的投影，則正四面體棱長(zhǎng)為2且SO⊥OD.由于OD＝23×32×2＝233，則所以體積V＝13×12×2×2×(2)設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑r1，r2，所以2r1＝33sin60°，2r2＝43sin60°，即r1＝3，r2＝4，設(shè)球心到上下底面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，所以d1＝R2-9，d2＝R2-16，故|d1－d2|＝1或d1＋d答案：(1)C(2)A跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)如圖，依題意可知棱臺(tái)的高為MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V.棱臺(tái)上底面積S＝140.0km2＝140×106m2，下底面積S′＝180.0km2＝180×106m2，∴V＝13h(S＋S′＋SS')＝13×9×(140×106＋180×106＋140×180×1012)＝3×(320＋607)×106≈(96＋18×2.65)×10故選C.(2)如圖，設(shè)正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，正六邊形的周長(zhǎng)為3，則邊長(zhǎng)為12，則AD＝1矩形ADD′A′經(jīng)過(guò)球心，AD′就是外接球的直徑，AD′＝AD2+DD外接球的半徑R＝AD'2＝1，則外接球的體積為4πR3答案：(1)C(2)4例2(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)F，分別連接NF，MF，MN，因?yàn)镸，F(xiàn)分別為PD和AD的中點(diǎn)，所以MF∥PA，又因?yàn)镸F?平面PAB，PA?平面PAB，所以MF∥平面PAB，因?yàn)镕，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，可得NF∥AB，又因?yàn)镹F?平面PAB，AB?平面PAB，所以NF∥平面PAB，又由MF∩NF＝F，且MF，NF?平面MNF，所以平面MNF∥平面PAB，又因?yàn)镸N?平面MNF，所以MN∥平面PAB.(2)解：當(dāng)E，F(xiàn)分別為PC，AD的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面EMFN∥平面PAB，證明如下：取PC的中點(diǎn)E，分別連接ME，NE，在△PCD中，因?yàn)镸，E為PD，PC的中點(diǎn)，所以ME∥CD，又因?yàn)镕，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，可得NF∥AB，所以ME∥NF，所以點(diǎn)E，M，F(xiàn)，N四點(diǎn)共面，即過(guò)直線MN作一平面，與平面PAB平行，且分別交PC，AD于點(diǎn)E、F，此時(shí)E，F(xiàn)分別為PC和AD的中點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD，∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.例3證明：(1)在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為CD的中點(diǎn)，∴AD＝DM，O是AM的中點(diǎn)，∴DO⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴OD⊥平面ABCM，∵DO?平面BDO，∴平面BDO⊥平面ABCM.(2)在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為CD的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝2AD＝22AB，則AM2＋BM2＝AB2，∴AM⊥BM由(1)知，DO⊥平面ABCM，∵BM?平面ABCM，∴DO⊥BM，∵DO∩AM＝O，DO?平面ADM，AM?平面ADM，∴BM⊥平面ADM，又∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM.跟蹤訓(xùn)練3證明：(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，又A1A∩AC＝A，A1A，AC?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，又A1C?平面A1AC，∴A1C⊥BD.(2)與(1)中證明A1C⊥BD同理可證A1C⊥DC1，又BD∩DC1＝D，BD，DC1?平面DBC∴A1C⊥平面DBC1.例4解析：(1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴AB⊥OC，又AB∩OB＝B，∴OC⊥平面OAB，又OA?平面OAB，∴OC⊥OA，在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，∴∠OAC(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，且平面BC′∩平面ABCD＝BC，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成角．在Rt△OAE中，OE＝12AE＝12+1∴tan∠OAE＝OEAE＝5(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，OA，OB?平面AOB，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB與平面AOC所成角為90°.跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)連接AC，因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以SA⊥AC，因?yàn)镾A＝2，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以AC＝2，SC＝2.對(duì)A，因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以SA⊥CD，又CD⊥AD，SA∩AD＝A，所以CD⊥平面SAD，因?yàn)镃D∥AB，所以直線SC與AB所成的角為直線SC與CD所成的角，cos∠SCD＝12，所以∠SCD對(duì)B，因?yàn)锳BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以SA⊥BD，又AC∩SA＝A，所以BD⊥平面SAC，所以BD⊥SC，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以直線SC與平面ABCD所成的角為∠SCA，因?yàn)镾A＝AC＝2，所以∠SCA＝45°，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以SA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB，直線SC與平面SAB所成的角為∠BSC，因?yàn)镾B＝3，所以tan∠BSC＝33所以∠BSC＝30°，故D正確．故選AD.(2)如圖所示，過(guò)B作BF⊥AC，所以F是AC的中點(diǎn)，過(guò)B1作B1E⊥A1C1，所以E是A1C1的中點(diǎn)，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，在正三棱柱中，平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BF?平面ABC，所以BF⊥平面AA1C1C，所以平面BFEB1⊥平面AA1C1C，平面BFEB1∩平面AA1C1C＝EF，DG?平面BFEB1，故DG⊥平面AA1C1C，∴∠DAG就是A